Задание 5
В среднем по 15 % договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 10 договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы:
а) три договора;
б) менее двух договоров.
Решение:
1) По формуле Бернулли, вероятность того, что в 10-ти договорах, в каждом из которых вероятность выплаты равна 0,15, событие наступит ровно 3 раза, равна
2) Событие А «выплата страховой суммы менее двух договоров» состоит из двух событий:
А1 — выплата страховой суммы по одному договору: k = 1
А2 — невыплата страховой суммы по договорам: k = 0
Ответ: а) P=0,13 б) P=0,544
Задание 6
Аудиторную работу по теории вероятности успешно выполнило 50% студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов успешно выполнят:
а) 150 студентов;
б) не менее 150 студентов;
в) от 150 до 300 студентов.
Решение:
Решение.
а) Случайная величина X — число «успешных студентов» имеет биноминальное распределение, поэтому , где — функция Гаусса
По условию задачи n=400, m=150, p=0,5, q=0,5. Поэтому (Локальная теорема Муавра — Лапласа)
б) Для вычисления Р(m150) воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа:
Р1(150m400) = Ф0(x2) – Ф0(x1), где
Ф0(20,0 ) – Ф0(–5) ≈ 0,5 – (–0,5) 1
в) Находим по таблице значений функции Лапласа:
P(150≤m≤300) = Ф0(x2) – Ф0(x1), где . ПоэтомуР(150≤m≤300) = Ф0(10) – Ф0(–5) = 0,5 – (–0,5) 1
Задание 7
Задан закон распределения дискретной случайной величины в виде таблицы (в первой строке указаны возможные значения случайной величины, во второй – соответствующие вероятности).
Найти:
а) функцию распределения;
б) математическое ожидание;
в) дисперсию;
г) среднее квадратическое отклонение;
д) коэффициент ассиметрии.
Начертить график закона распределения и показать на нём вычисленные математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
xi |
5 |
15 |
25 |
35 |
45 |
pi |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
Решение:
Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:
F(x)=Р(Х<х)
xi |
5 |
15 |
25 |
35 |
45 |
x>45 |
F(xi) |
0 |
0,1 |
0,3 |
0,6 |
0,8 |
0,1 |
Математическое ожидание
Дисперсия среднее квадратичное отклонение X:
коэффициент ассиметрии. Величину асимметрии оценивают с помощью безразмерного коэффициента асимметрии:
Задание 8
Для приведённых в таблице 5 выборочных данных:
а) построить вариационный и статистический ряды;
б) построить полигоны частот и накопительных частот;
в) вычислить среднюю величину, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты ассиметрии и эксцесса.
Исходные данные для задания 8
Номера наблюдений |
Данные для задачи | |||||||||
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. | |
Данные |
3 |
4 |
5 |
3 |
4 |
6 |
8 |
2 |
3 |
5 |
Номера наблюдений |
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
Данные |
5 |
3 |
7 |
5 |
9 |
3 |
5 |
7 |
4 |
6 |