Линейные динамические системы
Особый класс динамических систем составляют линейные системы. Для всех линейных стационарных систем существует общий аналитический метод их описания и, следовательно, анализа, синтеза и реализации.
Система называется линейной, если для нее выполняется принцип линейной суперпозиции:
,
где ai– скаляры (коэффициенты).
Математическое описание линейных систем основано на использовании свойств линейных векторных пространств. При этом функции времени трактуются как векторы (точки) бесконечномерного векторного пространства (гильбертова пространства). Приведем эскиз этого подхода.
Если множество входов { xi(t) } образует линейное векторное пространство1, то существует однозначное представление любой функцииx(t) через базис:
где φi(t) – элементы базиса;ai– коэффициенты разложения (проекции) по элементам базиса.
В этом случае реакция линейной системы может быть представлена следующим образом:
где
– реакция
системы наi‑ю базисную функцию
φi(t).
Отсюда видно, что реакция линейной системы на произвольное воздействие полностью и однозначно определяется набором реакций {hi(t)} системы на базисные функции {φi(t)} и коэффициентами {ai} разложения входного воздействия по этому же базису.
В области непрерывных линейных инвариантных к сдвигусистем особую роль играет разложение по базису {φ(τ,t)}, где φ(τ,t) = δ(t-τ) (дельта-функция Дирака), τR(Rмножество вещественных чисел). Имеет место представление через этот базис (в виде интегральной свертки):
где a(τ) =x(τ), поскольку разложение по базису {δ(t-τ)} совпадает с исходной функцией (фильтрующее свойство дельта‑функции).
Согласно свойству линейности
где h(t) =Q[δ(t)] – импульсный отклик (импульсная характеристика) линейной системы.
Обозначив через * – операцию интегральной свертки, можно записать кратко:
Благодаря ряду полезных свойств преобразования Фурье (линейность, теорема о свертке) имеется отображение этого соотношения в частотную область, что лежит в основе спектрального метода анализа линейных систем, суть которого иллюстрируется диаграммой:
где H(ω) – частотная характеристика линейной системы,
H(ω) = [h(t)];Y(ω) = [y(t)];X(ω) = [x(t)].
Вывод: Линейная стационарная (инвариантная к сдвигу) система полностью и вполне однозначно определяется импульсным откликомh(t)или соответствующей ему частотной характеристикойH(ω) = A(ω) exp(jφ(ω)), гдеA(ω) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ),jφ(ω) – фазо-частотная характеристика (ФЧХ) линейной системы. Импульсная характеристика причинных систем обязательно равна нулю приt<0.
Пример: Рассмотрим простейшую дифференцирующую RC- цепочку (Рис. 10).
Рис. 10. RC-цепочка как пример простейшей линейной причинной динамической системы
Ее модель, представленная через переменную состояния, имеет вид
где x(t) =uвх(t) – напряжение на входе;
z(t) =uC(t) – напряжение на емкостиC;
y(t) =uвых(t) – напряжение на сопротивленииR.
Рис. 11. Импульсная h(t) и частотная H() характеристики RC‑цепочки
Импульсным откликом RC-цепочки является функция
а ее частотная характеристика описывается функцией
где
–
амплитудно-частотная характеристика;
–
фазо-частотная характеристика.
Импульсная и частотная характеристики RC-цепочки показаны на Рис. 11.
6.Классификация систем.