Высшая математика ч2 (3.сем)
.pdf1. |
Найти массу фигуры, ограниченной параболой |
y |
1 |
x2 и |
|||||||||||||||||
осью Ox , если плотность |
x, y |
|
x2 y2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями |
x2 |
y2 2x; |
||||||||||||||||||
z x |
2 |
y2; z |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|||
3. Вычислить |
|
|
xdl по параболе |
|
x2 от точки 1, 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
y |
до точки |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2, 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|||
4. |
Вычислить |
|
|
2 x2 |
y2 dx |
|
|
|
y 2 dy , |
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
применяя |
формулу |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
Грина, |
где |
|
C |
|
– |
контур |
треугольника с |
вершинами |
в |
точках |
|||||||||||
A 1,1 , B 2, 2 ,C 1, 3 , пробегаемый против часовой стрелки. |
|
||||||||||||||||||||
5. |
Вычислить |
|
|
x2 |
y2 |
z2 dS , |
где S |
– поверхность конуса |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
x2 |
y2 , ограниченного плоскостями z |
h; z |
0 . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
й |
|
|
|
|
||||
6. |
Найти rotF , если |
F |
y2i |
x2 j |
z2k . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
координат, |
лежащей |
|
в области |
|
y |
0 , если плотность равна |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ва иант 4 |
|
|
|
|
|
|||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
R с центром в начале |
||||||
Найти массу половины круга радиуса |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
квадрату полярного рад уса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
Вычислить |
|
|
объем |
тела, |
|
ограниченного |
поверхностями |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 4 y2; y |
|
зx ; x 0; z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
п |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Вычислитьо |
|
3x |
|
5y |
z |
2 dl , где l – отрезок прямой между |
||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точками A 4, 1, 6 |
|
|
и B 5, 3, 8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
Поле образовано силой |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
F |
|
yi |
aj . Определить работу при |
||||||||||||||||||
перемещении |
массы |
m |
по |
контуру, |
образованному |
осями |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координат и эллипсом |
y |
b sin t , лежащим в I четверти. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70 |
5. |
Найти |
|
площадь |
поверхности |
части |
|
конуса |
|
z |
x2 |
y2 , |
|||||||||||||||||||
заключенного внутри цилиндра x2 |
|
y2 |
2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6. |
Найти div u, v , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
u |
|
xi |
2yj |
zk |
v |
|
yi |
2zj |
|
xk . |
У |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
Вычислить |
|
|
|
a2 |
x2 |
|
|
y2 dxdy, где D – круг: x2 |
y2 |
|
ax . |
||||||||||||||||||
2. |
Вычислить |
|
|
объем |
|
|
тела, |
|
|
ограниченного |
Н |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
поверхностями |
|||||||||||||||||||||||
z x2; 3x |
2y |
|
12; z |
0, y |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|||||||||||
3. |
Вычислить |
|
|
массу |
|
одной |
|
|
арки |
циклоиды |
|
x |
a t |
|
sin t ; |
|||||||||||||||
y a 1 |
cost , |
если |
плотность |
|
|
в |
каждой |
|
|
кривой |
|
равна |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
точке |
|
|||||||||||||||||||||||
ординате точки. |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки |
|
Б |
|
|
|
|
|||||||||||||
по кривой y |
|
2 |
|
y2 dx |
|
|
|
|
A 0, 0 |
до точки B 1, 2 |
||||||||||||||||||||
4. |
Вычислить |
|
|
xy |
|
xdy |
от |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
мулы Остроградского xdydz |
||||||||||||||||
Вычислить с пом щью ф |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ydxdz |
zdxdy , |
|
и |
– |
внешняя сторона |
поверхности |
куба, |
|||||||||||||||||||||||
|
где |
S |
|
|||||||||||||||||||||||||||
ограниченного плоскос ями x 0, x |
1, y |
1, |
y |
|
0, z |
|
0, z |
1. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
Найти |
rot |
|
|
, где |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
r |
, a r |
r |
|
xi |
yj |
|
zk |
; a |
i |
|
j |
k . |
|||||||||||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
Вычислить |
|
ln x2 |
|
y2 |
dxdy , где область D – кольцо между |
||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
D |
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
окружностямие |
радиусов e и 1 с центром в начале координат. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
2. |
Вычислить |
|
массу |
|
|
тела, |
|
|
ограниченного |
|
поверхностями |
|||||||||||||||||||
Р2x |
2y |
z |
6 |
|
0; |
x |
0; |
|
y |
|
|
0; |
z 0 , если плотность в каждой его |
точке равна абсциссе этой точки.
71
|
3. |
|
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x cos3 x dl , |
|
где |
|
L |
– |
дуга |
кривой |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
ln cosx 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4. |
|
Найти |
|
функцию |
|
z |
|
|
по |
|
ее |
|
полному |
|
дифференциалу |
|||||||||||||||||||||
dz |
|
|
sin x |
y |
|
dx |
|
|
|
dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|||||||||
|
5. |
|
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
z2 |
|
dxdy , |
где |
|
|
|
– |
|
|
Т |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
верхняя |
сторона |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
||
поверхности z |
|
a2 |
|
|
|
x2 |
, отсеченная плоскостями |
b . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
0, y |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6. |
|
Найти |
|
циркуляцию |
поля |
|
|
|
по контуру |
|
b cost, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
F |
|
yi |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
y |
b |
|
bsin t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1. |
|
Вычислить |
|
|
|
|
e |
x2 |
y2 |
dxdy, где область |
D – круг радиуса r с |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
центром в начале координат. |
|
|
|
|
|
|
|
поверхностями |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2. |
|
Вычислить |
|
|
|
|
объем |
|
|
тела, |
ог аниченного |
|||||||||||||||||||||||||
x2 4y2 |
|
|
z 1; z 0. |
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Вычислить массу mодуги кривой L , заданной уравнениями |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
з |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
2 |
, |
|
y |
t, |
z |
|
|
3 |
, |
0 |
|
t |
|
2 , если плотность в каждой ее точке |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
4x2 |
|
y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
4. |
|
Вычислитьо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по отрезку циклоиды x |
a t sin t ; |
|||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
y |
|
y |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
cost |
|
от точки t1 |
|
|
|
|
|
до точки t2 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
y |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
5. |
|
Вычислить |
|
|
|
|
x dydz |
|
y dxdz |
|
z dxdy по верхней поверхности |
|||||||||||||||||||||||||
части плоскости x |
S |
|
|
|
|
|
a , лежащей в первом октанте. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
z |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Доказать, что поле |
|
|
|
xi |
yj |
zk |
|
|
|
является потенциальным. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1. |
С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, |
|||||||||||||||||||||||||
ограниченной линиями y |
ex ; y |
e x ; y |
2. |
|
2 |
|
|
Н |
|
||||||||||||||||||
|
2. |
Вычислить объем той части шара |
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
y2 |
|
z2 |
4R2 |
, котораяУ |
|||||||||||||||||||||
лежит внутри цилиндра x2 |
|
y2 |
R2 . |
|
|
|
|
Б |
|
Т |
|||||||||||||||||
|
3. |
Найти |
массу |
|
дуги |
|
кривой |
x |
|
t; y |
|
1 |
t |
2 |
0 |
|
t |
1 , |
если |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
плотность равна |
2y . |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4. |
Вычислить |
xdx |
ydy |
|
x |
y |
1 dz , где L – отрезок прямой, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соединяющий точки |
А 1, 1, 1 |
и B 2, 3, 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
5. |
|
|
|
|
|
ора |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
z2 , |
вырезанной |
||||||||||
|
Найти площадь части п вехности |
y |
|
||||||||||||||||||||||||
цилиндром |
z2 x2 |
|
т |
рл женной в первом октанте. |
|
|
|||||||||||||||||||||
1 и расп |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
6. |
Найти |
поток |
|
век |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через |
плоскость |
||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
yi |
zj |
|
xk |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
y |
z a , расположенную в первом октанте. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
и |
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1. |
С м щью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, |
|||||||||||||||||||||||||
е |
|
|
|
|
|
2 1 |
cos |
; |
|
|
|
2cos . |
|
|
|
|
|
||||||||||
ограниченнойолиниями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2; |
|
|
2. |
пВычислить объем тела, ограниченного поверхностями y |
|||||||||||||||||||||||||
y |
z |
2; z |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Найти массу дуги кривой y |
2x x |
|
от точки O 0, 0 |
до точки |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
B 4,163 , если плотность пропорциональна длине дуги.
73
|
4. |
Вычислить |
|
|
|
ydx |
|
|
xdy |
, |
где |
L |
– |
окружность |
x |
a cost , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
L |
|
x |
2 |
|
|
y |
2 |
||||||||||||||||||||
|
a sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
(в положительном направлении). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
5. |
С помощью формулы Остроградского вычислить |
xdydz |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
У |
|
|
|
|
zdxdy , |
если S – внешняя сторона цилиндра x2 |
||||||||||||||||||||||||||
ydxdz |
y2 |
4 с |
||||||||||||||||||||||||||||
основаниями z |
0 и z |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
6. |
Найти rotF , если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
F |
|
y2zi |
z2xj |
x2 yk . |
Н |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 10 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
Т |
|||||||||
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, |
|||||||||||||||||||||||||||||
ограниченной линиями |
|
|
|
2x |
x2 |
|
|
каждой |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y |
|
|
; y x2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
a 2; |
||||
|
Найти массу тела, ограниченного поверхностями |
x |
y |
z |
||||||||||||||||||||||||||
x2 |
|
y2 |
a2; z |
0, |
|
если |
|
|
|
р |
|
|
|
|
его |
точке |
равна |
|||||||||||||
|
|
|
плотность в |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x2 |
|
y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3. |
Вычислить |
|
|
x2 |
|
|
|
где |
|
L – дуга винтовой линии |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
y2 |
|
z |
2 dl , |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a cost; y |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
a sin t; z |
|
bt, 0 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
4. |
Найти |
|
|
функц ю |
|
|
z |
|
по |
|
ее |
полному |
дифференциалу |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dz |
|
exy 1 |
xy dx |
|
x |
2dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
5. |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3dydz |
y3dxdz |
|||||||
|
Применяя ф рмулу Остроградского, вычислить |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
||
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
z2 |
a2 . |
||
z3dxdy, где S – внешняя сторона поверхности сферы x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
6. |
Найти циркуляцию вектора |
|
|
y |
2 |
по замкнутой кривой, |
|||||||||||||||||||||||
|
F |
|
i |
|||||||||||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a cost; y |
bsin t и |
||||
составл нной из верхней половины эллипса x |
отрезка оси Ox .
Вариант 11
74
|
1. |
Найти |
массу плоской фигуры, ограниченной линиями |
||
y |
3 |
; x2 |
y2 |
10, если плотность каждой ее точки равна абсциссе |
|
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
этой точки. |
|
||||
|
2. |
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями |
|||
hz |
|
x2 |
y2; z |
h . |
|
|
3. |
Вычислить |
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
||||||||
|
|
|
|
|
a2 dl , где L – дуга спирали Архимеда |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
r |
|
a |
|
|
a 0 |
между точками O 0,0 ; A a2,a . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
2ln xdy , |
|
||||
|
|
4. |
Вычислить с помощью формулы Грина |
C |
x |
dx |
где |
||||||||||||||||||||||
C |
|
– |
|
|
треугольник, |
сторонами |
|
которого |
являютсяН |
прямые |
|||||||||||||||||||
y |
4 2x; x |
1; y |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
5. |
Вычислить |
|
z2dS , где S |
– |
|
часть |
плоскости |
x |
y z |
1, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
расположенной в первом октанте. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
вдоль дуги |
||||||
|
|
Найти линейный интег ал вектоиа a |
i |
y3 j |
|||||||||||||||||||||||||
окружности x R cost; y |
Rsin t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
оВариант 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
и |
e |
x |
; y |
e |
2x |
; x |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ограниченн й линиями |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2. |
Найти массу тела, ограниченного поверхностями 2az |
x2 |
y2; |
||||||||||||||||||||||||
е |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
2 |
|
y |
2 |
|
z |
3a |
, если плотность в каждой точке равна аппликате |
|||||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
этой точкип. |
|
|
|
x2dl , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3. |
Вычислить |
|
где |
L |
– |
|
верхняя |
половина |
окружности |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
a2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75
|
4. |
|
Выяснить, будет ли интеграл |
|
|
2xy |
|
5y3 dx |
x2 |
|
15xy2 |
6y dy |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зависеть от пути интегрирования, |
и вычислить его по линии |
AB , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
соединяющей точки |
|
0, 0 , |
2, 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
5. |
|
Вычислить |
|
zdxdy |
xdxdz |
|
ydydz , где S |
– внешняя сторона |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 и |
треугольника, образованного пересечением плоскости x |
|
y |
|
z |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
координатными плоскостями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
Н |
|
2 |
|
|
||||||
|
6. |
|
Найти rota , если a |
3x |
|
y |
|
z |
|
3x |
|
i |
2x |
|
|
yz |
j |
|
x |
|
y |
|
3zУk . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 13 |
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1. |
|
Двойным интегрированием найти объем тела, ограниченного |
||||||||||||||||||||||||||||||||
поверхностями x2 |
y2 R2; z |
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
0; z y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2. |
|
Вычислить |
|
|
y cos x |
|
|
|
|
и |
|
где |
|
|
|
– |
|
область, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z dxdydz, |
|
|
V |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ограниченная |
|
цилиндром |
|
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
и |
|
|
плоскостями |
|||||||||||||||||
x |
z |
|
|
|
; y 0; |
z |
0 . |
осями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3. |
|
Вычислить |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x , |
заключенного |
||||||||||||||
|
|
массу |
|
резка прямой |
|
y |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
, если линейная плотность в каждой |
||||||||||||||||||||||||||
между координатными |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
его точке пропорц ональна квадрату абсциссы в этой точке, а в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
точке |
2, 0 равна 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4. |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 ydx |
|
|
xy2dy , |
|
где |
|||||||
|
|
Применяя ф рмулу Грина, вычислить |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
е |
|
|
|
|
y2 |
a2 (в положительном направлении). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
C |
– окружность x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5. |
|
Найти площадь поверхности |
z |
|
|
|
|
|
2 |
|
, расположенной |
|||||||||||||||||||||||
над плоскостью xOy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через часть плоскости |
|||||||||||||||||||
|
|
Найти поток вектора a |
|
|
yi |
zj |
xk |
|
|||||||||||||||||||||||||||
x |
y |
|
z a , расположенной в первом октанте. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 14
76
1. |
Переменив |
порядок |
интегрирования, |
записать |
данное |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x2 |
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
4 |
|
|
x |
|
|||||
выражение в виде одного двойного интеграла |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
dx |
|
dy |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dy . |
|||||||||||||||||||||
Вычислить площадь фигуры. |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|||||||||||||||||
2. |
Вычислить |
объем |
тела, |
|
ограниченного |
|
|
поверхностями |
||||||||||||||||||||||||||
z 6 x2 |
y2 ; z |
x2 |
y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Найти |
|
массу дуги |
кривой y |
ln x |
3 |
|
x 2 |
|
|
|
2 |
, |
|
|
|
|
если |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
плотность в каждой точке равна квадрату ее абсциссы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4. |
Вычислить |
ydx |
y |
x2 dy , где L – дуга параболыТy 2x |
x2 , |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расположенная над осью Ox , пробегаемая по ходу часовой стрелки. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Применяя |
формулу |
|
Остроградского, |
|
|
|
вычислить |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xdydz |
ydxdz zdxdy , |
где |
S |
|
– |
положительнаяБ |
|
|
|
сторона |
||||||||||||||||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхности, |
|
|
|
|
огран ченной |
|
|
|
|
|
плоскостями |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 0; y 0; z 0; x y 2z 1. |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
о |
|
x |
3 |
|
y |
3 |
z |
3 |
|
3x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
. |
||||||||||||
Найти дивергенцию градиента функции u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ями |
Вариант 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С помощью двойноготинтеграла вычислить площадь фигуры, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
о |
|
y2 |
16 8x; y2 |
24x |
48. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ограниченной л н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. |
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
п |
|
L |
|
y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 z x2 |
y |
2 |
; z x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Вычислить |
x2 |
y2 dl , где L – окружность x2 |
y2 |
|
ax . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е4. С помощью формулы Грина вычислить |
1 arctg |
y |
dx |
|
|
arctg |
x |
dy , |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C x |
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||
где C – замкнутый контур, составленный дугами двух окружностей |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
y2 |
1; x2 |
y2 |
4 |
y |
0 |
и |
|
отрезками |
прямых |
|
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
|
|
и |
|||||||||||
y |
3x y 0 , заключенных между этими окружностями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Найти |
массу |
|
полусферы |
|
|
|
z |
|
|
a2 |
x2 |
y2 , |
если |
|||||||||||||
поверхностная плотность в каждой ее точке равна z 2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
6. |
|
|
|
, если |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Найти rotF |
F |
|
y2 i |
|
|
2xyzj |
|
k . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1. |
Вычислить |
|
|
x2 |
|
2xy dxdy, |
|
|
где |
область |
D |
|
ограничена |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
прямыми y |
x; y |
|
2x; x |
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|||||||||||
|
2. |
Вычислить |
объем |
тела, |
ограниченного |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
поверхностями |
|||||||||||||||||||||||||||
x2 |
|
y2 |
a2; x2 |
z2 |
a2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|||||
|
3. |
Вычислить массу дуги кривой x |
ln 1 |
|
|
|
t от |
|||||||||||||||||||||
|
|
t 2 ; y |
2arctgt |
|||||||||||||||||||||||||
t |
0 до t |
1, если плотность равна |
|
y |
. |
|
|
|
Б |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4. |
Поле образовано силой |
|
F |
|
x |
|
|
й |
|
. Вычислить работу |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y i |
2xj |
||||||||||||||||||||||
по |
перемещению единицы |
|
массыипо |
окружности |
x |
a cost; |
||||||||||||||||||||||
y |
a sin t . |
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
5. |
Вычислить |
массу |
|
|
|
|
z2 |
|
|
x2 |
y2 , |
заключенной |
|||||||||||||||
|
|
п верхн сти |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
между плоскостями |
z |
о |
если |
поверхностная |
плотность |
|||||||||||||||||||||||
|
0; z |
|
1 |
, |
||||||||||||||||||||||||
пропорциональна |
x |
2 |
т2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
y |
3 |
|
|
xz |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
Найти rotF если, F |
|
i |
|
|
zj |
k . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
о |
|
|
|
|
Вариант 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1. |
пС помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской |
||||||||||||||||||||||||||
области, ограниченной линиями y2 |
|
|
4x, x |
|
y |
|
3, y 0. |
|
|
|||||||||||||||||||
е |
|
|
|
массу |
пирамиды, |
|
образованной |
плоскостями |
||||||||||||||||||||
|
2. |
Определить |
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
y |
z |
a; x |
0; y |
|
0; z |
0, если плотность в каждой точке равна |
|||||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аппликате этой точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
3. |
Вычислить y2dl , где L |
– дуга кривой x |
ln y между |
|
L |
|
|
точками A 0, 1 и B 1, e . |
|
|
|
4. |
Применяя формулу Грина, |
вычислить y2dx |
x y 2 dy по |
|
|
C |
|
контуру треугольника ABC с вершинами A a,0 ; B a, a ; C 0, a .
|
5. |
Пользуясь формулой Остроградского, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|||||||||||||||||
|
|
вычислить |
|
xdydz |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
zdxdy , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
где S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
||||||||
|
ydxdz |
|
|
– внешняя сторона поверхности пирамидыУ, |
||||||||||||||||||||||||
ограниченной плоскостями x |
0; y |
0; z |
|
0; 2x |
|
3y 4z |
|
12. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|||||||
|
6. |
Найти |
циркуляцию |
вектора |
F |
|
yi |
|
xj |
|
по |
окружности |
||||||||||||||||
x |
2 |
y |
1 |
2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1. |
Изменив |
порядок |
|
|
|
рован я, |
|
|
записать |
данное |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
го |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
y |
|
|
2 |
2 y |
||
выражение в виде одн |
|
дв йн го интеграла |
|
dy dx |
|
dy |
dx . |
|||||||||||||||||||||
Вычислить площадь фигуры. интегр |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
0 |
|||||||||||||
|
2. |
Вычислить |
и |
ела, ограниченного |
|
|
поверхностями |
|||||||||||||||||||||
|
объем |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
4y2 |
|
z 1; z |
0 .т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3. |
Вычислить |
массу дуги |
кривой |
x 3 |
|
y 3 |
|
a 3 , |
лежащей в |
||||||||||||||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
первой четверти, если плотность в каждой ее точке равна абсциссе |
||||||||||||||||||||||||||||
интегрирования. Вычислить его, если A 1, 6 |
; B 2; |
4 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
этой точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4. |
Доказать, |
что |
|
tg y dx |
x sec2 y dy |
не |
|
зависит |
|
от |
пути |
||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найти |
массу |
|
полусферы |
|
|
x |
|
R |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
, |
если |
|||||||||||||
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхностная плотность в каждой точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки до начала координат.
79