Высшая математика ч2 (3.сем)
.pdfФункция комплексной переменной. Предел. Производная. Условия Коши–Римана
Аудиторная работа
14.1. Описать области, заданные следующими соотношениями: |
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а. |
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Записать |
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с |
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помощью |
неравенств |
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следующие |
открытые |
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множества точек комплексной плоскости: |
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Н |
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в. Первый квадрант. |
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Б |
Т |
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г. Левая полуплоскость. |
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Найти действительную и мнимую части функции f z |
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точек |
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заданных отображениях: |
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Найти образы указанных |
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ж. z0 1 i, |
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Вычислить следующ е пределы: |
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14.2. Проверить выполнение условий Коши–Римана и в случае |
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их выполнения найти |
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40 |
Проверить гармоничность приведенных ниже функций в указанных областях и найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее действительной или мнимой части:
а. u x, y x3 3xy2 , 0 |
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z |
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Домашнее задание |
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14.3. Описать область, заданную соотношением |
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z |
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R. |
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0 |
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У |
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14.4. Записать |
с |
|
помощью |
неравенства |
открытое |
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Тмножество |
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точек комплексной плоскости – полосу, состоящую из точек, |
|||||||||||||||||||||||||
отстоящих от мнимой оси на расстояние, меньшее трехН. |
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Найти действительную и мнимую части функции f |
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: |
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Б |
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14.5. f |
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14.6. f |
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14.7. Вычислить |
z |
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14.8. Провер ть выполнение условий Коши–Римана и в случае |
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их выполнения найтииf z : |
f z |
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cosz. |
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з |
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14.9. Пр верить гармоничность функции в указанной области и |
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найти, когдаэтовозможно, аналитическую функцию по данной ее |
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д йствит льной части: |
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Ответы |
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14.1. а. Внутренность круга с центром в точке |
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радиуса |
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б. Внутренность кольца между окружностями радиусов 1 и 2 с |
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центром |
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точке |
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Интеграл от функции комплексной переменной |
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Аудиторная работа |
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15.1. Вычислить интегралы по заданным контурам: |
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2 |
, 0 x |
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Reзz dz, l |
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формулу |
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F z1 |
, вычислить |
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15.2.пПрименяя |
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интегралы: |
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l |
– отрезок прямой от точки z |
0 |
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до точки z |
1. |
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15.3. Вычислить |
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интегралы, применив теорему Коши |
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интегральную формулу Коши, или формулу, получаемую |
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дифференцированием |
интегральной |
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формулы |
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Коши |
(обход |
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контуров – против часовой стрелки): |
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верхняяополуокружность |
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обходом |
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Выполнить действия согласно п. 15.3. |
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15.1. а. |
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2. |
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16.1. Исп ль уяира ложение основных элементарных функций, |
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разложить функции в ряд по степеням |
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указать |
область |
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16.2. Разложить функции в ряд по степеням |
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и определить |
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области сходимости полученных рядов: |
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16.3. Найти область сходимости указанных рядов: |
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16.4. Разложить данную функцию в ряд Лорана в проколотой |
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Выполнить действ я согласно п. 16.2. |
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Вы олнить действия согласно п. 16.3. |
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З а н я т и е 1 7
47
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Изолированные особые точки |
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Аудиторная работа |
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17.1. |
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Указать |
все конечные особые точки заданных ниже |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
функций и определить их характер: |
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2 |
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У |
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а. |
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sin z |
. |
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б. |
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|
sin z |
. |
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|||||||||
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|
Т |
|||||||||||||||
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|
z |
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||||||
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z |
3 |
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z2 |
|
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||||
|
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|||||||||
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1 |
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|
|
|
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4 |
2 |
|
|
|
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|||||||
в. |
|
|
|
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|
|
|
. |
|
|
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|
г. |
|
|
|
|
z |
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|
|
. |
||||||||
|
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z 1 z i |
|
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z z 1 z 1 |
3 |
||||||||||||||||||||||||
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|
Б |
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||||||
д. |
|
|
|
ez |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е. |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
Н |
|
|||||
|
|
z |
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
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|
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sin z |
|
|
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|
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|||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ж. |
|
|
|
z2 sin z |
1 |
. |
|
|
|
|
з. |
tg z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
и |
|
|
|
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|
|
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|||||
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|
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|
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|
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|
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|
||||||
и. |
|
|
e z |
|
3i . |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
р |
cos z |
2i . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
17.2. Определить |
ип с б й т чки z |
|
0 для функций: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos z3 |
1 |
|
|
и |
о |
|
|
|
|
e3z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
т |
|
б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
sin z |
|
|
z |
|
z3 |
|
|
|
cos z |
1 |
|
z 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||
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|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
z2 |
|
|
|||||||||||
в. |
п |
з. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
z cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
17.3. О ределить порядок нуля функции |
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|||||||||||||||||||||||||||
Р |
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|
|
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|
|
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|
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|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
cos z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а. |
1 |
cos z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3z |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
Сравнить с ответом задачи 17.2б.
48
17.4. Для заданных ниже функций выяснить характер бесконечно удаленной особой точки (устранимую особую точку считать правильной):
а. |
|
z2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
б. |
3z5 |
|
|
5z |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
|
2z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в. |
|
|
|
z |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
г. 1 2z 3z 2. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
3z 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
д. cos z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
Домашнее задание |
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|||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Выполнить по условию п. 17.1 и 17.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
17.5. |
z |
|
|
z |
. |
|
|
|
|
|
|
17.6. |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
sin 2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 z |
1 |
2 |
|
z |
i |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
17.7. 1 |
cos z . |
|
|
|
|
|
|
17.8. sin z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
17.10. z3 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
17.9. ze z . |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
17.11. sin z3. |
|
|
17.12. |
1 |
z |
2z2. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
17.13. sin z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответы |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
17.1. а. z0 |
|
– устранимая особая точка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б. |
|
z1 |
0 |
|
– устранимая особая точка; |
|
z2 |
|
|
|
|
|
– |
полюс первого |
||||||||||||||||||
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Р |
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
– полюсы первого порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в. |
|
z1 |
|
|
z2 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ег. z |
0, |
|
|
z |
2 |
|
1 |
|
– |
полюсы первого порядка; |
|
z |
|
1 – полюс |
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
третьего порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
д. z1 |
0, |
|
|
z2 |
1, |
|
z3 |
|
1 – простые полюсы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
е. zk |
k , |
|
k |
Z – полюсы первого порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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