Приложение е

(рекомендуемое)

Кинематика

Имеется два простейших вида движения твердого тела, комбинированием которых можно получать другие, более сложные его движения. Такими движениями твердого тела являются поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси.

Поступательное движение твердого тела

Поступательным движениемтвердого тела называют такое его движение, при котором любая прямая, жестко скрепленная с телом, остается параллельной своему первоначальному положению в каждый момент времени.

Свойства поступательного движения характеризует следующая теорема:при поступательном движении твердого тела траектории, скорости и ускорения всех точек тела одинаковы, т.е.

, , (ПЕ.1)

где и– любые точки твердого тела.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси (оси вращения)называется такое его движение, при котором точки тела, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными в течение всего времени движения.

Пусть осью вращения является ось , которая может иметь в пространстве любое направление. Одно направление осипринимается за положительное (рис. ПЕ.1).

Через ось вращения проведем неподвижную плоскость и подвижную , скрепленную с вращающимся телом. Пусть в начальный момент времени обе плоскости совпадают. Тогда в момент времени положение подвижной плоскости и самого вращающегося тела можно определить двугранным углом между плоскостями и соответствующим линейным угломмежду прямыми, расположенными в этих плоскостях и перпендикулярными оси вращения. Уголназываетсяуглом поворота тела.

Угол считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, и отрицательным – в противоположном направлении, если смотреть с положительного направления оси. Траектории точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Рис. ПЕ.1

Алгебраической угловой скоростью тела в какой-либо момент времени называют первую производную по времени от угла поворота в этот момент, т.е. . Она является величиной положительной при вращении тела против часовой стрелки, так как угол поворота возрастает с течением времени, и отрицательной – при вращении тела по часовой стрелке, потому что угол поворота при этом убывает.

Модуль угловой скорости обозначают. Тогда

. (ПЕ.2)

Алгебраическим угловым ускорением теланазывают первую производную по времени от алгебраической скорости, т.е. вторую производную от угла поворота. Модуль углового ускорения обозначим, тогда

. (ПЕ.3)

Угловую скорость и угловое ускорение на рисунках изображают дуговыми стрелками вокруг оси вращения. Дуговая стрелка для угловой скорости указывает направление вращения тела. Для ускоренного вращения дуговые стрелки для угловой скорости и углового ускорения имеют одинаковые направления, для замедленного – их направления противоположны.

Пусть известно уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси (рис. ПЕ.2). Расстояниеточкив подвижной плоскостипо дуге окружности (траектории точки), отсчитываемое от точки, расположенной в неподвижной плоскости, выражается через уголзависимостью, где– радиус окружности, по которой перемещается точка. Он является кратчайшим расстоянием от точкидо оси вращения. Его называют радиусом вращения точки.

Рис. ПЕ.2

Алгебраическую скорость точки определяем по формуле

.

Модуль скорости точки

. (ПЕ.4)

Скорости точек тела при вращении вокруг неподвижной оси пропорциональны их кратчайшим расстояниям до этой оси. Коэффициентом пропорциональности является угловая скорость. Скорости точек направлены по касательным к траекториям и, следовательно, перпендикулярны радиусам вращения.

Скорости точек тела, расположенных на отрезке прямой , в соответствии с (ПЕ.4) распределены по линейному закону. Они взаимно параллельны, и их концы располагаются на одной прямой, проходящей через ось вращения Ускорение точки разлагаем на касательную и нормальную составляющие, т. е.

.

Касательное и нормальное ускорения вычисляются по формулам:

, ,

так как для окружности радиус кривизны (рис. ПЕ.3). Таким образом,

, ,

. (ПЕ.5)

Касательные, нормальные и полные ускорения точек, как и скорости, распределены тоже по линейному закону. Они линейно зависят от расстояний точек до оси вращения. Нормальное ускорение направлено по радиусу окружности к оси вращения. Направление касательного ускорения зависит от знака алгебраического углового ускорения. При иилииимеем ускоренное вращение тела и направления векторовисовпадают. Еслииимеют разные знаки (замедленное вращение), тоинаправлены противоположно друг другу.

Рис. ПЕ.3