§ 5. Тестовые задания

1. Непрерывная случайная величина Хзадана пло­тностью распределения:

f(x) = k(3x+ 3) в интервале (­–1; 0);

f(x) = 0 вне этого интервала.

Найти: а) нормировочный коэффициент k; б) функцию распределенияF(x); в) математическое ожиданиеM(X); д) дисперсиюD(X); г) вероятность того, что в результате испытанияХпримет значение, заключенное в интервале (–0,5; 0).

2. Непрерывная случайная величина Хзадана пло­тностью распределения:

f(x) = k(4 –x) в интервале (­1; 2);

f(x) = 0 вне этого интервала.

Н

айти: а) нормировочный коэффициентk; б) функцию распределенияF(x); в) математическое ожиданиеM(X); д) дисперсиюD(X); г) вероятность того, что в результате испытанияХпримет значение, заключенное в интервале (1,5; 2).

3. Непрерывная случайная величина Хзадана пло­тностью распределения:

f(x) = k(4x– 4) в интервале (­1; 2);

f(x) = 0 вне этого интервала.

Найти: а) нормировочный коэффициент k; б) функцию распределенияF(x); в) математическое ожиданиеM(X); д) дисперсиюD(X); г) вероятность того, что в результате испытанияХпримет значение, заключенное в интервале (1,5; 2).

4. Непрерывная случайная величина Хзадана пло­тностью распределения:

f(x) = k(2 –x) в интервале (­0; 2);

f(x) = 0 вне этого интервала.

Найти: а) нормировочный коэффициент k; б) функцию распределенияF(x); в) математическое ожиданиеM(X); д) дисперсиюD(X); г) вероятность того, что в результате испытанияХпримет значение, заключенное в интервале (0; 1).

1. По данному распределению

Х_i–3 –2 –1 0

p_i0.3 0.5 0.1 0.1

найти: а) функцию распределения F(x);б) математическое ожиданиеM(X); в) дисперсиюD(X).

6. По данному распределению

Х_i–4 –1 –2 5

Р_i0.2 0. 3 0.1 0.4

найти: а) функцию распределения F(x);б) математическое ожиданиеM(X); в) дисперсиюD(X).

7. По данному распределению

x_i–6 –3 0 3

p_i0.2 0.3 0.4 0.1

найти: а) функцию распределения F(x);б) математическое ожиданиеM(X); в) дисперсиюD(X).

8. По данному распределению

x_i–1 3 7 11

p_i0.5 0.2 0.2 0.1

найти: а) функцию распределения F(x);б) математическое ожиданиеM(X); в) дисперсиюD(X).

Ответы

3.(π²-8)/4. 4.20-2π².

yi	7	13	21
Pi	0,2	0,1	0,7

yi		1
Pi	0,3	0,7

7. a) g(y)=(1/y)f[ln(1/y)], (0<y<1); б) g(y)=e^yf(e^y); (-∞<y<∞); в) g(y)=, (0<y<∞); г) g(y)=, (0<y<∞); д) g(y)=2yf(y²), (0<y<∞). 8.g(y)=в интервале (0,1), вне этого интервала g(y)=0. 9. g(y)=в интервале (0,1), вне этого интервала g(y)=0.

13. .14.C=12/π².

xi	3	6
P(xi/y=10)	5/7	2/7

yk	10	14	18
P(yk/x=6)	5/14	5/28	13/28

15.

16.a)f(x,y)=1/(4ab) внутри заданного прямоугольника; вне егоf(x,y)=0; б)f₁(x)=1/(2a) при |x|≤a, при |x|>af₁(x)=0; при |y|<bf₂(y)=1/(2b), при |y|>bf₂(y)=0.

17. a)

20. M(X)=M(Y)=()/4. 21. а)M(X)=M(Y)=π/4;D(X)=D(Y)=. 22.M(X)=M(Y)=();D(X)=D(Y)= ; б)k_xy=0. 23. а)

yk xi	0	1	2	P(xj)
1	p2	pq	0	p
2	0	pq	q2	q
P(yk)	p2	2pq	q2	1

б) P(X=Y)=q; в)r_xy=; г) зависимы; д) 2q².

yk xi	1	2	3
1	1/9	1/9	1/9
2	0	1/6	1/6
3	0	0	1/3

24. в)

xi	1	2	3
P(xi/y=2)	0.4	0.6	0

б) зависимы; г) M(X)=2,M(Y)=2.5,D(X)=2/3,D(Y)=5/12,k_xy=1/3,r_{xy .} 25. а)b=6/5; б)f₁(x)=6/5(1-x²/2), 0≤x≤1,f₂(y)=6/5(1-y/3), 0≤y≤1;f(x/y)=(1-x²y)/(1-y/3), 0≤x≤1, 0≤y≤1,f(y/x)=(1-x²y)/(1-x²/2), 0≤x≤1, 0≤y≤1; в)M(X)=0.45,M(Y)=0.47,D(X),D(Y)=0.08; д)k_xy=-0.01. 26. а) 12; б)f₁(x)=3e^-3x, 0≤x<∞,f₂(y)=4e^-4у, 0≤y<∞,f(x/y)= 3e^-3x,f(y/x)= 4e^-4у; в) 0.082; г)M(X)=1/3,M(Y)=1/4,D(X)=1/9,D(Y)=1/16,r_xy=0.