§2. Закон распределения двумерной случайной величины. Условные законы распределения

Двумернойназывают случайную величину (X,Y), возможные значения которой есть пары чисел (x,y). СоставляющиеXиYобразуют систему двух случайных величин.

Геометрически двумерную величину можно истолковать как случайный вектор.

Дискретнойназывают двумерную величину, составляющие которой дискретны.

Непрерывнойназывают величину, составляющие которой непрерывны.

Закон распределения дискретной двумерной величины может быть задан в виде таблицы с двойным входом, в которой указан перечень возможных значений (x_i,y_j) и соответствующих вероятностей

удовлетворяющих условию

.

Одномерные законы распределения составляющих можно получить, вычисляя вероятности их появления по формулам

, , т.е. проводя суммирование по столбцам или строкам таблицы.

Условным законом распределениясоставляющейXпри условии, чтоY=y_kназывают совокупность возможных значенийx_iи соответствующих этим значениям условных вероятностей, определяемых равенством:

_.

Аналогично можно задать условное распределение составляющей Y, причем:

Функцией распределениявероятностей двумерной случайной величины интегральной функции называют функциюF(x,y), определяемую соотношением:

Она является неубывающей функцией и обладает следующими свойствами:

1. при

2. 

3. 

4. где F_X(x) – функция распределения составляющей X, а F_Y(y) – составляющей Y.

5. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник вычисляется по формуле:

_.

Плотностью совместного распределениявероятностей случайного вектора (X,Y) называют вторую смешанную производную от функции распределения:

_.

Свойства совместной двумерной плотность распределения аналогичны свойствам плотности распределения вероятностей одной случайной величины:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Условной плотностью распределения, составляющейXпри заданном значенииY=yназывается функция

Аналогично:

Если условые плотности распределения случайных величин Х,Yравны их безусловным плотностям, то такие величины называют независимыми.

Пример 10.Задан закон распределения вероятностей двумерной случайной величины (X,Y).

yk xj	-1	0	2
-2	0.1	0.2	0.15
1	0.2	0.1	0.25

Найти: а) законы распределения составляющих; б) условный закон распределения Xпри условии, чтоY=-2; в) условный закон распределенияY, при условии, чтоX=2.

Решение.а) Для отыскания вероятностей появления возможных значений х_iпроведем суммирование вероятностей по существующим столбцам, а для y_k– по строкам. Результаты вычислений занесем в таблицу. Тогда первая и четвертая строки будут определять закон распределения для X, а первый и пятый столбцы – для Y.

N	1	2	3	4	5	6
1	yi xi	-1	0	2	P(Yk)	P(Yk/X=2)
2	-2	0,1	0,2	0,15	0,45	3/8
3	1	0,2	0,1	0,25	0,55	5/8
4	p(xi)	0,3	0,3	0,4	∑=1
5	P(Xi/Y=-2)	2/9	4/9	1/3	∑=1

б) Для отыскания условных вероятностей значений X поделим вероятность совместного появления X=x_i, Y=-2, на p(y_k=-2)=0,45 и результат запишем в последней строке: 0,1/0,45=2/9; 0,2/0,45=4/9; 0,15/0,45=1/3.

в) Аналогично найдем условные вероятности для Y: 0,15/0,4=3/8; 0,25/0,4=5/8.

Тогда первая и пятая строки будут определять условный закон распределения для X, а первый и шестой столбцы – для Y.

Пример 11.Задана функция распределения двумерной случайной величины

Найти: а) двумерную плотность распределения систему (X,Y); б) плотность распределения составляющих; в) условные плотности распределения составляющих; г) вероятность попадания случайной точки (X,Y) в треугольник с вершинами О(0,0); А(0,1); В(1,0).

Решение.а) Двумерную плотность вероятности системы найдем по формуле:Следовательно

б) Найдем плотность распределения составляющей X:

Для составляющей Y:

в) Условные плотности распределения равны:

Заметим, что условные плотности распределения совпали с безусловными, следовательно X и Y независимы.

г) Вероятность попадания случайной точки в область Д вычисляется по формуле:

Область Д – треугольник ОАВ, уравнения сторон которого имеют вид: x=0; y=0; x+y=1. Тогда

12. Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных величин: f (х, у) = (1/2)sin(х+у) в квадрате ,; вне квадрата f(x,y)= 0. Найти функцию распределения системы (X, Y).

13. Задана двумерная плотность вероятности системы случайных величин (X, Y)

.

Найти функцию распределения системы.

Указание: использовать формулу

14. Задана двумерная плотность вероятности системы (X, Y) двух случайных величин. Найти постоянную С.

15. Задана дискретная двумерная случайная величина (Х, Y):

Y	X
	3	6
10	0,25	0,10
14	0,15	0,05
18	0,32	0,13

Найти: а) условный закон распределения X при условии, что Y = 10; б) условный закон распределения У при условии, что Х = 6.

16. Непрерывная двумерная случайная величина (X, Y) распределена равномерно внутри прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами 2a и 2b, параллельными координатным осям. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.

17. Заданы плотности распределения независимых составляющих непрерывной двумерной случайной величины (X, Y):

Найти: а) плотность совместного распределения системы; б) функцию распределения системы.