1. Элементы теории множеств

§1. Основные понятия. Способы задания множеств

Понятие множества является основным (неопределяемым) понятием.

Под множествомбудем понимать совокупность, набор объектов любой природы, объединенных по какому-либо признаку и рассматриваемых как единое целое. (А,В,С,… - обозначения множеств).

Объекты, из которого состоят множества, называютэлементами множества(обозначение: а, в, с, х, у,...).

Запись аА (а является элементом А).

Существует множество, которое не содержит не одного элемента – пустое множество()

Множество треугольников, сумма углов которого равна 190^оявляется.

Существует два основных способа задания множеств:

1.Задание множеств перечислением его элементов. Данный способ применяется в случае, если количество элементов в множестве невелико.

А={1, 2, 3, 4, 5}

B={а, в, с}.

2. В случае, если количество элементов множества бесконечно или конечно, но достаточно велико, используется второй способ задания с помощью характеристического свойства.

Характеристическое свойство– свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие элементы.

Например: М = {mm=2n,nz}={-4, -2, 0, 2, 4, 6,…}

Существуют общепринятые обозначения числовых множеств:

N– натуральные числа (используют при нумерации)

Z– целые числа (натуральные числа, противоположные им и 0)

Q – рациональные числа (могут быть записаны в виде дроби)

m, где - целое число,nN

n

J–иррациональные (2,3,³4,, е,log₂3,sin1⁰,cos5⁰)

R– действительные =R=QJ

C– комплексные (числа в которых квадрат числа может быть отрицательным )

§2. Отношения между множествами



_{кванторы} квантор общности (х- для любого числаx)

• квантор существования (у - существует такое число у)

1. Отношение включения

АВ (А является подмножеством В) – А включается в В, если любой элемент из А принадлежит В. (АВ:хА=хВ).

Отношения между множествами можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

включение

А={а, в, с}

Множества {а}, {в}, {с}, {а,в}, {а,с}, {в,с}, {а,в,с}, являются подмножествами А.

Вообще говоря, если множество содержит nэлементов, то для такого множества можно задать 2ⁿподмножеств. Пустое множество является подмножеством любого множества.

2. Отношение пересечениямножеств: АВ, если существуют элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

2. Отношение равенствамножеств

А={2, 3, 4, 5, 6}

В= {2, 5, 2, 4, 6}

Возьмем любой хА =хВ =АВ

=А=В

Возьмем любой уВ =уА =ВА

Т.о. множества А и В состоят из одних и тех же элементов при этом порядок записи значения не имеет.

Если множества заданы характеристическими свойствами, то для доказательства равенства этих множеств необходимо показать, что характеристические свойства этих множеств одинаковы.