Методические указания к контрольной работе
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Н.В. ГУБА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ НАПРАВЛЕНИЙ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
(1 курс, 1 семестр)
Краснодар
2015
СОДЕРЖАНИЕ |
|
1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА...................................................................................... |
3 |
1.1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ............................................................... |
3 |
1.1.1. Матрицы .................................................................................................. |
3 |
1.1.2. Операции над матрицами ...................................................................... |
4 |
1.1.3. Элементарные преобразования над матрицами.................................. |
8 |
1.1.4. Определители........................................................................................ |
10 |
1.1.5 Свойства определителей....................................................................... |
14 |
1.1.6. Обратная матрица................................................................................. |
17 |
1.2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ................................................. |
20 |
1.2.1. Основные понятия и определения ...................................................... |
20 |
1.2.2. Метод Крамера решения систем линейных уравнений ................... |
21 |
1.2.3. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы |
|
.......................................................................................................................... |
22 |
1.2.4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений....................... |
24 |
1.3. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В |
|
ЭКОНОМИКЕ .................................................................................................... |
26 |
1.3.1. Матрицы в экономике.......................................................................... |
26 |
1.3.2. Модель межотраслевого баланса (Модель Леонтьева) .................... |
29 |
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ................ |
35 |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА................................................................................... |
42 |
2
1.ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1.1.МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1.1.1. МАТРИЦЫ
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:
|
a |
a |
... |
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 ... |
||
A |
|
|
|
|
m n |
|
... |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
am2 ... |
|
|
am1 |
|||
Числа, составляющие |
матрицу, |
|||
a |
|
|
1n |
|
|
|
|
|
a2n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
amn |
|
|
называются элементами
матрицы. В сокращенной записи
A
aij 
, |
i |
1,...,
m
,
j
1,...,
n
, где i
– номер строки, j – номер столбца. Элементы матрицы, для которых i j образуют главную диагональ матрицы.
Две матрицы одного размера А и В называют равными, если их элементы равны, т.е. aij bij для любых i 1,..., m и j 1,..., n .
С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по некоторым отраслям экономики
Ресурсы |
Отрасли экономики |
||
промышленность |
сельское хозяйство |
||
|
|||
Электроэнергия |
5 |
4 |
|
Трудовые ресурсы |
3 |
2 |
|
Водные ресурсы |
4 |
5 |
|
может быть записана в виде матрицы:
|
|
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
А |
|
3 |
2 |
. |
3 2 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
В такой записи, например, элемент a11 5 показывает, сколько электроэнергии потребляет промышленность, а элемент a32 5 – сколько водных ресурсов потребляет сельское хозяйство.
3
1.1.2. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
Операция сложения
Эта операция определена только для матриц одной размерности!
Суммой двух матриц
A 
aij 
и
B
bij 
,
i, j
называется
матрица, элементы которой равны элементов матриц А и В, т.е.
|
|
A B aij bij |
, |
||||
|
|
|
Пример 1 |
||||
Найти сумму матриц |
|
1 |
1 |
|
и |
||
А |
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
1 4 |
4 |
|
3 |
|
|
|
А В |
|
|
|
. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 0 |
1 |
|
2 |
|
|
|
сумме соответствующих
i, j .
|
3 |
4 |
|
В |
|
|
. |
|
1 |
0 |
|
|
|
Свойства операции: |
|
|
|||
1. |
Коммутативность |
А В В А. |
|
||
2. |
Ассоциативность |
А В С А В С . |
|||
3. |
Существует |
– нулевая матрица (нейтральный элемент): |
|||
А А для любой матрицы А. |
|
|
|||
4. |
Для любой |
матрицы |
A aij |
существует и притом |
|
единственная матрица А такая, что: А А . |
|||||
|
Операция умножения матрицы на число |
||||
Эта операция определена для матриц любого порядка.
Произведение матрицы |
A aij |
и действительного числа |
–
это матрица, элементы которой получаются умножением всех элементов исходной матрицы на это число.
Пример 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
Вычислить матрицу 3 А, если А |
|
|
3 |
|
|
|
. |
||
|
|
0 |
2 |
|
4
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
3 |
1 |
|
|
3 |
1 |
|
3 А |
3 |
|
|
|
|
. |
|||
|
3 |
0 |
3 2 |
|
|
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Свойства операции:
1. Дистрибутивность. Для любых и любого числа R справедливо:
матриц А иA B A
В одного порядка
B .
2. Для любой матрицы А и любых чисел
А А А.
, R
верно:
3. Для любой матрицы А и любых чисел
( А) ( ) А.
4. 1 – нейтральное число для любой матрицы А:
, 1 А
R А
.
верно:
Операция умножения двух матриц
Эта операция определена только для случая, когда число
столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В. |
|||||
Произведение матрицы А порядка |
m n |
и матрицы В порядка |
|||
n p |
– это матрица С порядка |
m p , |
каждый элемент которой |
||
|
|||||
равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
Пример 3
|
|
1 |
2 |
|
5 |
Найти произведение матриц А |
|
|
|
и В |
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
4 |
||
Решение |
|
|
|
|
|
Матрица А имеет размерность |
2 2 |
, матрица В – |
|||
строк матрицы А совпадает с числом столбцов следовательно операция умножения определена и умножения будет матрица размера 2 3.
2 3
.
1 0
2 3. Число матрицы В, результатом
5 1 4 2 |
2 1 1 2 |
3 1 0 2 |
||||
А В |
|
|
|
|
|
|
|
5 0 |
4 3 |
2 0 1 3 |
|
||
|
3 0 0 3 |
|||||
|
|
|
3 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
12 |
0 |
|
||
5
Пример 4
В
Даны матрицы
А.
|
2 |
|
|
|
|
А |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
и
В 3 |
4 |
5
. Вычислить
А В
и
Решение |
|
Матрица А имеет размерность |
3 1, матрица В – |
столбцов матрицы А совпадает с числом строк следовательно операция умножения А В определена и умножения будет матрица размера 3 3.
1 3. Число матрицы В, результатом
3 2 |
4 2 |
5 2 |
6 |
8 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
А В |
3 0 |
4 0 |
5 0 |
|
|
0 |
0 |
|
3 1 |
4 1 |
5 1 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|||||
10 |
|
0 |
|
|
|
5 |
|
|
.
Операция умножения |
В А |
также определена, т.к. число |
столбцов матрицы В совпадает с числом строк матрицы А. Результатом умножения будет матрица размера 1 1 (число).
В А 3 |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 ( 3) 0 4 1 5 |
5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1
.
Таким образом, видно, что
А В
В
А
.
Свойства операции:
1.Операция некоммутативна, т.е.
2.Ассоциативность: А (В С) (
АВ
АВ)
В А
С .
3. Два свойства дистрибутивности: (А В) С АС ВС и А (В С) АВ АС .
4. Существует единичная матрица Е такая, что:
А Е Е А А.
6
Возведение матрицы в степень
Эта операция определена только для квадратных матриц.
Целой положительной степенью |
А |
m |
m 1 |
квадратной |
|
матрицы А называется произведение m раз матрицы А на себя.
A |
m |
|
A A ... A.
m раз
Пример 5
Найти |
А2 , где |
|
1 |
2 |
|
А |
|
|
. |
||
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
Решение
А2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 1 2 3 |
1 2 2 4 |
7 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
4 |
|
|
3 |
4 |
|
|
3 |
1 |
4 |
3 |
3 2 4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|||||||||
Свойства операции:
1. |
Am Ak Am k . |
||||
2. |
A |
m k |
A |
m k |
. |
|
|
||||
Транспонирование матрицы
10 |
|
|
|
22 |
|
|
.
Эта операция определена для матриц любой размерности. Матрица, полученная из данной матрицы А заменой всех её
строк столбцами с сохранением номера, называется
транспонированной и обозначатся
АТ
.
Дана матрица |
А |
Решение
По определению
Пример 6
|
1 |
2 |
3 |
|
|
Т |
|
|
|
|
|
. Найти |
|
|
|
|
А . |
|||
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
первая |
строка |
матрицы А станет первым |
||||
столбцом матрицы АТ , а вторая строка |
матрицы А – вторым |
|||
|
|
1 |
4 |
|
столбцом матрицы АТ . Таким образом, АТ |
|
|
|
|
|
2 |
5 |
. |
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
||
7
Свойства операции:
1. |
Т Т |
А. |
|
А |
|
||
2. |
АТ |
АТ . |
|
3. А В Т АТ ВТ . 4. А В Т ВТ АТ .
1.1.3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НАД МАТРИЦАМИ
Элементарными преобразованиями над строками матриц называются следующие преобразования:
1.Перестановка двух строк местами.
2.Прибавление к одной строке матрицы другой её строки,
умноженной на некоторое число 0 .
Аналогичные преобразования над столбцами матрицы называют элементарными преобразованиями столбцов.
Элементарные преобразования нужны для того, чтобы упрощать матрицы – приводить их к так называемому ступенчатому виду.
Матрица называется ступенчатой (или, как говорят, имеет
ступенчатый вид), если
1.Элементы главной диагонали матрицы отличны от нуля;
2.Все элементы, стоящие под главной диагональю, равны нулю, т.е.
a |
|
a |
a |
... |
a |
|
||
|
|
11 |
|
12 |
13 |
|
1n |
|
|
0 |
|
a22 |
a23 |
... |
a2n |
||
|
0 |
0 |
a33 |
... |
a3n |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.. |
.. |
.. |
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
... |
0 |
|
|
||
|
ann |
|||||||
Теорема:
Всякую матрицу путем элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.
8
Привести матрицу
|
Пример 1 |
|||
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
А |
2 |
3 |
2 |
|
|
1 |
1 |
4 |
|
|
|
|||
к ступенчатому виду.
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
Необходимо обнулить элементы, |
|
стоящие под главной |
|||||
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диагональю матрицы А |
2 |
3 |
|
2 |
|
. Процесс обнуления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
||||||
начинается с элементов первой «ступени». Только после того, как
оба элемента будут |
обнулены, |
|
можно |
переходить ко второй |
|||||
«ступени». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прибавим к последней строке матрицы её первую строку, |
|||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
2 |
|
|
2 3 |
2 |
. |
|
|
1 1 |
4 |
|
|
0 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Далее, умножим первую строку получившейся матрицы на и прибавим результат ко второй строке. Тогда
2
|
1 |
2 |
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
2 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
3 |
0 |
3 |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
.
Таким образом, мы обнулили два элемента первого столбца матрицы. Теперь переходим ко второму столбцу. Нам необходимо
обнулить элемент |
а32 |
3 |
второй «ступени». Для этого умножим |
|||||||
вторую строку на 3 и прибавим к третьей. В итоге получим: |
||||||||||
|
1 |
2 |
1 |
1 2 |
1 |
|||||
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
. |
||||
|
|
0 |
3 |
3 |
|
|
0 |
0 |
9 |
|
|
|
|
|
|
||||||
9
1.1.4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Определителем матрицы второго порядка
A
aij 
,
или
определителем второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле:
A a11 |
a12 a a |
22 |
a a |
21 |
. |
a21 |
11 |
12 |
|
||
a22 |
|
|
|
|
Пример 1
Вычислить определитель матрицы
Решение
|
1 |
А |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
.
А1 3
2 |
1 4 |
3 2 |
|
|
4 |
||||
|
|
|
4 6
2
.
Определителем матрицы третьего порядка
A
aij 
,
или
определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле:
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11 |
12 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A a |
21 |
a |
22 |
a |
23 |
a |
a |
22 |
a |
a |
a |
||
|
|
|
11 |
|
33 |
|
12 |
|
|
||||
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
31 |
|
32 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a |
a |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
||
Вычислить определитель |
2 |
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
23 |
a |
a |
a |
21 |
a |
|
|
|
|
|
||||
|
31 |
|
13 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
||
a |
|
a |
a |
21 |
a |
|
a |
a |
22 |
a |
). |
|||
32 |
|
12 |
|
|
33 |
|
13 |
|
31 |
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10