Примеры решения задач

Пример 1.

Компания только что выплатила дивиденд по обыкновенным акциям – 300 руб. на акцию. Прогнозируется будущий темп роста дивиденда 5 % в год. Безрисковая доходность – 6 %, доходность рынка – 9 %, β-коэффициент акции равен 2,0. Определить стоимость обыкновенной акции (срок ее обращения неограничен).

Решение:

1. по формуле модели САРМ: =6 % +2,0(9 % – 6 %)=12 %;

2. оf = 0;

3. R = + оf = 12 %;

1. V=I(1+g)/(R–g)=300(1+0,05)/(0,12–0,05)=315/0,07=4500 руб.

Ответ: стоимость обыкновенной акции 4500 руб.

Пример 2.

Собраны следующие данные о прибылях по аналогичным проектам: = 5 тыс. руб., σ² = 25 млн. руб. Рассчитать вероятность получения:

а) прибыли;

б) убытка;

в) прибыли свыше 5 тыс. руб.;

г) прибыли свыше 10 тыс. руб.

Решение:

Рассчитываем стандартное отклонение: σ = 5000 руб.;

а) / σ =/5000=1; f(z=1)=0,3413 (34,13 %);

34,13 % + 50 % = 84,13 %;

б) 100 % – 84,13 % = 15,87 %;

в) 50 %;

г) 50 % – 34,13 % = 15,87 %.

Ответ: а) 84,13 %; б) 15,87 %; в) 50 %; г) 15,87 %.

Задания для самостоятельного выполнения Блок 1

Задание 1. Акции А и В характеризуются следующим распределением вероятностей ожидаемой доходности (таблица 49). Рассчитайте и сопоставьте ожидаемые показатели доходности и риска этих ценных бумаг. Стоит ли объединять эти ценные бумаги в портфель? Поясните свой ответ.

Таблица 49 − Доходность акций А и В

В процентах

Экономическая ситуация	Сильный спад	Спад	Оживление	Подъем	Сильный подъем
Вероятность	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1
Доходность акции А	–25	5	15	30	45
Доходность акции В	–40	0	16	40	66

Задание 2. Имеются следующие данные о динамике прибыли двух финансовых активов (тыс. руб.): актив «А» – 7; 12; 11; 9; 7; 9. Актив «Б» – 15; 12; 11; 14; 16; 13. Дайте характеристи­ку связанного с ними риска и сформулируйте рекомендации по инвестированию, если предлагаемая цена продажи актива «А» 34 тыс. руб., актива «Б» – 46 тыс. руб.

Задание 3. Возможный ущерб в случае отсутствия сбыта продукции: по первому варианту – 10 млн. руб., по второму варианту – 5 млн. руб. Вероятность реализации проекта по первому варианту – 0,75, по второму варианту – 0,95. Определите величину риска вложения средств по каждому из вариантов и выберите наиболее приемлемый.

Задание 4. Ожидаемая доходность актива равна 30 %, стандартное отклонение – 10 %. Какую доходность и с какой вероятностью может получить инвестор через год?

Задание 5. Ожидаемая доходность актива А равна 30 %, актива В – 45 %, стандартное отклонение соответственно – 10 % и 20 %. Какой актив предпочтительнее?

Задание 6. Имеются следующие данные о динамике прибыли двух финансовых активов (тыс.руб.): актив «А» – 54; 42; 51; 55; 66. Актив «Б» – 21; 9; 14; 23; 18. Дайте характеристику связанного с ними риска и сформулируйте рекомендации по инвестированию, если предлагаемая цена продажи актива «А» 216 тыс. руб., актива «Б» – 84 тыс. руб.

Задание 7. Рассчитайте показатели средневзвешенной нормы дохода и показатели риска по каждому из трех предлагаемых проектов, выберите более предпочтительный из них, исходя из данных, приведенных в таблице 50.

Таблица 50– Доходность вариантов инвестирования средств

Состояние экономики	Вероятность, доли ед.	Норма дохода, %
		Проект 1	Проект 2	Проект 3
Глубокий спад	0,10	3,0	2,0	3,7
Небольшой спад	0.15	3,1	6,0	4,3
Средний рост	0,40	5,1	7,9	5,0
Небольшой подъем	0,10	7,2	9,0	10.0
Мощный подъем	0,25	9,5	10,5	11,0

Задание 8. Выберите наименее рисковый вариант вложения капитала из следующих двух.

Вариант 1. Собственные средства инвестора 2500 тыс. руб.; максимально возможная сумма убытка 1200 тыс. руб.

Вариант 2. Собственные средства инвестора 8000 тыс. руб.; максимально возможная сумма убытка 3000 тыс. руб.

Задание 9. Предприятие может вложить капитал в мероприятия А или Б. При вложении капитала в мероприятие А из 120 случаев прибыль 30 тыс. руб. была получена в 15 случаях, прибыль 35 тыс. руб. – в 60 случаях, прибыль 50 тыс. руб. – в 45 случаях. При вложении капитала в мероприятие Б из 160 случаев прибыль 25 тыс. руб. была получена в 16 случаях, прибыль 40 тыс. руб. – в 100 случаях, прибыль 45 тыс. руб. – в 44 случаях. Выберите вариант вложения капитала. Критерием выбора является максимум средней прибыли.

Задание 10. В таблице 51 представлены данные по динамике доходности двух активов: А и В. Какой из активов предпочтительнее для инвестора с точки зрения соотношения «риск-доходность»?

Таблица 51– Динамика доходности активов

Год	Доходность А, %	Доходность В, %
1	10	12
2	16	18
3	14	14
4	17	15

Блок 2

Задание 1. Имеются следующие статистические данные по акциям А, В и С (таблица 52). Рассчитайте доходность и риск портфеля, в котором акции А, В и С имеют одинаковый удельный вес. Как и почему изменятся эти характеристики, если доля акций А составит 25 %, доля В – 25 %, доля С – 50 % ?

Таблица 52– Распределение вероятностей доходности

Год	2005	2006	2007	2008	2009	Ожидаемая доходность	Дисперсия доходности
Доходность А	–20	20	33	−2	26	11,4	383,84
Доходность В	−11	19	44	−6	11	11,4	385,04
Доходность С	10	40	−7	26	−12	11,4	513,80

Задание 2. Рассматриваются четыре варианта инвестирования средств – государственные облигации, корпоративные облигации, акции фирмы 1, акции фирмы 2, характеризующиеся следующими показателями (таблица 53).

Таблица 53– Распределение вероятностей доходности

Состояние экономики	Вероят-ность	Доходность инвестиций, %
		гос. облигации	корпоративные облигации	акции фирмы 1	акции фирмы 2
Сильный спад	0,2	8	10	−2	−3
Спад	0,5	8	9	10	12
Подъем	0,2	8	8	14	15
Сильный подъем	0,1	8	7	19	26
Ожидаемая доходность	−	8	8,8	9,3	11
Дисперсия доходности	−	0	0,76	39,61	65,4

Используя коэффициенты корреляции, предложите вариант формирования портфеля из двух ценных бумаг, позволяющего максимально снизить риск.

Задание 3. Рассматриваются четыре варианта инвестирования средств, характеризующиеся следующими показателями (таблица 54).

Таблица 54 – Распределение вероятностей доходности

Состояние экономики	Вероятность	Доходность инвестиций, %
		акции А	акции В	акции С	акции Д
Сильный спад	0,05	−22	28	10	−13
Спад	0,20	−2	14,7	−10	1
Оживление	0,50	20	0	7	15
Подъем	0,20	35	−10	45	29
Сильный подъем	0,05	50	−20	30	43
Ожидаемая доходность	−	18	1,34	12,5	15
Дисперсия доходности	−	271	120,62	343,25	156,8

Используя показатель корреляции, предложите вариант формирования портфеля из двух ценных бумаг, позволяющего максимально снизить риск.

Задание 4. Даны вероятности распределения доходностей четырех ценных бумаг (таблица 55). Определите, какие пары этих ценных бумаг целесообразно объединять в портфель? Определите структуру портфелей, позволяющую максимально снизить риск.

Таблица 55 – Доходность инвестиций

Состояние экономики	Вероятность	Доходность инвестиций, %
		гос. облигации	корпоративные облигации	акции фирмы 1	акции фирмы 2
Сильный спад	0,1	10	6	14	2
Спад	0,2	10	8	12	6
Оживление	0,4	10	10	10	9
Подъем	0,2	10	12	8	15
Сильный подъем	0,1	10	14	6	20
Ожидаемая доходность	−	10	10	10	10
Среднее квадратическое отклонение доходности	−	0	2,19	2,19	5

Задание 5. Даны вероятности распределения доходностей трех ценных бумаг (таблица 56). Определите, из каких двух ценных бумаг целесообразнее сформировать портфель? Определите риск и доходность портфеля, если доля одной из бумаг составляет: а) 75 %; б) 50 %. Поясните изменения показателей.

Таблица 56 – Доходность инвестиций

Состояние экономики	Вероятность	Доходность инвестиций, %
		корпоративные облигации	акции фирмы А	акции фирмы В
Сильный спад	0,2	10	−2	−3
Спад	0,5	9	10	12
Подъем	0,2	8	14	15
Сильный подъем	0,1	7	19	26
Ожидаемая доходность	−	8,8	9,3	11
Среднее квадратическое отклонение доходности	−	0,87	6,29	8,09

Задание 6. Портфель состоит из двух акций А и В с корреляцией доходности минус один. Стандартное отклонение доходности акции А равно 20 %, акции В – 15 %. При каких удельных весах акций в портфеле его риск будет нулевым.

Задание 7. Фирма собирается создать портфель из трех ценных бумаг (таблица 57), распределив между ними имеющиеся средства в соотношении 1:1:3. Рассчитайте риск и доходность портфеля и сопоставьте с соответствующими характеристиками отдельных бумаг. Прокомментируйте целесообразность создания портфеля.

Таблица 57 – Распределение вероятностей доходности

Состояние экономики	Вероят-ность	Прогнозируемая доходность акций, %
		А	В	С
Спад	0,25	15	14	19
Оживление	0,50	19	18	17
Подъем	0,25	21	23	15
Ожидаемая доходность	−	18,5	18,25	17
Дисперсия доходности	−	4,75	10,2	2

Задание 8. Имеются следующие статистические данные по акциям А и В (таблица 58). Рассчитайте доходность портфеля, состоящего на 50 % из акций А и на 50 % из акций В. Вычислите и сопоставьте риск отдельных акций и портфеля. Сделайте вывод о целесообразности формирования портфеля.

Таблица 58 – Динамика доходности активов

Наименование бумаги	Доходность бумаги в году, %
	2005	2006	2007	2009	2010
А	−20	20	33	−2	26
В	−11	19	44	−6	11

Задание 9. Консервативный инвестор рассматривает возможность равномерного инвестирования средств в акции двух компаний в будущем году. Какие бумаги следует отобрать в портфель инвестора, если прогнозы их доходности отражены в таблице 59?

Таблица 59 − Распределение вероятностей доходности

Состояние экономики	Вероятность	Прогнозируемая доходность акций, %
		А	В	С
Спад	0,25	10	9	14
Оживление	0,50	14	13	12
Подъем	0,25	16	18	10

Задание 10. Фирма собирается создать портфель из трех ценных бумаг (таблица 60), равномерно распределив между ними имеющиеся средства. Рассчитайте риск и доходность портфеля и сопоставьте с соответствующими характеристиками отдельных бумаг. Прокомментируйте целесообразность создания портфеля.

Таблица 60 – Распределение вероятностей доходности

Состояние экономики	Вероят-ность	Прогнозируемая доходность акций, %
		А	В	С
Спад	0,25	15	14	19
Оживление	0,50	19	18	17
Подъем	0,25	21	23	15
Ожидаемая доходность	−	18,5	18,25	17
Дисперсия доходности	−	4,75	10,19	2

Задание 11. В таблице 61 приведены данные о доходности и риске отдельных портфелей. Определите, какие портфели являются доминирующими по отношению друг к другу?

Таблица 61– Характеристики портфелей активов

Портфель	Доходность портфеля, %	Риск портфеля, %
А	20	15
В	20	17
С	25	15
D	30	20

Задание 12. Доходность рискованного актива равна 30 %, актива без риска – 15 %. Инвестор хотел бы сформировать из этих бумаг умеренно-агрессивный портфель с доходностью 18 %. Определите, в каких пропорциях ему следует приобрести активы?

Задание 13. Доходность рискованного актива равна 30 %. Инвестор может занять средства под 15 % годовых. Определите, какова должна быть доля заёмных средств, чтобы портфель обеспечивал инвестору доходность 36 %.

Блок 3

Задание 1. Компания только что выплатила дивиденд по обыкновенным акциям – 900 руб. на акцию. Инвестор ожидает, что дивиденды будут расти с постоянным годовым темпом прироста 2 %. Безрисковая доходность 4 %, доходность рынка 10 %, β-коэффициент акции 1,3. Определите стоимость обыкновенной акции, предполагая срок ее обращения неограниченным.

Задание 2. Компания только что выплатила дивиденд по обыкновенным акциям – 1000 руб. на акцию. Предполагаемый темп роста дивидендов составляет 1,5 % в год. Безрисковая доходность 6 %, доходность рынка 12 %, β-коэффициент акции 0,8. Определите стоимость акции.

Задание 3. Данные по трем активам приведены в таблице 62.

Таблица 62 – Показатели финансовых активов

Наименование показателя	Финансовый актив
	а	б	в
β-коэффициент	−1,20	5,90	0,30
Дивиденд на акцию, руб.	20	7	9
Цена актива, руб.	200	50	100

Составьте безрисковый портфель (σ = 0), рассчитайте прибыль при начальном капитале 100000 руб. Доходность по безрисковым активам 5 %.

Задание 4. Имеются данные о β-коэффициентах по четырем активам (таблица 63). Составьте все возможные портфели с σ = 0. Объясните принцип решения.

Таблица 63 – β-коэффициент финансовых активов

Финансовый актив	а	б	в	г
β- коэффициент	−1,658	2,087	−0,293	1,296

Задание 5. Компания только что выплатила дивиденд по обыкновенным акциям – 600 руб. на акцию. Инвестор ожидает, что дивиденды будут расти с постоянным темпом прироста 4 %. Безрисковая доходность – 8 %, доходность рынка – 12 %, β-коэффициент акции 1,25. Определите стоимость обыкновенной акции.

Задание 6. Имеются данные о β-коэффициентах по 4 облигациям (таблица 64). Составьте все возможные портфели с β = 0. Объясните принцип решения.

Таблица 64 – β-коэффициент финансовых облигаций

Облигация	а	б	в	г
β-коэффициент	0,476	2,157	−0,968	1,193

Задание 7. Безрисковая ставка доходности 5 %. Акции оцениваемой компании характеризуются уровнем риска, равным 1,25 (β). Среднерыночная ставка доходности 17 %. Оцените требуемую доходность по данной компании.

Задание 8. Компания только что выплатила дивиденд по привилегированным акциям 1000 руб. на одну акцию. Безрисковая доходность 3 %, доходность рынка 1 %, β-коэффициент акции 1,0. Определите стоимость акции, предполагая срок ее обраще­ния неограниченным (п=∞).

Задание 9. Определите рыночную стоимость торговой площади, сдаваемой в аренду и приносящей в течение 15 лет по 15000 рублей, а затем проданной за 40 % от цены покупки. Требуемая ставка доходности – 18 % годовых. Степень риска актива – минимальная.

Задание 10. Определите рыночную стоимость актива, приносящего в течение 12 лет по 1500 рублей, а затем проданной за 120 % от цены покупки. Требуемая ставка доходности – 13 % годовых. Степень риска актива – максимальная.

Блок 4

Задание 1. Имеются следующие данные о прибыли на акцию и динамике за ряд лет: = 70 руб., σ² = 15876. Определите вероятность положительного и отрицательного значения результирующего показателя.

Задание 2. Проведите расчеты вероятности получения прибыли по инвестиционным проектам, используя данные прошлых периодов, приведенные в таблице 65.

Таблица 65 – Прибыль разных периодов по проектам

В миллионах рублей

Инвестиционный проект	Периоды
	1	2	3	4	5	6	7
№ 1	20	18	4	11	−8 0	22	20
№ 2	13	−2	1 1	16	26	14	12

Задание 3. Компания рассматривает вариант инвестирования средств в проект, характеризуемый следующей статистикой: в 15 случаях по данному проекту была получена прибыль в размере 30 тыс. руб., в 60 случаях – 35 тыс. руб., в 45 случаях – 50 тыс. руб. Предполагая, что распределе­ние прибылей подчиняется закону нормального распределения вероятностей, оцените вероятность получения прибыли по проекту: а) свыше 30 тыс. руб.; б) свыше 50 тыс. руб.; в) свыше 70 тыс. руб.

Задание 4. Рассчитайте вероятность положительной рентабельности активов по двум альтернативным проектам, опираясь на имеющиеся данные за прошлые периоды (таблица 66).

Таблица 66 – Рентабельность активов по проектам в разные периоды

В процентах

Проект	Период
	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й
А	9	−4	−1	4	17
Б	−1	2	13	8	16

Задание 5. Имеются исходные данные двух вариантов рискового вложения капитала (таблица 67).

Таблица 67– Варианты вложения капитала

Показатели	I вариант	II вариант
1 Доход, млн. руб.	10,0	15,0
2 Вероятность убытка, %	30,0	33,4

Сделайте выбор в пользу одного из представленных вариантов, используя основные правила решения рискового вложения капитала.

Задание 6. По данным задачи 6 блока 1 рассчитайте, какова вероятность того, что прибыль по активу «А» будет больше 50 тыс. руб., по активу «Б» – больше 20 тыс. руб.

Задание 7. Рассчитайте вероятность прибыльного возделыва­ния пшеницы и овса, если цена 1 ц пшеницы составляет 250,0 руб., цена 1ц овса – 154,54 руб.; затраты на 1 га посевов идентичны и равны 1400 руб. Известна динамика урожайности (ц/га) пшеницы - 10, 15, 8, 18, 7; овса - 17, 13, 9, 13, 22.

Задание 8. Выберите наименее рисковый вариант вложения капитала из следующих двух.

Вариант 1. Собственные средства инвестора 2500 тыс. руб.; максимально возможная сумма убытка 1200 тыс. руб.

Вариант 2. Собственные средства инвестора 8000 тыс. руб.; максимально возможная сумма убытка 3000 тыс. руб.

Задание 9. Рассчитайте вероятность прибыльного возделывания пшеницы и овса, если цена 1 ц пшеницы составляет 350,0 руб., цена 1 ц овса – 254,54 руб.; затраты на 1 га посевов идентичны и равны 2800 руб. Известна динамика урожайности (ц/га) пшеницы – 11; 14; 6; 19; 9. Овса – 18; 14; 8; 12; 24.

Задание 10. Компания рассматривает вариант инвестирования средств в проект, характеризуемый следующей статистикой: в 16 случаях по данному проекту была получена прибыль в размере 25 тыс. руб., в 100 случаях – 40 тыс. руб., в 44 случаях – 45 тыс. руб. Предполагая, что распределение прибылей подчиняется закону нормального распределения вероятностей, оцените вероятность получения прибыли по проекту: а) свыше 30 тыс. руб.; б) свыше 50 тыс. руб.; в) свыше 70 тыс. руб.