Задачник по ВМ, 1 семестр+

573. Найдите асимптоты графика функции

(

) =

3 7 −4 5

2 5

+3 7 .

→ − ∞ .

Ответ: Горизонтальные асимптоты:

= 1 при

→ + ∞ и

= −2 при

574. Найдите асимптоты графика функции

( ) = 3 8 −2 3 .

3

;

3 3 +2 8

= 3

и

3

при

= log8/3

горизонтальные асимптоты:

при

Ответ: Вертикальная асимптота:

2

2

→ + ∞

= − 2

→ − ∞ .

(

) =

−

−7

−7 .

575. Найдите асимптоты графика функции

Ответ: Вертикальных асимптот нет; горизонтальная3

асимптота−3

:

при

= −37

+7 37

= −2187

+15309

при

→ + ∞ .

наклонная асимптота:

или

→ − ∞ ;

(

) =

4

+6 .

= 0

576. Найдите асимптоты графика функции

−4−6

= 0 при

→ − ∞ ;

Ответ: Вертикальных асимптот нет; горизонтальная асимптота:

577. Найдите асимптоты графика функции

(

) = 4

+arctg(3 +2).

→ − ∞ .

Ответ: Наклонные асимптоты: = 4

+ 2 при

→ + ∞ и

= 4

− 2

при

578. Найдите асимптоты графика функции

(

) =

2ln

−1+

6 .

Ответ: У данной функции имеются две односторонние вертикальные−1

асимптоты

= 1

и

= 7

( )

= (1;7).

, расположенные на границе её области определения

+5 .

579. Найдите асимптоты графика функции

(

) =

ln 1−

2

2

наклонной асимптоты

→lim± ∞

(

)−

при нахождении коэффицинта

Указание: Вычисляя предел

воспользуйтесь правилом Лопиталя или

формулой

ln(1+ ) = −

2 + ( 2)

при

→ 0.

асимптотической

,

= +

Ответ: У данной функции имеются две вертикальные2

асимптоты

= −5

и

= −3

,

расположенные на границе её области определения

а

также наклонная асимптота:

= −2

+8

при

→ ± ∞ .

(− ∞ ; −5) (−3; + ∞ ),

(

) =

(

)

=

580. Найдите асимптоты графика функции

arctg(1−7

).

2

+ 7

→ − ∞ .

= −

2 +

7

при

→ + ∞

и

=

при

Ответ: Наклонные асимптоты:

1

1

582. Продифференцируйте функцию

(

) = 10

2

3 .

Преобразовывать и

(−10

1

+9 )

2

упрощать выражение производной не нужно.

1

Ответ:

′( ) = 10 − 3

(−10 2

+9

)3

(−20 +9).

2

1

5

4

3

583. Вычислите производную функции

10

Преобразовывать и упрощать выражение

производной не нужно.

+9 .

(

) = 8ctg

(5)

+5

−5

Ответ:

′( ) = 5 10

−5

3

+9

−109

(−15

).

1

2

3

+7

2

.

584. Вычислите производную функции

Преобразовывать и

упрощать выражение производной не нужно(.) = 8 6−6

Ответ: ′(

) = 8 6−6

3+7 2 ln6 (−18

2 +14

).

3

585. Продифференцируйте функцию

91

+8log9

5

−6 .

Преобразовывать и

упрощать выражение производной не нужно( ) =.

√6

Ответ:

′(

) = 8 (5

1

2

.

3 −6)ln9 15

4

2

586. Продифференцируйте функцию

(

) = 8lg

9

−3 .

Преобразовывать и упрощать

выражение производной не нужно.

Ответ:

′(

) = 8 4lg

3

9

2

−3

(9

1

18 .

2 −3)ln10

− (9

2 −6) 7 .

587. Продифференцируйте функцию

(

) = 4sin

7

2

3

−

2

1

11

′( ) = 4 7sin

6

2

3

−

2

cos 2

3

−

2

(6

2

−2 )− −

11

1

18

18 .

7

(9 2 −6) 7

589. Вычислите производную функции

2

7 2

Преобразовывать и упрощать выражение

производной не нужно.

2

−10 .

(

) = 7(−6 +5

) lg

Ответ:

7

2

2

6

2

1

′( ) = 7 (−12 +5) lg

2

−10 +7 (

−6

+5 ) 7lg

2

−10

4 .

(2 2 −10)ln10

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

590. Продифференцируйте функцию

√8 2 −7

+7

Преобразовывать и

упрощать выражение производной не нужно( ) =.

sin(4

3 +2 ) .

Ответ:

12−7 (16

−7) sin 4 3 +2 − √8

2 −7

+7

cos 4

3 +2

(12

2 +2)

′( ) =

2 8

sin(4

3 +2

)

2

+6

.

591. Вычислите производную функции

tg6

−3 3 +6

Преобразовывать и

упрощать выражение производной не нужно(.) =

10 3 −3

.

Ответ:

1

2) (10

3 −3)−

6tg5 −3 3 +6

tg6 −3 3 +6

+6

30 2

′( ) =

cos2(−3 3+6) (−9

10

3 −3

2

−6 +

8

3 −5

2 .

.

592. Вычислите производную функции

( ) =

8+72

3

Преобразовывать

8

4

Ответ:

’( ) =

−8 72 3−6 ln7 6

2

−4

2)2 (24

2

−10

).

8+72 3−6 2

+ (8 3 −5

593. Вычислите производную функции

2

5

2

−9).

Преобразовывать и упрощать выражение

производной не нужно.

(

) =

√−2

+6−ctg(7

Ответ:

−5

2 −9) 2

1

(−4

−1

14 .

’( ) = √−2 2 +6−ctg(7

2√−2

2 +6

)− sin2(7

2 −9)

594. Продифференцируйте функцию

6

2

6

производной не нужно.

Преобразовывать и упрощать выражение(

)

= ln

(−8

+7

)+arctg(4).

Ответ:

−6

5

2

1

’( ) = ln6(−8

6ln

−8

+7

−8

(−16 +7).

2 +7 )+arctg(4) 2

2

2 +7

595. Вычислите производную функции

2

−3

(5

2

−2).

Преобразовывать и упрощать выражение

производной не нужно.

(

) = log

−3

cos

Ответ:

2

2

−3 (5

2

−2)+log

2

−3

−sin

2

−3

2

(5

2

−2)+log

2

−3 cos

’( ) = ( 2 −3)ln cos

7

596. Вычислите производную функции

(

) =

2 −1+arcsin(−3 3 +8).

Ответ:

′( ) =

2

1

14 +

1−

1

3 +8

2 (−9

2

7 2 −1+arcsin(−3 3 +8)

(

−3

) .

)

597. Вычислите производную функции

− 3 +5

cos(8

2−4)

.

Преобразовывать и

упрощать выражение производной не нужно(.) =

Ответ:

3

cos(8 2−4)

(−3 2 +5)

2

3

2

’( ) = −

+5

cos(8

−4)+ln(−

+5

) −sin(8

−4) 16 .

− 3 +5

598. Вычислите производную функции

( ) =

sin(−10

2 +4)

−4

3+3 .

Ответ:

2

−4

3+3

cos(−10

2 +4) (−20 )

3

2

2

’( ) = sin(

−10

+4)

(−4

+3

)+ln(sin(−10

+4)) (−12

+3)

sin(−10 2 +4)

599. Вычислите производную функции

tg(7

−4) .

Преобразовывать и

упрощать выражение производной не нужно(.) = log3 −4

Ответ:

ln tg 7

−4

)

tg(71

−4) cos2(71

−4) 7 ln 3 −4

−ln tg(7

−4)

3

3−4

’( ) =

(

=

ln2 3 −4

.

ln 3 −4

600. Продифференцируйте функцию

log5 +3 7

2

+

+4 .

Преобразовывать и

упрощать выражение производной не нужно( ) =.

5

ln 7 2 + +4

14

+

+1

+3 −ln 7

2 +

+4

Ответ:

’( ) =

=

7 2

+4 ln 5

5

+3

.

ln 5 +3

ln2 5 +3

609. Дайте определение дифференциала функции

в точке

Используя

(0Ответ.68).:

(

) = 6

3 − 2 −6

+5

в точке( )

0 = 1,

вычислите0 .

приближенно

дифференциал функции

610. Дайте(0определение.68) ≈ 4+10дифференциала(0.68−1) = 0.8функции.

в точке

Используя

√998.

дифференциал функции

(

) = √

в точке

0 = 1000,

(вычислите)

приближенно0 .

Ответ: 3

1

1499

= 9.9933.

√998 ≈ 10+

(998−1000) =

611. Дайте определение300дифференциала функции150

в точке

Используя

дифференциал функции

(

) = ln

в точке

0 = 1,

вычислите( )

ln 0.91 .

приближенно0 .

(

) = arctg

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

дифференциалесли

в точке

0 = −1,

вычислите приближенно

arctg(−0.92),

функции

≈ 3.14159.

Ответ: arctg(−0.92) ≈ −

+ 1(−0.92+1) ≈ −0.7454.

614.

Дайте определение дифференциала4 2

функции

1,

в точке

Используя

если

(

) = arcsin

в точке

0 =

0приближенно.

дифференциал функции

( вычислите)

arcsin(0.52),

≈ 3.14159, √3 ≈ 1.73205.

2

Ответ: arcsin(0.52) ≈

6

+

2 (0.52−0.5) ≈ 0.5467.

√

615.

Дайте определение дифференциала3

функции

в точке

Используя

если

(

) = sin

в точке

0 = 3,

вычислите( )

приближенно0 .

дифференциал функции

sin(3 +0.09),

√3 ≈ 1.73205.

( +0.09)−

≈ 0.911.

Ответ: sin(

+0.09) ≈ √3 + 1

616.

Дайте определение3

дифференциала2 2 3

функции3

,

в точке

Используя

дифференциал функции

(

) = cos

в точке

0 = 2

приближенно0 .

3

(вычислите)

cos(23

+0.08), если √3 ≈ 1.73205.

(2

≈ −0.5693.

Ответ: cos(2 +0.08)

≈ − 1 − √3

+0.08)− 2

617.

Дайте определение3

дифференциала2 2

3функции

3в точке

Используя

Ответ:

(

) = tg

в точке

0

= 0,

вычислите( )

приближенно0 .

tg(−0.05).

дифференциал функции

Уравнение

tg(−0.05) ≈ 0+1 (−0.05−0) = −0.05.

5

касательной

),

618.

Составьте уравнение касательной к графику функции

при

перпендикулярной прямой, образующей с положительным

направлением оси

угол

= sin(

),

(

− 4, 4

Сделайте чертеж.

(

0) = 0,

′( 0) =

−1; уравнение касательной

=

− + .

45 .

Ответ:

0 =

,

2

619.

Составьте уравнение касательной к графику функции

=

−

+5,

перпендикулярной прямой

= − 7

−2.

′(

1

Ответ:

0 = 4,

(

0) = 17,

0) = 7; уравнение касательной

)

= 7

−11.

−2

+7

точке

0 = −2.

(

= 3

3

−3

2

в

620.

Составьте уравнение касательной к графику функции

Ответ:

= −25+46(

+2);

= 46

+67.

(

) = √

0 = 225.

621.

Составьте уравнение касательной к графику функции

в точке

1

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ответ:

(

−225);

=

1

+15+

15

622.

= 15+ 30

30

2 .

(

) = ln

0 = 1.

Составьте уравнение касательной к графику функции

в точке

Ответ:

= −1+

− 1 ;

=

−2.

(

) =

в точке 0 = −1.

623.

Составьте уравнение касательной к графику функции

Ответ:

= 1 + 1(

+1);

= 1

+ 2.

(

) = arctg в точке 0 = 1.

624.

Составьте уравнение касательной к графику функции

Ответ:

= 4 +

2(

−1); = 2

+ 4 − 2.

1

1

1

(

) = arcsin

625.

Составьте уравнение касательной к графику функции

в точке

0 = −

1

2.

= − 6

+ √3( +0.5); = √3

− 6 + √3.

Ответ:

2

2

1

(

) = sin

0 = .

626.

Составьте уравнение касательной к графику функции

в точке

Ответ:

2

2

√

2

√

2

√

2

4

√

√

627.

= 2 + 2 − 4 ; = 2 + 2 − 8 .

(

) = cos

0 =

4 .

Составьте уравнение касательной к графику функции

в точке

3

Ответ:

3

√2

√2

3

3

= −0.7354.

cos( 4

+0.04) = −

2

−

2

( 4

+0.04)− 4

(

0 = − 4.

628.

Составьте уравнение касательной к графику функции

) = tg

в точке

Ответ:

= −1+2

+ 4 ;

= 2

−1+ 2.

(

) = 4

3

+9

2

−3 +4

точке

0 = −1.

в

629.

Напишите уравнение касательной к графику функции

Ответ:

= −9

+3.

( ) =

5 2 +3

+3

630.

Напишите уравнение касательной к графику функции

в точке

0 = −1.

= −2

+3.

4 2 +7 +4

Ответ:

(

) = (5

−3)

8

2

−4 −4

точке

0 = 1.

в

631.

Напишите уравнение касательной к графику функции

Ответ:

= 29

−27.

0

= −7.

( ) = 2

2 +4 −69

в точке

632.

Напишите уравнение касательной к графику функции

sin( +7)

0

Ответ:

=

+7.

( ) = 4

2 −8 −11

= 3.

в точке

633.

Напишите уравнение касательной к графику функции

ln(2 −5)

Ответ:

= 2

−6.

arctg(−4

+20) в

634.

Напишите уравнение касательной к графику функции

точке

0 = 5.

( ) = −2 2 +6

+21

Ответ:

= −4 +20.

Исследование функций и построение графиков

Промежутки выпуклости и вогнутости

−

+32

−9

−8

выпуклости (выпуклости( )

= −

2

4

28

3

2

найдите промежутки

635.

Для функции

вниз), вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки

перегиба.

3

3

= −8, = 1, — точки перегиба.

3

2

636. Для функции

4

найдите промежутки выпуклости

(выпуклости вниз),

вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.

( ) = −4 +8

−7

−5

+2

−9 6

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

639. Для функции

найдите промежутки выпуклости (выпуклости вниз),

вогнутости (выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.

( ) =

+3

39; + ∞ ;

Ответ: Промежутoк вогнутости (выпуклости вверх):

промежутки выпуклости (выпуклости вниз): (− ∞ ; −3),

−3;39 ;

= 39 — точки перегиба.

3

640. Для функции

найдите промежутки выпуклости (выпуклости вниз),

вогнутости (выпуклости вверх2 ), а также укажите точки перегиба.

( ) =

+2

−√6;0 , √6; + ∞ ;

Ответ: Промежутки вогнутости (выпуклости вверх):

промежутки выпуклости (выпуклости вниз): − ∞ ; −√6 ,

0;√6 ;

= 0, = ±√6 — точки перегиба.

641. Для функции

2

−128 найдите промежутки выпуклости (выпуклости вниз),

642. Для функции

3 2 +7 +6

найдите промежутки выпуклости (выпуклости

вниз), вогнутости (

выпуклости вверх), а также укажите точки перегиба.

( ) =

−5

644. Для функции

9

найдите промежутки выпуклости (выпуклости вниз),

вверх), а также укажите точки перегиба.

вогнутости (выпуклости( ) =

−4

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

645. Постройте эскиз грaфикa кaкой-либо функции

(

),

удовлетворяющей следующим

условиям:

1)

[ ] = (− ∞ ; +

;∞ ), функция двaжды дифференцируемa нa облaсти

(− ∞ ;1) (1; + ∞ )

( )

1

1

2)

→lim− ∞

( )

→lim− ∞

(

)−

= −5,

→+lim∞

= −

, →lim+ ∞

( )+

= 1,

= 1,

3

3

→1−0lim

(

) = − ∞ ,

→1+0lim

(

) = 9 = (1);

3)

′( ) > 0 нa (− ∞ ; −4)и

′(

) < 0 нa (−4;1) (1; + ∞ ),  (−4) = 4;

4)

″ (

) > 0 нa (− ∞ ; −10) (1; + ∞ ) и

″ ( ) < 0 нa (−10;1).

14

тз

Построение графиков функций

646. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика

( ) =