Задачник по ВМ, 1 семестр+

−1 =

+4.

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ответ:

274.

Напишите1

каноническое5

уравнение прямой, проходящей через точку

(−13;6)

и

перпендикулярной прямой 8 +

−5 = 0.

Ответ:

+13 = −6.

275.

Напишите8

общее1

уравнение прямой, проходящей через точку

(9; −6)

и

перпендикулярной прямой

−3

+3

Ответ:

7

=

−3 .

276.

Напишите7 −3

общее−81 =уравнение0.

прямой, проходящей через точку

(−8;9)

и

Ответ:

2 −

+8 = 0.

перпендикулярной прямой

277.

Напишите+2 −общее10 = 0уравнение.

прямой, проходящей через точку

и

перпендикулярной прямой, проходящей через точки

(−4;9)

и

(4;16).

(3; −7)

Ответ: 8

+7

+25 = 0.

(−6; −3)

278.

Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

и

перпендикулярной прямой, проходящей через точки (3;4)и

(9;0).

Ответ:

+6 =

+3.

Прямая,

параллельная другой прямой

2

3

(−1; −5)

279.

Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку

и

параллельной прямой 2

+

+22 = 0.

Ответ: 2

+

+7 = 0

(4;11)

280.

Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

и

параллельной прямой

2

=

1 .

−3

−6

Ответ:

−4 =

−11.

281.

Напишите2

каноническое1

уравнение прямой, проходящей через точку

(−1;6)

и

параллельной прямой

4

=

0 .

−3

+2

Ответ:

+1 =

−6.

282.

Напишите4

каноническое0

уравнение прямой, проходящей через точку

(−5; −1)

и

параллельной прямой −3

−6 = 0.

Ответ:

+5

=

+1

283.

3

1 .

(6;2) и

Напишите общее уравнение прямой, проходящей через точку

+5

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

параллельной прямой

−9

Ответ:

4

= −5 .

284. Напишите5 +4

каноническое−38 = 0.

уравнение прямой, проходящей через точку

(8;8)

и

параллельной прямой, проходящей через точки

(−7; −7)и (−6; −4).

Ответ:

−8 =

−8.

285. Напишите1

общее3

уравнение прямой, проходящей через точку

(5; −7)

и

параллельной прямой, проходящей через точки

(4;2) и (7;1).

286.

Найдите точку пересечения прямых

+4

= 0 и 4

−

+17 = 0.

Ответ: Точка пересечения

(−4;1).

1

=

−4

3 −

+27 = 0.

287.

Найдите точку пересечения прямых

+15

−45

и

Ответ: Точка пересечения

(−6;9).

−15

=

−4

−6

+3

288.

Найдите точку пересечения прямых

и

Ответ: Точка пересечения

2

1

1

= −2 .

точки

(2; −10)и

(−3;0).

+2

+9 = 0

и прямой, проходящей через

289.

Найдите точку пересечения(5; −прямой1).

Ответ: Точка пересечения

(−1; −4).

3

=

1

290.

Найдите точку пересечения прямой

−7

+2

и прямой, проходящей через

Ответ: Точка пересечения

(16; −5), (12; −4),

291.

и

и

, где

Найдите точку пересечения(4; −прямых3).

(−4; −8)

(0; −5).

Ответ: Точка пересечения (4; −2).

4

=

6

точки

(−15; −8)и

(−13; −5).

и прямой, проходящей через

292.

Найдите точку пересечения прямой

+3

−4

293. Найдите точку пересечения прямой

−1

=

−1

и прямой, проходящей через

точки

и

3

12

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

294.

Выясните, данные прямые

+6

=

+8

и

4

−8

−6 = 0

совпадающие,

−3

7

параллельные или пересекающиеся.

Ответ: Это пересекающиеся прямые.

+6

+4

295.

Выясните, данные прямые

и

совпадающие,

параллельные или

пересекающиеся.

−2

+27 = 0

3

=

9

6

Ответ: Это параллельные прямые.

+2

296.

Выясните, данные прямые

+3

=

и

4

−8

−4 = 0

совпадающие,

4

2

параллельные или пересекающиеся.

Ответ: Это совпадающие прямые.

Задачи на расстояния, проекции, симметричные точки

−

+3 = 0.

297.

Найдите расстояние между точкой

(−1; −1)и прямой 2

Ответ:

= √5.

2

(3; −5)

4

=

7 .

298.

Найдите расстояние между точкой

и прямой

−8

+1

Ответ:

=

19

=

19

65.

299.

√65

65

(10; −16)на прямую

−3

−8 = 0.

Найдите проекцию точки

Ответ:

(5; −1).

(11;2)

3

=

−4 .

300.

Найдите проекцию точки

на прямую

+6

−8

Ответ:

(3; −4).

+2

−3 = 0.

301.

Найдите точку, симметричную точке (2; −7) относительно прямой

Ответ: (8;5).

(3;4)

1

=

−2 .

302.

Найдите точку, симметричную точке

относительно прямой

+2

+1

Ответ:

(−9; −2).

4

=

8

1

= 2 .

303.

Найдите расстояние между параллельными прямыми

−2

−5

и

+7

−2

Ответ:

= 3 5.

3

=

9

−6 +2 −10 = 0.

и

304.

Найдите расстояние между параллельными прямыми

+5

Ответ:

=

10.

√

−3 +6 = 0 и

305.

Найдите расстояние между параллельными прямыми 2

−6 +9 −57 = 0.

Ответ:

= √13.

+4 = 0 и 6

−7

−7 = 0.

Углы между прямыми

306. Найдите угол между прямыми 3 +

Ответ:

иж 11

шц

иж

11

шц

= arccos

иж 11

шц

иж27

шц

.

arccos √10 85

= arccos

√850

170√34

= arctg

11

307. Найдите угол между прямыми 5 +3

+8 = 0 и

+7

=

−2.

иж6

Ответ:

иж 12

шц

иж

12

шц

иж 6

3

шц

−1

шц

.

arcsin √34 10

= arcsin

√340

= arcsin

85

85

= arctg

7

308. Найдите угол между прямыми

1

= −3

и

2

=

−3 .

−4

−1

−2

−2

Ответ:

иж 11

шц

иж

11

шц

иж 3 шц

.

arccos √10 13

= arccos

√130

= arctg 11

(7;3),

309. Найдите угол при вершине

в треугольнике с вершинами (5;0),

(3+3√3; −3−2√3).

Ответ: 120 .

, если

(4;5),

(−1;9),

(−6; −8).

Площади

310. Найдите площадь параллелограмма

Ответ:

= 105.

(−6; −1),

(5;6),

311. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках

(−5;2).

= 13.

Ответ:

и

312.

Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки

(−3;1; −4)

(4;1; −1).

−1

=

+4.

Ответ:

+3 =

313.

7

0

3

Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки

(3; −4;2;1; −1)и (4; −4;2; −4; −3).

Ответ:

−3 =

+4

=

−2 =

−1 = +1.

314.

Напишите1

каноническое0 0

уравнение−5 −2прямой, проходящей через точку

(4;9; −6)

и

параллельной прямой

−4

=

2

=

3 .

−6

+6

−1

+4

Ответ:

−4

−9

=

−4 =

2

3 .

−5

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

(0;12;7;4)

параллельной прямой

−8

−8

и

315. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

−12

−2

=

1

= 4 =

0 .

Ответ:

−2 =

=

−7

=

−4

1

4

0 .

Ответ:

−5 =

−5 =

+2 =

+1.

Точка

5

4

−2

−2

1

пересечения прямых

4

−7

1

=

1 =

2

=

−4

−22

2

−4

3 +7

и

317.

Найдите точку пересечения прямых

1 −6

2

3

−9

4 +13

5

=

2

=

−2

=

1 .

Ответ: Точка пересечения

(2; −4;1;3).

1 +4

2 +6

=

3

318.

Найдите точку пересечения прямой

и прямой, проходящей

через точки

(−19;0;5)и (−7; −3;2).

1

=

2

1

Ответ: Точка пересечения

(−3; −4;1).

(4; −10;14),

(3; −6;11),

319.

Найдитеи

точку пересечения прямых

и

, где

(13;11; −7)

(9;8; −3).

(1;2;5).

Ответ: Точка пересечения

−3

=

4

=

3

3

=

1

= −2 .

320.

Найдите точку пересечения прямых

и

−3

+5

+7

−3

−1

−9

321. Найдите точку пересечения прямых

−17

=

−21

=

+1

и

+7

=

−5

=

−11

16

20

−4

−4

−5

1 .

322. Найдите точку пересечения прямой

−2

=

+1

=

−1

и прямой, проходящей

через точки (−1;5;4) и (3; −3;0).

1

−2

−1

Взаимное расположение прямых

−10

=

+9

=

−3

323. Выясните, данная прямая

и прямая, проходящая через точки

(−7; −11;18)

(−5; −7;26),

−5

6

3

и

совпадающие, параллельные, пересекающиеся или

324.

Выясните, данная прямая

7

=

1

=

4

и прямая, проходящая через точки

−35

+1

−13

(−23,5, −13)

и

(31, −13,5),

совпадающие, параллельные, пересекающиеся или

скрещивающиеся.

(7; −5; −3).

Ответ: Это пересекающиеся прямые. Их общая точка

325.

Выясните, данная прямая

−32

=

+37

=

+36

и прямая, проходящая через

точки

(14; −31; −24)

и

−6

6

5

(−4; −13; −9),

совпадающие, параллельные,

пересекающиеся или скрещивающиеся.

Ответ: Это параллельные прямые.

+34

+29

326.

Выясните, данная прямая

+16

и прямая, проходящая через

(−10; −24; −19)

(−1; −9; −4),

совпадающие, параллельные,

точки

и

3

=

5

=

5

пересекающиеся или скрещивающиеся.

Ответ: Это совпадающие прямые.

Задачи на расстояния, проекции, симметричные точки, перпендикуляры

327.

Найдите расстояние между точкой

(−8;1; −4)и осью координат .

Ответ:

= 4

5.

(−9; −3;12; −6)и прямой

328.

Найдите расстояние между точкой

+5

=

−11

=

+2

=

−4

2

−3

−1

−1 .

Ответ:

= 8√7.

(4; −12; −4)

−2

= 1

=

−3 .

329.

Найдите проекцию точки

на прямую

+1

+7

Ответ:

(4; −3; −1).

330.

Найдите точку, симметричную точке (−12; −13;8)относительно прямой

=

−3 =

−12.

−1Ответ0:

−2

331.

Нaпишите(4;19;0кa)ноническое.

урaвнение прямой, проходящей через точку

(−8; −3;16)

и пересекaющей прямую

−5

=

5

=

1

под прямым углом.

+8

+3

+3

+10

Ответ:

=

+3

−16

0

1

=

−5 .

4 +3

−

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

= 0 и проходящей через точку

(4; −2; −4).

Ответ:

−4

=

+2 =

+4.

334.

4

3

−1

Напишите каноническое уравнение прямой, перпендикулярной координатной

плоскости

и проходящей через точку

(8;3; −8).

Ответ:

−8 =

−3 =

+8.

335.

Напишите1

общее0

уравнение0

плоскости, проходящей через точку

(−8; −6;2)

и

перпендикулярной прямой

−3

−2

+5

Ответ:

2

=

8

=

−5 .

336.

Напишите2 +8

общее−5 +74уравнение= 0.

плоскости, перпендикулярной координатной оси

и

Ответ:

(

−4;9; −6).

проходящей через точку

(0;0;5),

337.

и

уравнение плоскости, проходящей через точки

Напишите+6 = 0общее.

(0;6;0)

(−2;0;0).

−6 +30 = 0.

Ответ: −2 + 6 + 5 −1 = 0 или 15 −5

(4; −5;2),

338.

Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки

(9; −4;6), (8; −6;7).

Ответ:

−

−

−7 = 0.

+7

+2

=

+2

339.

Напишите общее уравнение плоскости, содержащей прямую

и

параллельной прямой

−8 =

+1

+4

−6

=

8

2

Ответ:

9

=

1 .

340.

Напишите+ − общее+7 = 0уравнение.

плоскости, содержащей координатную ось

и

параллельной прямой

+3

=

−4

=

−1

Ответ: 3

+2

= 0.

2

6

−3 .

−7

=

+2

=

−2

341.

Найдите общее уравнение плоскости, содержащей прямую

и

Ответ:

5

+

+1 = 0.

4

−5

4

перпендикулярную плоскости

342.

Найдите5 −16общее−25уравнение−17 = 0плоскости. , содержащей координатную ось

и

перпендикулярную плоскости 7

−8

+3

+3 = 0.

Ответ: 3

−7общее= 0. уравнение плоскости, проходящей через точки

(8;1; −1)

и

(7; −6; −3)

−4 +6 +9 +5 = 0.

343.

Найдитеи перпендикулярную плоскости

Ответ: 3

−

+2 −21

= 0.

перпендикулярную плоскостям 3

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

(6;3;3)

+2

+2 = 0 и 13 +5 +6 +7 = 0.

и

344.

Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точку

Ответ: 12

−18 −11 +15 = 0.

345.

Найдите общее уравнение плоскости, содержащей точку (−1; −5; −4) и прямую

−1

=

+5

=

+8

3

−8

−2 .

+17 = 0.

Ответ: 4

+

+2

(−9; −9;7)

346.

Найдите общее уравнение плоскости, содержащей точку

и

координатную ось

.

Ответ:

347.

Напишите7 +9

общее= 0.

уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся

прямые

−2

=

+3

=

−4

−9

+2

+5

Ответ:−5

1

1 ,

3

=

−3 =

7 .

348.

Найдите5 +19общее+6

уравнение+23 = 0.плоскости, содержащей параллельные прямые

+4 =

+6

=

+5,

+6 =

+8

=

−1.

5Ответ:−4

3

15

−12

9

349.

Если да, то укажите общее

(3;5;4),

(1; −2; −3),

(3;1;1),

Принадлежат+2 + +21ли одной= 0.

плоскости точки

уравнение этой плоскости.

(Ответ−1; −:1;Да−, все4)?эти точки принадлежат плоскости

−7

−6

+8

+19 = 0.

Углы между прямыми и плоскостями

−1

=

5

350.

Найдите угол между прямыми

2

=

7

=

−3

=

−2

и

1 +9

+5

3 −1

4 −4

5 −4

1 −1

2 −9

=

3 +3

=

4 −1

5 −5

3

=

−2

2

1

=

2 .

иж 3 шц

Ответ:

arccos

иж

6

шц

= arccos

иж

6

шц

.

√88 22

√1936

= arccos

22

−

−4 = 0.

351.

Найдите угол между плоскостями

−5 +3 = 0 и 2

+6

Ответ:

arccos

иж

28

шц

= arccos

иж

28

шц

.

√26 41

√1066

2 +8

2 +3

352.

Найдите угол между прямой

1 +5

=

=

и плоскостью

− 1 +2 2 +2 3 +5 = 0.

= arcsinиж

2

4

3

Ответ: arcsinиж 12

шц

12 шц

= arcsinиж 4 √29шц.

Отрезки и лучи

√9 29

√261

29

(2; −10;8).

353.

Найдите расстояние между точками

(−4;5; −1) и

Ответ:

= 3√38.

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

354.

Найдите расстояние между точками

(4;3;1; −6) и (10; −5;9; −2).

Ответ: = 6 5.

(−1;2;0) отрезку с концами в точках

355.

и

Определите, принадлежит ли точка

(Ответ−3;1;4: Да)

, принадлежит(5;5; −12)..

357.

и

(−1;4;8)

отрезку с концами в точках

Определите, принадлежит ли точка

359.

Определите, пересекаются ли отрезки

и

, если

(−2;5;6;2; −1),

(14; −7; −10;2;11),

(−4;20;14; −7; −1),

(4; −4; −2;5;3)?

Ответ: Да, эти отрезки пересекаются в точке

(2;9; −9;6;4).

360.

Определите, пересекаются ли отрезки

и

, если

(3; −6;3; −4; −8),

(Ответ−18;0;: Нет−18;, эти−отрезки4;4), (не0; пересекаются−6;10; −12;4. ),

(2; −7;17; −16;8)?

, если

361.

и

(2; −1;0) лучу

с началом в точке

Определите, принадлежит ли точка

(Ответ4;5; −:4Да)

, принадлежит(0; −7;4). .

(9; −5;12; −15; −15)

точке

если

и

лучу

с началом в

362.

Определите, принадлежит ли точка

Ответ, : Да, принадлежит(1; −1;4; −.3;5)

(11; −6;14; −18; −20).

, если

363.

и

(6; −4;8)

лучу

с началом в точке

Определите, принадлежит ли точка

(Ответ−2;1;:−Нет4), не принадлежит(4; −2;5). .

(−5; −5; −3; −1)

если

и

лучу

с началом в точке

364.

Определите, принадлежит ли точка

,Ответ:(Нет−3;, не−2;принадлежит−2; −5) .

(3;7;1; −17).

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

366.

Найдите расстояние между точкой (−3; −3;5;5; −5) и гиперплоскостью

2 +3 + −5 −6 +4 = 0.

Ответ:

=

√75 =

15√3.

1

1

367.

Найдите проекцию точки (14; −6; −23) на плоскость 2 −2 −4 −12 = 0.

369.

Найдите точку, симметричную точке

(2;1;2) относительно плоскости

− Ответ− +8: = 0.

(13; −3;8;11;8)

гиперплоскости

относительно

370.

Найдите(6;1;6точку). , симметричную точке

Ответ:

3