Задачник по ВМ, 1 семестр+

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

1

Если в качестве базисной переменной взять

2, то ФНР будет иметь вид:

=

1; −2;0;0;0 ,

2 = 0;5;1;0;0 ,

3 =

0;1;0;1;0 ,

4 =

0. −6;0;0;1 .

Если в качестве базисной переменной взять

3, то ФНР будет иметь вид:

1

=

2

1

3 =

1

6

1;0;5;0;0 ,

2 = 0;1;5;0;0 ,

0;0; − 5;1;0 ,

4 = 0.0;5;0;1 .

1

Если в качестве базисной переменной взять

4, то ФНР будет иметь вид:

=

1;0;0;2;0 ,

2 = 0;1;0;1;0 ,

3 =

0;0;1; −5;0 ,

4 =

0.0;0;6;1 .

Если в качестве базисной переменной взять

5, то ФНР будет иметь вид:

1

1

=

1

,

2 = 0;1;0;0; −

1

,

3

5

,

4 = 0.0;0;1;

1;0;0;0; − 3

6

= 0;0;1;0;6

6 .

Ответ: Размерность

4 1 −9 2 −11 3 = 0

пространства решений равна 1.

1,

2, то ФНР будет иметь вид:

1

Если в качестве базисной переменной взять

=

23;9;1 .

1,

3, то ФНР будет иметь вид:

Если в качестве базисных переменных взять

1

=

23

1

9 ;1;

9 .

2,

3, то ФНР будет иметь вид:

Если в качестве базисных переменных взять

3 1 +5 2 −29 3 +4 4 = 0

17 1 +7 2 +9 3 +20 4 = 0

Ответ: Размерность

11 1 +5 2 +2 3 +13 4 = 0

пространства решений равна 2.

1,

2,

Если в качестве базисных переменных взять

то ФНР будет иметь вид:

1

=

31

65

2 =

9

1

− 8

; 8 ;1;0 ,

− 8; − 8;0;1 .

1,

3,

Если в качестве базисных переменных взять

то ФНР будет иметь вид:

1

=

31

8

2 =

77

1

− 65

;1;65;0 ,

− 65

;0;65;1 .

1,

4,

1

Если в качестве базисных переменных взять

то ФНР будет иметь вид:

=

9;1;0; −8 , 2 =

−77;0;1;65 .

2,

3,

Если в качестве базисных переменных взять

то ФНР будет иметь вид:

65

8

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

1

=

2 = 0; −

77

9

1; − 31; − 31;0 ,

31; −

31;1 .

4, то ФНР будет иметь вид:

Если в качестве базисных переменных взять

2,

1

=

1

8

2

=

77

31

1;9;0; −

9 ,

0; 9 ;1; − 9 .

3,

4, то ФНР будет иметь вид:

Если в качестве базисных переменных взять

1

=

1

; −

65

,

2 = 0;1;

9

31

1;0; − 77

77

77; −

77 .

6 1 −4 2 −10 3 −2 4 +10 5 = 0

9 1 −6 2 −15 3 −3 4 +15 5 = 0

Ответ: Размерность

3 1 −2 2 −5 3 − 4 +5 5 = 0

пространства решений равна 3.

1,

2, то ФНР будет иметь вид:

Если в качестве базисных переменных взять

1

=

13

1

2

=

−

1

7

3

=

1

8 ; − 16;1;0;0 ,

4; −

8;0;1;0 ,

−2; − 2;0;0;1 .

1

Если в качестве базисных переменных взять

1,

3, то ФНР будет иметь вид:

=

−26;1; −16;0;0 ,

2 =

−23;0; −14;1;0 ,

3 =

−15;0; −8;0;1 .

Если в качестве базисных переменных взять

1,

4, то ФНР будет иметь вид:

1

=

2

8

2

=

−

23

1

;0 ,

3

=

−

13

4

7;1;0; −

7;0 ,

14;0;1; − 14

7 ;0;0; −

7;1 .

Если в качестве базисных переменных взять

1,

5, то ФНР будет иметь вид:

1

=

4;1;0;0; −2 ,

2 =

15

1

3

13

7

8

;0;1;0; − 8 ,

=

4

;0;0;1; − 4 .

Если в качестве базисных переменных взять

2,

3, то ФНР будет иметь вид:

1

=

1; −

1

8

0;0 ,

2

=

23

2

3

=

15 16

26;13

0; − 26;13;1;0 ,

0; − 26;13;0;1 .

Если в качестве базисных переменных взять

2,

4, то ФНР будет иметь вид:

1

=

7

2

=

0; −

23

13

3 =

13

;0; −8;1 .

1;2;0; −4;0 ,

4 ;1; 2 ;0 ,

0; 2

Если в качестве базисных переменных взять

2,

5, то ФНР будет иметь вид:

1

=

1

1

2

=

0; −

15

13

,

3 =

0; −

13

1

1;4;0;0; −

2 ,

32;1;0;16

16;0;1; −

8 .

Если в качестве базисных переменных взять

3,

4, то ФНР будет иметь вид:

1

=

1;0;

14

1

2

=

0;1; −

4

26

3 =

26

15

23; − 23;0 ,

23; −

23;0 ,

0;0;23; −

23;1 .

Если в качестве базисных переменных взять

3,

5, то ФНР будет иметь вид:

1

=

1;0;

8

1

2

=

0;1; −

32

26

3 =

26

23

15; − 15;0 ,

15; −

15;0 ,

0;0; − 15; − 15;1 .

Если в качестве базисных переменных взять

4,

5, то ФНР будет иметь вид:

4

7

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

1 = 1;0;0;

,

2 = 0;1;0; −

16

;

2

,

3 = 0;0;1; −

15

;

23

13; −

13

13

13

26

26 .

−5 1 + 2 +5 3 −2 4 = 0

5 2 −3 3 −4 4 = 0

Ответ: Размерность

1 −3 2 −2 3 − 4 = 0

пространства решений равна 1.

1,

2,

3,

Если в качестве базисных переменных взять

то ФНР будет иметь вид:

1

=

118

1

91

− 67

; − 67; − 67;1 .

1,

2,

4,

Если в качестве базисных переменных взять

то ФНР будет иметь вид:

1

=

118

1

67

91 ;91;1; −

91 .

1,

3,

4,

1

Если в качестве базисных переменных взять

то ФНР будет иметь вид:

=

118;1;91; −67 .

2,

3,

4,

Если в качестве базисных переменных взять

то ФНР будет иметь вид:

1

=

1

91

67

1;118;

118; − 118 .

4 2 −2 3 +

4 = 0

−5 2 +2 3 −5 4 + 5 = 0

Ответ: Размерность

5 1 +2 2 − 3 −2 5 = 0

пространства решений равна 2.

1,

2,

3, то ФНР будет иметь вид:

Если в качестве базисных переменных взять

1

=

1

15

;1;0 ,

2 =

2

10; −4; − 2

5;1;2;0;1 .

1,

2,

4, то ФНР будет иметь вид:

Если в качестве базисных переменных взять

1

=

1

8

2

2 =

32

1

4

− 75

;15;1; − 15;0 ,

75; − 15;0;15;1 .

5, то ФНР будет иметь вид:

Если в качестве базисных переменных взять

1,

2,

1

=

1 1

1

8

1

15

5;2;1;0;2 ,

2 = 5; − 4;0;1;

4 .

1,

3,

4, то ФНР будет иметь вид:

Если в качестве базисных переменных взять

1

=

1

15

1

2 =

17

1 1

− 40

;1; 8 ; − 4;0 ,

40;0;8;4;1 .

3,

5, то ФНР будет иметь вид:

Если в качестве базисных переменных взять

1,

1

=

2

2 =

17

1

5;1;2;0;1 ,

10

;0;2;1;4 .

1,

4,

5, то ФНР будет иметь вид:

Если в качестве базисных переменных взять

32

17

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

1 =

;0;1;2;8 .

− 5

;1;0; −4; −15 , 2 =

5

3,

4, то ФНР будет иметь вид:

Если в качестве базисных переменных взять

2,

1 =

1; −40; −75;10;0 , 2 =

0;17;32; −4;1 .

3,

5, то ФНР будет иметь вид:

Если в качестве базисных переменных взять

2,

1 =

5

5

17

13

1;2;5;0;2

, 2 = 0; −

4

; −8;1; −

4 .

2,

4,

5, то ФНР будет иметь вид:

Если в качестве базисных переменных взять

1 =

1; −

5

5 75

, 2 =

0;

17

1

1

32;0;

8;32

32;1; − 8;32 .

4,

5, то ФНР будет иметь вид:

Если в качестве базисных переменных взять

3,

1 =

1;0;

1 ; −

40; −

75 , 2 =

0;1;16; − 2;

1 .

Нахождение

17

17

17

5

5

10

ранга матрицы

0

0

0 .

107. Найдите ранг матрицы

0

0

0

Ответ: Ранг матрицы равен 0.

−3

4

108. Найдите ранг матрицы

−5

−10

−6

8 .

Ответ: Ранг матрицы равен 1.

−15

−8

28

109. Найдите ранг матрицы −8

8

−7

−4

−1

9 .

−4

5

−6

2.

Ответ: Ранг матрицы равен

13

25

.

110. Найдите ранг матрицы

42

−14

−23

−37

6

−23

−41

Ответ:

7

−1

6 .

5

2

7

−8

8

−6

6

4

−7 8

1 −3 −5 5

−2

−5

−8

−2

−4

−1

6

8

−1

9

5

3

7

−2 6 −6 −8

6

−8

−8

4

−8

4

7

−4

−2 −2

2

1

1

−5

+5 4

−5

−4

2

7

−1

5

Ответ:

9

16

−7

−17

−29

11 .

−2

4

0

5

+3 = 7

−2

−2

−2

−6

2

−1

−1

−4

−4

−

+5

=

12

18

3

−31

−6

+7

=

3

62

Ответ:

=

3

−8

, =

3

2

−8

1

−1

−6 .

След матрицы

−1

4

−4 .

117. Вычислитеслед матрицы:

−6

7

−1

1

7

0

Ответ: −2.

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

( )

+

( )

,

если

=

0 8

, =

−5

−4

,

118. Вычислите матрицу tr

tr

0 −8

4

−9

Ответ:

32

−72

,

−40

−32

Умножение матриц

3

1

−2

5

−1 .

119. Вычислите произведение

−1

2

3

3

−3

3

−3

2

Ответ:

32

−72

−8

.

−32

72

8

−4

9

1

122. Вычислите произведение

−1

−3 3 0 5 0 5 .

−2

−3

3

0

5

0

5

Ответ:

−6

6

0

10

0

10

6

−6

0

−10

0

−10

3

−3

0

−5

0

−5

.

−9

9

0

15

0

15

6

−6

0

−10

0

−10

Ответ:

13 .

+

,

=

−4

−3

,

=

−4

3

=

−6

−6 .

124. Вычислите

если

и

0

−5

6

1

6

3

Ответ:

−5

−15

6

3

=

1

−12

−27

7

+

,

−6

−6

−33

1 .

6

−2 .

125. Вычислите

+

если

=

1

−3

и

=

2

−2

8

7

Ответ:

23

−37

+

4

18

=

27

−19

10

−6

−10

13

0

7 .

126. Вычислите произведение

2

−3

−5

−1 .

−4

2

4

−1

−2

−3

1

1

−1

Ответ:

6 .

1

4

3

−3

−1

−2

2 .

127. Вычислите произведение

−2

3

1

Ответ:

−8

12

1 .

−1

−2

3

0

1

2

−1

−2 .

128. Вычислите произведение

1

−4

2

1

1

−6

−5

−6

−6

2

Ответ:

2

1

1 .

−8

8

14

3

1

2

2

1

.

129. Вычислите произведение

2

3

1

−5

−5

Ответ:

−9

−10

2

2

−2

−5 .

1 1 3

1

−2 1 .

130. Вычислите произведение

1

1

1

−1

−3

1

−3

−2

−5

−1

−1

−2

Ответ:

−1

−6

0

−3

−8

−4 .

6

18

5

131. Вычислите

− ,

если

=

1

2 −3

и

= −2

7 1 .

−3

1

3

3

5

−8

−12

21

10

7

1

−1

−2

6

8

6

Ответ:

16

43

−19

5

−33

14

11

−29 − −19

−5

−24 = 33

16

−5 .

−4

16

−18

−7

−18

−21

3

34

3

132. Вычислите

( ),

если

( ) = 2

2 +5 +3

и

=

−3 −2

1 .

−4

5

0

1

−30

5

−20

25

0

−1

−1

−3

−35

10

Ответ:

2

3

0

0

−15

17

−12

−5 + −15 −10

5

+ 0

3

0 = 19

−31

−5 .

10

0

8

−5

−5

−15

0

0

3

15

−5

4

133. Вычислите

−7 −2 ,

где

= 5 −1 −4

,

— единичная матрица.

4

−4

2

36

16

24

−28

28

6

−1

−2

0

6

44

10

Ответ:

−14

−2

0

16

42

39 + −35

7

28 + 0

−2

0 = −19

47

67 .

24

39

41

−42

7

14

0

0

−2

−18

46

53

134. Вычислите

−6 +

tr

( )

,

где

=

−4

3

3

,

— единичная матрица.

4

2

3

29

−1

5

−24 −12

3

1

−3

9

−13

−13

Ответ:

−18

4

0

0

−1

34

−18 + 24

−18

−18 + 0

4

0 = 23

20

−36 .

5

−18

19

−18

−6

18

0

0

4

−13

−24

41

135. Вычислите

−

,

где

= 4

4

6

1

5

1

33

37

21

27

30

−4 −4

1

7

44

Ответ:

−23

6

37

57

25 − 30

68

−26 = 7

−11 51 .

21

25

38

−23

−26 33

44

51

5

136. Вычислите

( ),

если

( ) = 3

3 −3

2 −2 −2

и

=

2 2 −2 .

1

−1

4

Ответ:

2

−1

3

30 −39

95

6

−7

19

−4 2 −6 0 0 −2 68 −94 220

Степени матриц

,

=

0

−4 .

137. Вычислите

если

3

5

−1

Ответ:

125 −21

0

−64 .

=

0

−1 .

138. Вычислите

,

если

4

−1

5

Ответ:

1

−20

0

1 .

,

=

−2

2 .

139. Вычислите

10

если

−2

−2

Ответ:

32768

0

0

32768 .

=

1

3 .

140. Вычислите

,

если

5

−3

1

−

√

√

,

=

2

2

.

если

√2

√2

141. Вычислите 36

2

2

Ответ:

−1

0

− 2

− 2

0

−1 .

=

√3

1

.

142. Вычислите

81,

если

1

√3

2

2

Ответ:

0

−1

−2

2

1

0 .

=

0

7

6

143. Вычислите определитель матрицы

0

2

4 .

−2

−4

0

4

1

4

144.

Вычислите определитель

9

5 .

8

9

Ответ: −41.

=

−5

9

−5 .

145.

Вычислите определитель матрицы

−3

0

0

Ответ: 54.

3

0

−2

−4

9

3 .

146.

Вычислите определитель

9

−2

3

Ответ: −293.

4

6

1

−3

0

0

0

147.

Вычислите определитель матрицы

=

8

6

−1

−7

−8

0

−8

−2 .

Ответ:

−1296.

−7

0

0

−9

=

−5

−5

0

0

148.

Вычислите определитель матрицы

0

0

−3

8 .

−1

−8

0

0

Ответ: 1680.

0

0

−3

−8

−2

1

−3

1

149.

Вычислите определитель

−3

0

−5

4 .

0

−4

0

−5

−4

−4

5

1

−3

−67

53

*

200

Ответ: Присоединённая матрица:

=

−175

54

110

5

Искомый

определитель: −411.

−8

33

52

−35 .

140

39

−88

−4