Задачник по ВМ, 1 семестр+

2

2

2

−6

150. Вычислите определитель матрицы

=

2

−4

−2

−2

3

−3

13

1 .

2

−1

21

8

Ответ: −504.

−9

−12

6

6

3

151. Вычислите определитель

0

0

−8

5

−1 .

0

0

0

15

−9

6

0

−2

2

2

−5

−12

10

10

−1

,

если

=

5

1 .

152. Вычислите определитель матрицы −4

−7

−3

Ответ:

8

−4

1

= 4096.

=

6

3

,

153. Вычислите определитель произведения матриц

, если

2

5

=

4

8

−6

−1

2

−3

2

9 .

Ответ: 0.

=

9

−8 −4

,

154. Вычислите определитель произведения матриц

, если

1

5

1

−1

2

= −5

−5 .

−2

3

Ответ:

−508.

=

−7

−8

3

,

155. Вычислите определитель произведения матриц

, если

10

−3

−4

3

−7

7

−3

3

−1

= −4

−6

−4 .

3

−7

−5

уравнения

−1

6

3

10

−5

−6

−3

4 9 = −7

4 7 .

8

3

−2

4

8

−5

Ответ:

−

293

308.

−1

3

−1

157. При каких значениях параметра

определитель матрицы

не равен

−8

9

−7

нулю?

23

2

1

Ответ:

≠ 15.

−2

6

−4

158. При каких значениях параметра

определитель матрицы

не равен

5

4

нулю?

−5

2

−4

Ответ: . При любом значении параметра этот определитель не равен нулю.

159. При каких значениях параметра

определитель матрицы

−12

4

4

не

24

−8

−8

равен нулю?

4

2

Ответ:

. При любом значении параметра этот определитель равен нулю.

160. При каких значениях параметра

матрица

−6

8

2

вырожденная?

−4

−6

2

Ответ:

204

7

10

= 37 .

−7

4

−2

161. При каких значениях параметра

матрица

невырожденная?

1

5

−1

6

−3

эта матрица невырожденная.

Ответ:

.

При любом значении параметра

−6

6

3

162. При каких значениях параметра

матрица

невырожденная?

2

8

1

−2

2

При любом значении параметра эта

матрица вырожденная.

Ответ:

.

1

3

10

163. При каких значениях параметра

у матрицы

столбцы линейно

3

6

зависимы?

−1 10

6

37

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ответ:

≠ 6 .

4

−8

−4

164. При каких значениях параметра

у матрицы

столбцы линейно

−1

8

4

зависимы?

7

−2

Ответ:

. При любом значении параметра столбцы линейно независимы.

165. При каких значениях параметра

у матрицы

15

8

−10

столбцы линейно

12

−8

зависимы?

3

−4

−2

Ответ:

. При любом значении параметра столбцы линейно зависимы.

166. При каких значениях параметра

у матрицы

3

−6

1

ранг меньший 3?

2

4

−1

Ответ:

65

−3

−5

= − 33.

2

−7

10

167. При каких значениях параметра

у матрицы

ранг равен 3?

−3

3

.

−3

−4

3

Ответ:

При любом значении параметра ранг равен 3.

168. При каких значениях параметра

у матрицы

10

20

6

ранг меньший 3?

−8

−16

4

8

4

4 1 +5

2

+ 3 = 0

5 1 −4

2

+7 3 = 0

−2 1

−2

2

+4 3 = 0

− 1 + 2 −4 3 = 0

−6 1

+4

2

+ 3 = 0

ненулевые решения? Ответ

поясните.

= 8, 1 = 11, 2 = 3;

5

+3

= 8,

Ответ:

4

+4

= 7.

=

11

,

=

3

8

8.

−6 1 +5 2 +5 3 = 2

= 271,

1 = 28,

7 1 +6 2 −6 3 = 4

Ответ:

2 = 145,

3 = −3;

1 = 28 ,

2 =

145,

3 = −

3 .

271

271

271

Вычисление обратной матрицы

3

=

4

2 .

1

174. Вычислите матрицу, обратную к матрице

−2

−3

Ответ:

1

2

3

4

8

8

−4

−2

=

1

1 .

−

2

−4

=

13

16

−6 .

175. Вычислите матрицу, обратную к матрице

6

7

−3

4

−4

−6

2

−2

−3

−5

−6

2

Ответ:

1

−2

3

3

−4

3

3 =

2

2

2

−1

1

5 .

−2

−1

−5

−2

−2

6

1

3

−2

176. Вычислите матрицу, обратную к матрице

=

1

−1

1

−1

3

−1

2

−2 .

3

12

−10

1

1

−1 −1

−2

Ответ: −3 −14

11

−1

−2

−8

7

−1 .

Решение

матричных4 17уравнений−14 1

−2

−1

=

9

−16

177. Решите матричное уравнение

Ответ:

=

−6

7

9

−2

−60

59 .

3

2 .

2

−2

=

43

−38

178. Решите матричное уравнение

Ответ:

=

4

−5

−7

6

46

−40 .

2

−6 .

6

4

=

2

−6

−40 .

179. Решите матричное уравнение

−7

−7

−14

14

56

Ответ:

=

−3

1

−4

5

−3

−4 .

1

1

=

61

16 .

180. Решите матричное уравнение

6

1

−50

−15

=

−8

−7

36

11

Ответ:

7

9 .

6

5

−4

4 4

= −8 8

.

181. Решите матричное уравнение

3

3

−2

2

−11

=

3

−2

1

5

1

0

−6

Ответ:

−1

−1 .

2

1

1

4

−4 =

−22

−22 22 .

182. Решите матричное уравнение

4

−3

−3

10

−33

3

2

5

1

Ответ:

=

−3

−4

−3

4

−4

−1 .

1

5

2

=

26

−16

17 .

183. Решите матричное уравнение

−4

5

−5

−17

−17

4

=

3

−3

3 .

−1

−5

−4

−34

20

−15

Ответ:

3

3

4

4

−2

−1

5

−4

−5

= 3

−4

−35 .

184. Решите матричное уравнение

1

−1

1

−6

6

6

=

−3

−1

1

2

−1

4

−8

9

18

Ответ:

−4

3

−4 .

−4

−2

3

4

−1

1

3

=

4

3

185. Решите матричное уравнение

Ответ:

=

−3

2

1

1

2

5

1

2 .

2

−1 .

4

3

= 15

2 .

186. Решите матричное уравнение

3

4

13

5

Ответ:

=

3

−1

−2

5

−1

12

1

2 .

−3

−2

−4

=

11

−1

10

187. Решите матричное уравнение

Ответ:

=

−2

1

5

−5

2

−17

−3

−18 .

4

−1 .

Комплексные числа и многочлены

Многочлены и рациональные функции

3 +8 2 +12

+5.

188. Найдите целые действительные корни многочлена

Ответ: −1.

4 −

3 −10 2 +7 +3.

189. Найдите целые действительные корни многочлена

Ответ: 1, −3.

5 −

4 −4 3 +16 2 −21 +9.

190. Найдите целые действительные корни многочлена

Ответ: 1, 1, −3.

3 −2

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2 − +2.

3

+8

2

− −8

и

191.

Найдите наибольший общий делитель многочленов:

Ответ: 2 −1.

3

−2

2

−9 +18

3 −4

2 −29 −24.

и

192.

Найдите наибольший общий делитель многочленов:

Ответ:

8

2

+6

+5+

5

−2.

194. Представьте дробь

−4( −4)

в виде суммы простейших дробей над

.

Ответ:

10

−14

2 +16

+60

+6 +

+10.

(

−2)(

2 −4 +4)

.

195. Представьте дробь

в виде суммы простейших дробей над

−8 2 +38 −43

Ответ:

(

−2)3

+ ( −2)2

− −2.

1

6

(

8

−4)

.

1

3

−2)2(

в виде суммы простейших дробей над

196. Представьте дробь

2

2 −4

−14

Ответ:

2

2

7

−4 +

−2 + ( −2)2 .

+4)

197. Представьте дробь

(

20( 2 +3

в виде суммы простейших дробей над

.

32

−12

+7)(

2 +6

+13)

Ответ:

−48

+7 +

2 +6

+13.

+5)

198. Представьте дробь

(

16( 2 +8

в виде суммы простейших дробей над

.

+5)(

−3)(

+1)

Ответ:

−2

2

−2 −2+

1

+

−1

+

−4

−7

−1

+1

2 +3

+8.

202.

−1+2

)

и представьте результат в виде

+ .

Вычислите значение выражения (6− )(4+

Ответ:

21

−

52

− 5

5 .

( ) = (2+5 )

2

+(−3−

) +(6+

)

= 3+5 .

в точке

203.

Вычислите значение многочлена

Ответ: −180−37 .

2 = −1+ .

2

+

1 .

204.

Пусть

1

= −4+3 ,

Вычислите

161

1

2

Ответ:

27

−

50

50 .

= −9−8 .

1

+

2 .

205.

Пусть

1

= 7+6 , 2

Вычислите

1

−

2

Ответ:

|

|

44

256

2

+2

12

= 35 =

243, arg( ) = −

7

=

7 .

208. Пусть

= 2 cos 4

+ sin 4 ,

= 3 cos 5

+

sin 5 .

Найдите модуль и аргумент

= 6 8 .

Значение аргумента укажите на отрезке

[0,2

].

Ответ:

|

|

= 2

6

3

8

= 419904, arg(

) = −

1

+2 =

19

10

10 .

209. Приведите число

= 4√3+4 к тригонометрическому виду.

Ответ:

= 8 cos

6 +

sin 6 .

210.

Приведите число = 4 cos

+ sin

к алгебраическому виду.

Ответ:

= −4.

Уравнения

4 = −1.

211. Найдите комплексные корни уравнения

1

1

1

1

Ответ:

1

1

1

1

4 =

√2−

√2 .

1 = 2√2+

2√2 , 2 = −

2

√2− 2√2 , 3 = −

2√2+

2√2 ,

2

2

212.

Найдите комплексные корни уравнения

2 −8 +25 = 0.

Ответ:

1,2 = 4±3 .

2 +(−8− )

−28−16 = 0.

213.

Найдите комплексные корни уравнения (−2+ )

1

= 1+

один из его корней.

4

−11

3

+40

2

−58

+40 = 0,

если известно, что

215. Найдите все корни уравнения

Ответ:

1 = 1+ , 2 = 1− , 3 = 4,

4 = 5.

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

( 1; 2; 3) = (−3 1 +8 2 + 3; −9 1 −3 2 +7 3; −5 1 −4 2 −4 3).

Ответ:

−3

8

1

.

= −9

−3

7

−5

−4

−4

220. Составьте матрицу линейного оператора

, если известно, что

( 1) = 7 1 −8 2,

( 2) = 5 1 −3 2 .

−3 .

Ответ:

=

−8

7

5

=

9

,

221. Найдите значение линейного оператора

на векторе

если матрица этого

−5

оператора имеет вид:

=

5

−7 .

3

9

Ответ:

( ) =

66

= 66 1 −88 2 .

−88

2

3

222. На векторе

значение линейного оператора равно

Известно,

что матрица этого оператора в базисе

имеет вид

Найдите1 +7 2 . координаты

1,

2

=

( ) = 10

вектора

в базисе

1,

2 .

−3

1 .

Ответ:

= −

1 +4 2 .

этого оператора имеет вид:

= −3

−1

4 .

−1

−4

1

(

) =

11

4

6

1

Ответ:

−14 .

−19

=

−5

−7

,

224. Известно, что значение линейного оператора

на векторе

равно

−2

−31

а на векторе

=

−3

его значение равно

−44

Найдите значение этого линейного

−7

=

−1

−10 .

оператора на векторе

Ответ:

ж

−3 .

ц

−31

−44

−18

или

(

) =

и

−2

−

−3

шчч

= 2

−

=

3

5

2

−5

−7

−7

−10

−4

−1

=

−18

1

1

−3

−4 .