отчёт по двум лабам ЭММ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Филиал ВЗФЭИ в г. Уфе

Финансово-кредитный факультет

Лабораторная работа

по дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»

Вариант №4 (задачи 1.4, 2.4)

Исполнитель: Крутикова Л.П.

Курс: 3

№ личного дела: 09ффб02854

Специальность: Ф и К

Проверила: Фархиева С.А.

Уфа 2011 год

Лабораторная работа

Задача 1.4. Стандартом предусмотрено, что октановое число автомобильного бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы в нем — не более 0,3%. Для изготовления такого бензина на заводе используется смесь из четырех компонентов. Данные о ресурсах смешиваемых компонентов, их себестоимости и их октановом числе, а также о содержании серы приведены в таблице.

Характеристика	Компонент автомобильного бензина
	№1	№2	№3	№4
Октановое число	68	72	80	90
Содержание серы, %	0,35	0,35	0,3	0,2
Ресурсы, т	700	600	500	300
Себестоимость, ден.ед./т.	40	45	60	70

Требуется определить, сколько тонн каждого компонента следует использовать для получения 1000 т автомобильного бензина А-76, чтобы его себестоимость была минимальной.

Решение.

Целевая функция выражает минимальную себестоимость смеси и имеет следующий вид:

где х₁ – количество компонента №1 [т.],

х₂ – количество компонента №2 [т.],

х₃ – количество компонента №1 [т.],

х₄ – количество компонента №4 [т.],

Ограничения:

- по октановому числу:

;

- по содержанию серы:

;

- по необходимому объему:

;

- по ресурсам:

;

- неотрицательность ингредиентов:

.

Таким образом, математическая модель задачи имеет вид:

Решим прямую задачу с помощью пакета Excel функции «Поиск решения» (рис. 1-3).

Рис. 1. Фрагмент исходного рабочего листа Excel

Рис. 2. Диалоговое окно «Поиск решения»

Рис. 3. Фрагмент рабочего листа Excel, содержащий результаты решения

Таким образом, задача не имеет оптимального плана решения.

Задача 2.4. Компания, занимающаяся ремонтом автомобильных дорог, в следующем месяце будет проводить ремонтные дороги на пяти участках автодорог. Песок на участки ремонтных работ может доставляться из трех карьеров, месячные объемы предложений по карьерам известны. Из планов производства ремонтных работ известны месячные объемы потребностей по участкам работ. Имеются экономические оценки транспортных затрат (в у.е.) на перевозку 1 тонны песку с карьера на ремонтные участки.

Числовые данные для решения содержатся ниже в матрице планирования.

Требуется.

1. Предложить план перевозок песка на участки ремонта автодорог, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные издержки.

2. Определить, что произойдет с оптимальным планом, если изменятся условия перевозок: а) появится запрет на перевозки от первого карьера до второго участка работ; б) по этой коммуникации будет ограничен объем перевозок 3 тоннами.

Участок работ Карьер	В1	В2	В3	В4	В5	Предложение
А1	5	15	3	6	10	9
А2	23	8	13	27	12	11
А3	30	1	5	24	25	14
Потребности	8	9	13	8	12

Решение.

Исходные данные транспортной задачи приведены схематически: внутри прямоугольника заданы удельные транспортные затраты на перевозку единицы груза c_ij, слева указаны мощности поставщиков (карьеры) а_i, а сверху — мощности потребителей (участки работ) b_j. Необходимо найти оптимальный план закрепления поставщиков за потребителями x_ij.

Мощности поставщиков	Мощности потребителей
	8	9	13	8	12
9 11 14	5	15	3	6	10
	23	8	13	27	12
	30	1	5	24	25

В данной задаче суммарные запасы не равны суммарным потребностям, т.е.

Таким образом, транспортная задача является отрытой, что в дальнейшем отразится на системе ее ограничений.

Ввод условий задачи состоит из следующих шагов.

1. Создание формы для решения задачи.

Этот шаг предполагает создание матрицы перевозок. Для этого необходимо выполнить резервирование изменяемых ячеек, поэтому в блок ячеек В3:F5 вводятся «1» — так резервируется место, где после решения задачи будет находиться распределение поставок, обеспечивающее минимальные затраты на перевозку груза.

2. Ввод исходных данных. В нашем случае осуществляется ввод мощностей трех карьеров (ячейки А9:А11), потребности участков работ (В8:F8), а также транспортные затраты по доставке песка от конкретного поставщика потребителю (блок В9:F11) (рис. 4).

Рис. 4. Создание формы для ввода условий задачи

3. Ввод граничных условий.

3.1. Вводим условия реализации мощностей поставщиков. Для этого необходимо выполнить следующие операции:

- поместить курсор в ячейку A3;

- выбрать знак Σ;

- выделить необходимые для суммирования ячейки В3:F3;

- нажать ENTER для подтверждения ввода формулы для суммирования.

Аналогичные действия выполнить для ячеек А4, А5, т.е. ввести условия реализации мощностей всех поставщиков (для всех строк).

3.2. Вводим условия удовлетворения запросов потребителей. Для этого необходимо выполнить следующие операции:

- поместить курсор в ячейку В6;

- выбрать знак Σ, при этом автоматически выделяется весь столбец В3:В5;

- нажать ENTER для подтверждения суммирования показателей выделенного столбца.

Эту же последовательность действий выполнить для ячеек С6-Е6.

4. Назначение целевой функции.

Для вычисления значения целевой функции, соответствующей минимальным суммарным затратам на доставку груза, необходимо зарезервировать ячейку и ввести формулу для ее вычисления. Для этого необходимо произвести следующие действия

- поместить курсор в ячейку В13 (после решения задачи в данной ячейке будет находиться значение целевой функции);

- запустить Мастер функций;

- в окне Категория выбрать Математические;

- в окне Функция при помощи спинера выбрать СУММПРОИЗВ;

- нажать кнопку ОК;

- в окне СУММПРОИЗВ указать адреса массивов, элементы которых обрабатываются этой функцией: в поле Массив 1 указать адреса В3:F5; в поле Массив 2 указать адреса В9:F11;

- нажать кнопку ОК — подтверждение окончания ввода адресов массивов.

В поле ячейки В13 появится некоторое числовое значение, равное произведению единичных поставок на коэффициенты транспортных затрат по доставке грузов (в нашем случае — это число 207) (рис. 5).

Рис. 5. Введение зависимости из математической модели

5. Ввод зависимостей из математической модели.

Для этого необходимо выполнить следующие действия;

- выбрать Сервис => Поиск решения,

- поместить курсор в поле Установить целевую (ячейку);

- ввести адрес $В$13 (тем самым мы резервируем ячейку, куда после решения задачи помещается значение целевой функции);

- установить направление изменения целевой функции, равное Минимальному значению;

- ввести адреса изменяемых ячеек В3:F5. Для этого необходимо:

- выбрать Изменяя ячейки;

- ввести адреса $В$3:$F$5.

6. Ввод ограничений задачи.

В матрицу перевозок, содержащую исходные данные по задаче, необходимо ввести условие реализации мощностей всех поставщиков (рис. 6). Для этого необходимо:

- выбрать Добавить ограничения;

- в поле Ссылка на ячейку ввести адреса $А$3:$А$5;

- в среднем поле установить знак «≤» (так как задача является открытой). Для этого щелкнуть спинер и выбрать необходимый знак «≤»;

- в поле Ограничение установить адреса $А$9:$А$11;

- для подтверждения введенного условия нажать кнопку ОК.

Рис. 6. Введение ограничений по мощности всех поставщиков

Далее вводится ограничение, которое реализует условие удовлетворения мощностей всех потребителей (рис. 7). Для этого необходимо:

- выбрать Добавить ограничения;

- в поле Ссылка на ячейку ввести адреса $В$6:$F$6;

- в поле знака выбрать при помощи спинера знак «=»;

- в поле Ограничение установить адреса $В$8:$F$8;

- нажать кнопку ОК/

Рис. 7. Введение ограничений по мощности всех потребителей

После этого надо вернуться в поле Поиск решения. После ввода всех ограничений ввести ОК. На экране появится окно Поиск решения с введенными ограничениями (рис. 8).

Рис. 8. Ввод зависимостей из математической модели

7. Ввод параметров. С помощью окна Параметры можно вводить условия для решения оптимизационных задач. В нашей задаче следует установить флажок Неотрицательные значения и флажок Линейная модель. Нажать кнопку ОК. Опять появится диалоговое окно Поиск решения. Далее необходимо:

- щелкнуть по кнопке Параметры;

- выбрать переключатель Линейная модель;

- выбрать переключатель Неотрицательные значения (так как объемы поставок груза не могут быть отрицательными);

- нажать кнопку ОК. После этого произойдет переход в поле Поиск решения;

- нажать кнопку Выполнить.

Решение задачи выполняется сразу же после ввода данных, когда на экране находится диалоговое окно Поиск решения. Нажать кнопку Выполнить. На экране появится диалоговое окно Результаты поиска решения (рис. 9).

Рис. 9. Диалоговое окно Результаты поиска решения

В результате нами был получен оптимальный план перевозок:

Х₁₂ = 6 тонн песка следует перевезти от карьера 1 к участку работ 2;

Х₁₃ = 3 тонн песка следует перевезти от карьера 1 к участку работ 3;

Х₂₁ = 8 тонн песка следует перевезти от карьера 2 к участку работ 1;

Х₂₂ = 3 тонн песка следует перевезти от карьера 2 к участку работ 2;

Х₃₄ = 2 тонн песка следует перевезти от карьера 3 к участку работ 4;

Х₃₅ = 12 тонн песка следует перевезти от карьера 3 к участку работ 5.

Общая стоимость перевозок = 655 у.е.

Определим, что произойдет с оптимальным планом, если появится запрет на перевозки от первого карьера до второго участка работ.

Для этого необходимо ввести дополнительное ограничение (рис.10).

Рис. 10. Введение ограничения по запрету на перевозку от первого карьера до второго участка работ

Таким образом, диалоговое окно Поиск решения будет выглядеть следующим образом (рис. 11).

Рис. 11. Диалоговое окно Поиск решения

7. Получим следующее решение задачи (рис. 12).

Рис. 12. Диалоговое окно Результаты поиска решения

В результате нами был получен оптимальный план перевозок:

Х₁₄ = 8 тонн песка следует перевезти от карьера 1 к участку работ 4;

Х₁₅ = 1 тонн песка следует перевезти от карьера 1 к участку работ 5;

Х₂₁ = 8 тонн песка следует перевезти от карьера 2 к участку работ 1;

Х₂₃ = 3 тонн песка следует перевезти от карьера 2 к участку работ 3;

Х₃₃ = 10 тонн песка следует перевезти от карьера 3 к участку работ 3;

Х₃₅ = 4 тонн песка следует перевезти от карьера 3 к участку работ 5.

Общая стоимость перевозок = 431 у.е.

Таким образом, при запрете на перевозки от первого карьера до второго участка работ общая стоимость перевозок снизится.

Определим, что произойдет с оптимальным планом, если от первого карьера до второго участка работ будет ограничен объем перевозок 3 тоннами.

Для этого необходимо ввести дополнительное ограничение (рис.13).

Рис. 13. Введение дополнительного условия по ограничению объема перевозок 3 тоннами от первого карьера до второго участка работ

Таким образом, диалоговое окно Поиск решения будет выглядеть следующим образом (рис. 14).

Рис. 14. Диалоговое окно Поиск решения

7. Получим следующее решение задачи (рис. 15).

Рис. 15. Диалоговое окно Результаты поиска решения

В результате нами был получен оптимальный план перевозок:

Х₁₂ = 3 тонн песка следует перевезти от карьера 1 к участку работ 2;

Х₁₄ = 6 тонн песка следует перевезти от карьера 1 к участку работ 4;

Х₂₅ = 11 тонн песка следует перевезти от карьера 2 к участку работ 5;

Х₃₃ = 13 тонн песка следует перевезти от карьера 3 к участку работ 3;

Х₃₅ = 1 тонну песка следует перевезти от карьера 3 к участку работ 5.

Общая стоимость перевозок = 303 у.е.

Таким образом, при ограничении объема перевозок 3 тоннами на перевозки от первого карьера до второго участка работ общая стоимость перевозок также снизится.

15