Содержание

Введение ……………………………………………………………………………………………………………......3

1. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом ……….…………..6

2. Линейное приближение уравнений, описывающих движения вблизи

положения равновесия ………………………………………………………………………………………8

3. Критерии асимптотической устойчивости линейного приближения.............13

4. Гомогенный реактор с линейной температурной обратной связью …………..15

Заключение………………………………………………………………………………………………………….…19

Список литературы………………………………………………………………………………………………...20

Приложение…………………………………………………………………………………………………………...21

Введение.

При анализе и синтезе систем управления используются математические модели физических объектов. Их динамика в общем случае описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Для того чтобы изучить свойства сложной физической системы и научиться управлять ей, необходимо получить ее математическую модель. Для этого требуется установить все взаимосвязи между переменными, характеризующими поведение системы, поскольку все реальные системы по своей природе являются динамическими, то для их описания естественно использовать дифференциальные уравнения. В действительности, сложность системы и игнорирование нами ряда привходящих факторов обуславливают возникновение некоторых допущений, связанных с функционированием данной системы. Поэтому часто бывает полезным игнорировать эти допущения и произвести линеаризацию системы. В результате на основании физических законов, описывающих поведение эквивалентной линейной системы, мы можем получить систему линейных дифференциальных уравнений. Математическое описание проектируемого объекта называют математической моделью. Математическая модель – это совокупность математических элементов (чисел, переменных, векторов, множеств) и отношений между ними, которые с требуемой для проектирования точностью описывают свойства проектируемого объекта. На каждом этапе проектирования используется свое математическое описание проектируемого объекта, сложность которого должна быть согласована с возможностями анализа на ЭВМ, что приводит к необходимости иметь для одного объекта несколько моделей различного уровня сложности. В общей теории математического моделирования математическую модель любого объекта характеризуют внутренними, внешними, выходными параметрами и фазовыми переменными. Внутренние параметры модели определяются характеристиками компонентов, входящих в проектируемый объект, например номиналы элементов принципиальной схемы.

Выходные параметры модели – это показатели, характеризующие функциональные, эксплуатационные, конструкторско-технологические, экономические и другие характеристики проектируемого объекта. К таким показателям могут относиться масса и габариты проектируемого объекта, надежность, стоимость и т.п. Понятия внутренних и выходных параметров инвариантны, при моделировании на более сложном уровне выходные параметры могут стать внутренними и наоборот.

Внешние параметры модели – это характеристики внешней по отношению к проектируемому объекту среды, а также рабочие управляющие воздействия. Вектор внешних параметров в общем случае содержит множество самых различных составляющих.

Уравнения математической модели могут связывать некоторые физические характеристики компонентов, которые полностью характеризуют состояние объекта, но не являются выходными или внутренними параметрами модели. Такие характеристики называют фазовыми переменными. При построении математической модели физической системы исходные данные должны содержать сведения о структуре системы и свойствах входящих в нее компонентов. На каждом уровне моделирования различают математические модели проектируемого электромеханического объекта и компонентов, из которых состоит объект. Математические модели компонентов представляют собой системы уравнений, которые устанавливают связь между фазовыми переменными, внутренними и внешними параметрами, относящимися к данному компоненту. Эти уравнения называют компонентными, а соответствующую модель – компонентной. Например, уравнения закона Ома для магнитных цепей могут выступать компонентными уравнениями для электромеханических систем.

Математические модели объекта проектирования, представляющего объединение компонентов, получают на основе математических моделей компонентов, входящих в объект. Объединение компонентных уравнений в математическую модель объекта осуществляется на основе фундаментальных физических законов, например законов Кирхгофа. Уравнения, описывающие эти законы, называют топологическими уравнениями в выбранной системе координат, в которой представляется математическая модель. Они отражают связи между компонентами в устройстве (структурные свойства системы). Совокупность компонентных и топологических уравнений для проектируемого объекта и образует систему, являющуюся математической моделью объекта. Топологические и компонентные уравнения дают полное описание системы и путем их преобразования можно получить математические модели различных типов. Естественно стремление к таким моделям, которые содержат, возможно, меньшее число переменных, наиболее удобны по форме и требуют минимальных усилий при их построении. Часто имеется возможность сформировать математическую модель в однородной системе координат. Графическим аналогом системы выступает схема замещения. Например, для электрической цепи. В качестве этих координат выступают сечения или контуры этой схемы. Соответственно получаем уравнения сечений и уравнения контуров. Однако в общем случае приходится прибегать к неоднородным системам координат, когда переменные связаны как с контурами, так и с сечениями. Система координат называется сокращенной, если используется только часть сечений и контуров схемы.

Целью курсовой работы является исследование функционирования гомогенного реактора с линейной температурной обратной связью в отклонениях от стационарного состояния.

Для решения задачи используем уравнения динамики, применяем теорему об устойчивости линейного приближения.

Курсовая работа состоит из введения, 4 разделов, заключения, использованной литературы и приложения.

В первом разделе рассматривается простейшие типы дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом.

Во втором разделе рассмотрено линейное приближение уравнений, описывающих движения вблизи положения равновесия.

В третьем разделе представлен критерий асимптотической устойчивости линейного приближения.

В четвертом разделе рассмотрен гомогенный реактор с линейной температурной обратной связью.

В заключении перечислены основные разделы курсовой работы.

1. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом.

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, уравнения, связывающие аргумент, а также искомую функцию и её производные, взятые, вообще говоря, при различных значениях этого аргумента (в отличие от обычных дифференциальных уравнений). Примерами могут служить уравнения

x’'(t) = ax (t - τ)         (1.1)

и

x’'(t) = ax (kt),           (1.2)

где постоянные а, τ, k заданы; τ = t - (t - τ) в уравнении (1.1) и t - kt в уравнении (1.2) — отклонения аргумента. Такие уравнения появились в конце 18 в. Неоднократно рассматривались сами по себе и в связи с решением геометрических задач, а позднее — в связи с различными приложениями, прежде всего к теории регулирования. Построение систематической теории дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом было начато в 50-х гг. 20 в., а уже с 60-х гг. эта теория представляет собой значительный отдел математического анализа.

Наиболее хорошо изучены линейные однородные автономные (т. е. с постоянными коэффициентами и постоянными отклонениями аргумента) дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами; к таким уравнениям относится, например, (1.1). Здесь имеется достаточно полная система решений вида х = e^рt, причём для отыскания р получается трансцендентное характеристическое уравнение вида Р (р) = 0, где Р (р) — сумма членов вида Ap^m е^ap, m>0 — целое. Это уравнение имеет, вообще говоря, бесконечное число комплексных корней. Прочие решения рассматриваемого дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументам разлагаются в ряды по указанным простейшим решениям, и поэтому об основных свойствах совокупности решений, в частности об их устойчивости, можно судить по расположению нулей функции Р (р).

Важнейший и наиболее изученный класс дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами образуют дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, в которых старшая производная от искомой функции при каком-либо значении аргумента определяется через саму эту функцию и её младшие производные, взятые при меньших либо равных значениях аргумента. Примеры: уравнение (1.1) при τ=0 (τ—запаздывание); уравнение (1.2) при k =1 и t =0. Эти уравнения и их системы, если аргументом служит время, описывают процессы с последействием, скорость которых в любой момент определяется их состоянием не только в тот же момент (как для обычных дифференциальных уравнении), но и в предшествующие моменты. Такая ситуация возникает, в частности, в системах автоматического управления при наличии запаздывания в органе управления. Уравнения с запаздывающим аргументом во многом напоминают обыкновенные дифференциальные уравнения, однако в ряде отношений отличаются от них. Например, если решение уравнения (1.1) строится при t=t₀, то в качестве начального условия х (t) должно быть задано при t₀-τ=t=t₀; решение можно строить последовательно на интервалах t₀= t = t₀ + τ, t₀ + τ=t₀ + 2τ, пользуясь на каждом шаге результатом вычислений с предыдущего шага. В линейном автономном случае к таким уравнениям можно применять методы операционного исчисления.