- •43. Равномерное и равнопеременное вращения
- •44. Скорости и ускорения точек вращающегося тела.
- •2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки м воспользуемся формулами , .
- •3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов и , проведем из произвольной точки о оси ав радиус-вектор точки м (рис. 17). Тогда и по формуле
- •47. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела
- •50. Teopeмa сложения скоростей.
- •Относительное движение – в движущихся осях уравнениями
- •51. Теорема сложения ускорений. Ускорение Кориолиса.
- •53. Сложение вращений тела вокруг двух осей
- •56. Законы динамики
- •Задачи динамики для свободной и несвободной материальной точки.
42. Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 6). Ее положение через промежуток времени t зададим углом . Элементарные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначаются или ). Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта (рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.
Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:
Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т.е. так же, как и вектор (рис.7). Размерность угловой скорости dim =T–1, а ее единица — радиан в секунду (рад/с).
Линейная скорость точки (см. рис. 6)
т. е.
В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение:
При этом модуль векторного произведения, по определению, равен , а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к R.
Если ( = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения T — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2. Так как промежутку времени t = T соответствует = 2, то = 2/T, откуда
Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:
откуда
Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:
При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис.8), при замедленном — противонаправлен ему (рис.9).
Тангенциальная составляющая ускорения
Нормальная составляющая ускорения
Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота , угловая скорость , угловое ускорение ) выражается следующими формулами:
В случае равнопеременного движения точки по окружности (=const)
где 0 — начальная угловая скорость.
43. Равномерное и равнопеременное вращения
Если угловая скорость тела остается во все время движения постоянной (=const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Из формулы имеем .
Отсюда, считая, что в начальный момент времени t=0 угол , и беря интегралы слева от до , а справа от 0 до t, получим окончательно
.
Из равенства следует, что при равномерном вращении, когда
и .
В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость между n об/мин и 1/с. При одном обороте тело повернется на угол , а при n оборотах на ; этот поворот делается за время t = 1 мин = 60 сек. Из равенства следует тогда, что
.
Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным , то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в начальный момент времени t=0 угол , а угловая скорость ( - начальная угловая скорость).
Из формулы имеем . Интегрируя левую часть в пределах от до , а правую - в пределах от 0 до t, найдем ,
или .
Вторично интегрируя, найдем отсюда закон равнопеременного вращения
.
Если величины и имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные - равнозамедленным.
44. Скорости и ускорения точек вращающегося тела.
Установив характеристики движения всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек.
Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (см. рис.13). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время происходит элементарный поворот тела на угол , то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение . Тогда числовое значение скорости точки будет равно отношению к , т.е
или .
Скорость в отличие от угловой скорости тела называют иногда еще линейной или окружной скоростью точки М.
Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.
Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.
Так как для всех точек тела имеет в данный момент времени одно и то же значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения.
Рис.16 Рис. 15
2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки м воспользуемся формулами , .
В нашем случае . Подставляя значение в выражения и , получим:
или окончательно:
, .
Касательная составляющая ускорения направлена по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис.16). Полное ускорение точки М будет или .
Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом , который вычисляется по формуле . Подставляя сюда значения и , получаем .
Так как и имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол с радиусами описываемых ими окружностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.18.
Рис.17 Рис.18