32.Понятие о несобственныхинтегралах II-города. Интегралывида

₍a, p 0 _).

Несобственные интегралы второго рода

         Определение. Точка с называется особой точкой функции f(x), если  или этот предел не существует. Ниже рассматривается лишь первый случай.

         Пусть b есть особая точка функции f(x) и для любого  эта функция интегрируема на отрезке . Тогда предел

называется несобственным интегралом второго рода. Если этот предел существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится или существует, если же этот предел равен бесконечности, то интеграл расходится, или не существует.

         Аналогично, если особой точкой является а, то несобственный интеграл второго рода определяется так

.

         Наконец, если особая точка c удовлетворяет условию a<c<b, то интеграл определяется так

.

Заметьте, что  и  разные. Если взять их одинаковыми, то получающийся предел

называется главным значением несобственного интеграла второго рода.

33.Кривые наплоскости и в пространстве. Спрямляемаякривая, длинадугикривой (выводформулыдляявнозаданной кривой).Дифференциалдлиныдуги.

34.Вычисление площадей плоскихфигур в декартовых и полярныхкоординатах.

Полярная система координат и криволинейный сектор.

Любая точка в полярной системе координат задается полярным углом  и соответствующим полярным радиусом .  - это угол, отсчитываемый от полярной оси в положительном направлении (против часовой стрелки), а  - это расстояние от заданной точки до начала координат (полюса).

Если функция  неотрицательна на отрезке  и непрерывна на нем, то соответствующая ей криволинейная трапеция квадрируема, причемее площадь  выражается формулой

(4)

Доказательство. Криволинейная трапеция ограничена тремя отрезками и графиком непрерывной функции . Как было показано в пункте 2 такая фигура квадрируема. Чтобы вычислить площадь этой трапеции, построим для нее внешние и внутренние ступенчатые фигуры(см. рис. 26).

Тогда, с одной стороны, имеем:

где  — площадь внутренней ступенчатой фигуры,  —площадь внешней ступенчатой фигуры,  и . С другой стороны, по определению интеграла можно записать:

Таким образом, числа  и  разделяют одни и те же числовые множества:  . Но, как было показано при изучении определенного интеграла, эти множества разделяются лишь одним числом, и потому . Теорема доказана.

Аналогично доказывается, что если фигура ограничена снизу графиком функции , сверху графиком функции , а слева и справа прямыми  (рис. 30), то ее площадь выражается формулой

Наглядный смысл формулы (4) состоит в том, что криволинейную трапецию можно рассматривать как объединение «бесконечно тонких полосок» с основаниями  и высотами .

Пусть теперь функция  непрерывна на отрезке  и принимает на нем только неположительные значения. Выразим с помощью определенного интеграла площадь соответствующей криволинейной трапеции .

Рассмотрим фигуру , симметричную фигуре  относительно оси . Эта фигура (рис. 31) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком непрерывной на отрезке  функции , которая на  принимает только неотрицательные значения. По доказанному выше

. Но 

Значит, 

Как мы видим, в рассматриваемом случае интеграл  дает значение площади криволинейной трапеции  с точностью до знака. Если же функция  меняет знак на отрезке  в конечном числе точек, то значение интеграла  дает алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, ограниченных частями графика функции , отрезками оси  и, быть может, отрезками, параллельными оси  (рис. 32).

На рисунке полюс изображенчерной точкой, полярная ось – черным жирным лучом, а красная точка определяется углом  и расстоянием до полюса .

На практике очень часто полярную систему координат рассматривают вместе с прямоугольной декартовой, совмещая начала координат и полярную ось с осью абсцисс.

Связь декартовых и полярных координат задается соотношениями  и обратно .

На чертеже красная точка имеет координаты , а в полярной системе координат определяется углом  и расстоянием до полюса .

В полярной системе координат равенство  задает луч, выходящий из полюса и составляющий угол  с полярной осью ( задается в радианах или градусах). Полярная ось задается уравнением . Равенство  задает окружность с центром в начале координат радиуса C. В свою очередь функция  определяет некоторую линию в полярных координатах.

Обратите внимание, что мы будем считать функцию  всегда НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ, так как с геометрической позиции она задает расстояние от полюса до точки для данного значения угла . Однако, иногда рассматривают и отрицательные значения функции , так что желательно уточнить у преподавателя его отношение к этому вопросу.

Ниже на рисунке приведены несколько примеров линий в полярной системе координат.

Если функция  неотрицательна на отрезке  и непрерывна на нем, то соответствующая ей криволинейная трапеция квадрируема, причемее площадь  выражается формулой

(4)

Доказательство. Криволинейная трапеция ограничена тремя отрезками и графиком непрерывной функции . Как было показано в пункте 2 такая фигура квадрируема. Чтобы вычислить площадь этой трапеции, построим для нее внешние и внутренние ступенчатые фигуры(см. рис. 26).

Тогда, с одной стороны, имеем:

где  — площадь внутренней ступенчатой фигуры,  —площадь внешней ступенчатой фигуры,  и . С другой стороны, по определению интеграла можно записать:

Таким образом, числа  и  разделяют одни и те же числовые множества:  . Но, как было показано при изучении определенного интеграла, эти множества разделяются лишь одним числом, и потому . Теорема доказана.

Аналогично доказывается, что если фигура ограничена снизу графиком функции , сверху графиком функции , а слева и справа прямыми  (рис. 30), то ее площадь выражается формулой

Наглядный смысл формулы (4) состоит в том, что криволинейную трапецию можно рассматривать как объединение «бесконечно тонких полосок» с основаниями  и высотами .

Пусть теперь функция  непрерывна на отрезке  и принимает на нем только неположительные значения. Выразим с помощью определенного интеграла площадь соответствующей криволинейной трапеции .

Рассмотрим фигуру , симметричную фигуре  относительно оси . Эта фигура (рис. 31) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком непрерывной на отрезке  функции , которая на  принимает только неотрицательные значения. По доказанному выше

. Но 

Значит, 

Как мы видим, в рассматриваемом случае интеграл  дает значение площади криволинейной трапеции  с точностью до знака. Если же функция  меняет знак на отрезке  в конечном числе точек, то значение интеграла  дает алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, ограниченных частями графика функции , отрезками оси  и, быть может, отрезками, параллельными оси  (рис. 32).