Математическая статистика Вариационные ряды

Пусть собраны данные об успеваемости ста студентов в потоке. Для каждого из них средний балл за сессию составил 2,97; 2,79; 4,05; … 3,29; 3,12 (всего сто значений). Каждое из различных значений признака, которые были при этом получены, называют вариантойиливариантом. Отметим, что вариант, скорее всего, окажется меньше ста, так как они могут повторяться несколько раз (т.е. один и тот же средний балл получили несколько студентов).

В таком виде данные плохо обозримы для исследователя, поэтому их необходимо подвергнуть предварительной обработке. Для этого вначале наблюдения ранжируют (т.е. упорядочивают) по возрастанию или убыванию, а также определяют наибольшую и наименьшую варианту. Пусть в нашем случае самый низкий средний бал составил 2,5, а самый высокий – 5 баллов. Проведем группировку данных, т.е. разобьем их на несколько интервалов. Число интервалов не должно быть ни слишком большим (иначе такую группировку сложно изучать), ни слишком маленьким (иначе изучение такой группировки будет бесполезным, не отразит вариацию признака).

Разобьем наши наблюдения на пять интервалов и подсчитаем, сколько наблюдений попало в каждый интервал (результаты расчетов представлены в первых трех столбцах таблицы 4).

Соответствующее число наблюдений (число студентов, получивших средний бал из каждого интервала), называют частотойэтого интервала (группы) (обозначим ееn_i, гдеi– номер интервала). В нашем примере 22 студента получили средний балл от 2,5 до 3 (включая 2,5), поэтомуn₁= 22; 24 студента – от 3 до 3,5, поэтомуn₂= 24 и т.д.

Упорядоченный ряд вариант с соответствующими им частотами называют вариационным рядом. В таблице 4 представлен сгруппированный вариационный ряд.

Обозначим общее число наблюдений n(в нашем случаеn= 100). Если отнести частоту к общему числу студентов, можно получитьотносительную частотуw_i=n_i/n, которая показывает долю наблюдений из этого интервала во всей совокупности наблюдений. Например, относительная частота для первого интервала составляетw₁=n₁/n= 22/100 = 0,22.

Таблица 4 – Интервальный вариационный ряд

№ (i)	Средний балл	Число студентов (ni)	Относительная частота (wi)	Накопленная частота	Накопленная относительная частота
1	2,5-3	22	0,22	22	0,22
2	3-3,5	24	0,24	46	0,46
3	3,5-4	17	0,17	63	0,63
4	4-4,5	15	0,15	78	0,78
5	4,5-5	22	0,22	100	1
		100	1

При анализе вариационных рядов принято также рассчитывать накопленные частотыинакопленные относительные частоты. Каждая из них показывает, сколько имеется наблюдений с вариантами, меньшимиi-й варианты. Например, для второго интервала накопленная частота равна 22 + + 24 = 46, т.е. имеется 46 студентов со средним баллом до 3,5. Для третьего интервала накопленная частота равна 46 + 17 = 63 (к предыдущей накопленной частоте прибавили частоту третьего интервала), и т.д. Накопленная относительная частота для второго интервала равна 0,22 + 0,24 = = 0,46, т.е. 46% студентов имеют средний балл до 3,5. И т.д.

Вышеперечисленные показатели также приведены в табл. 4.

В рассмотренном примере средний балл был округлен до сотых долей, но можно было бы округлить и с большей точностью. Поэтому можно сказать, что варианты могут отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину, т.е. принимать любые значения на промежутке [2,5; 5]. Такой вариационный ряд принято называть непрерывным, илиинтервальным. Существуют такжедискретныевариационные ряды, в которых варианты принимают отдельные значения. Например, если рассматривается не средний балл по всем дисциплинам, а оценка по одной дисциплине у ста студентов, то варианты будут 2, 3, 4 или 5 (пример приведен в таблице 5).

Таблица 5– Дискретный вариационный ряд

№	Балл	Число студентов	Накопленная частота	Относительная частота	Накопленная относительная частота
1	2	3	3	0,03	0,03
2	3	25	28	0,25	0,28
3	4	39	67	0,39	0,67
4	5	33	100	0,33	1
		100		1