Линейная алгебра и аналитическая геометрия
.pdfА. П. ПОТАПОВ
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Теория, задачи и упражнения
Учебное пособие |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Предисловие.................................................................................................. |
8 |
Часть . Теория.............................................................................................. |
10 |
1. Линейная алгебра...................................................................................... |
10 |
1.1. Определители................................................................................. |
20 |
1.1.1. Определители 2-го и 3-го порядка.................................... |
20 |
1.1.2. Свойства определителей 2-го и 3-го порядка.................. |
21 |
1.1.3. Миноры и алгебраические дополнения элементов |
|
матрицы 3-го порядка.................................................................................. |
23 |
1.1.4. Разложение определителя 3-го порядка по строке или |
|
столбцу........................................................................................................... |
25 |
1.1.5. Определители 4-го порядка............................................... |
27 |
1.1.6. Определители n-го порядка............................................... |
30 |
1.1.7. Определитель Вандермонда.............................................. |
32 |
1.2. Матрицы........................................................................................ |
34 |
1.2.1. Виды матриц, равенство матриц....................................... |
34 |
1.2.2. Линейные действия с матрицами и их свойства............. |
36 |
1.2.3. Умножение матриц и его свойства................................... |
38 |
1.2.4. Обратная матрица и ее свойства....................................... |
41 |
1.2.5. Ранг матрицы...................................................................... |
45 |
1.3. Системы линейных уравнений..................................................... |
49 |
1.3.1. Основные понятия.............................................................. |
49 |
1.3.2. Решение систем линейных уравнений матричным |
|
способом........................................................................................................ |
51 |
1.3.3. Решение систем линейных уравнений по формулам |
|
Крамера......................................................................................................... |
52 |
1.3.4. Исследование систем линейных уравнений.................... |
54 |
3
1.3.5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. |
58 |
1.3.6. Однородные системы линейных уравнений.................... |
60 |
1.3.7. Собственные значения и собственные векторы |
|
квадратных матриц....................................................................................... |
64 |
2. Векторная алгебра.................................................................................... |
68 |
2.1. Линейные действия с векторами.................................................. |
68 |
2.1.1. Основные понятия.............................................................. |
68 |
2.1.2. Линейные действия с векторами и их свойства.............. |
71 |
2.1.3. Условия коллинеарности и компланарности векторов.. |
74 |
2.1.4. Линейные векторные пространства. Понятие базиса..... |
78 |
2.1.5. Разложение вектора по базису.......................................... |
81 |
2.2. Умножение векторов..................................................................... |
87 |
2.2.1. Проекция вектора на ось и ее свойства............................ |
87 |
2.2.2. Скалярное произведение векторов и его свойства.......... |
89 |
2.2.3. Векторное произведение векторов и его свойства.......... |
92 |
2.2.4. Смешанное произведение векторов и его свойства........ |
97 |
2.3. Системы координат....................................................................... |
100 |
2.3.1. Прямоугольная декартова система координат................ |
100 |
2.3.2. Действия с векторами в прямоугольной декартовой |
|
системе координат....................................................................................... |
103 |
2.3.3. Полярная система координат на плоскости.................... |
108 |
2.3.4. Цилиндрическая и сферическая системы координат в |
|
пространстве................................................................................................. |
110 |
2.4. Геометрические задачи................................................................. |
113 |
2.4.1. Вычисление модуля, направляющих косинусов |
|
и проекций векторов..................................................................................... |
113 |
2.4.2. Деление отрезка в данном отношении............................. |
115 |
2.4.3. Вычисление расстояния между двумя точками и угла |
|
между двумя векторами............................................................................... |
116 |
2.4.4. Вычисление площадей и объемов..................................... |
118 |
3. Аналитическая геометрия на плоскости................................................ |
121 |
3.1. Линии на плоскости...................................................................... |
121 |
3.1.1. Преобразование прямоугольных координат на |
|
плоскости....................................................................................................... |
121 |
3.1.2. Уравнение линии на плоскости......................................... |
126 |
4
3.2. Прямая на плоскости..................................................................... |
134 |
3.2.1. Различные виды уравнений прямой на плоскости.......... |
134 |
3.2.2. Геометрические задачи на прямую линию на |
|
плоскости....................................................................................................... |
143 |
3.3. Кривые 2-го порядка..................................................................... |
152 |
3.3.1. Эллипс................................................................................. |
153 |
3.3.2. Гипербола............................................................................ |
158 |
3.3.3. Парабола.............................................................................. |
165 |
3.3.4. Общие свойства кривых 2-го порядка.............................. |
167 |
3.3.5. Исследование общего уравнения кривых 2-го порядка. |
171 |
3.3.6. Приведение общего уравнения кривых 2-го порядка |
|
к каноническому виду.................................................................................. |
174 |
4. Аналитическая геометрия в пространстве............................................. |
179 |
4.1. Поверхности и линии в пространстве......................................... |
179 |
4.1.1. Уравнение поверхности в пространстве.......................... |
179 |
4.1.2. Уравнения линии в пространстве..................................... |
183 |
4.2. Плоскость и прямая в пространстве............................................ |
185 |
4.2.1. Различные виды уравнений плоскости............................ |
185 |
4.2.2. Основные задачи на плоскость в пространстве............... |
192 |
4.2.3. Различные виды уравнений прямой в пространстве....... |
196 |
4.2.4. Основные задачи на прямую в пространстве.................. |
202 |
4.2.5. Основные задачи на прямую и плоскость в |
|
пространстве................................................................................................. |
205 |
4.3. Поверхности 2-го порядка............................................................ |
208 |
4.3.1. Цилиндрические поверхности.......................................... |
208 |
4.3.2. Конические поверхности................................................... |
211 |
4.3.3. Поверхности вращения...................................................... |
214 |
4.4.4. Эллипсоиды........................................................................ |
216 |
4.4.5. Гиперболоиды..................................................................... |
218 |
4.4.6. Параболоиды...................................................................... |
221 |
4.4.7. Общее уравнение поверхности 2-го порядка.................. |
224 |
Часть . Задачи и упражнения.................................................................... |
229 |
5. Линейная алгебра...................................................................................... |
229 |
5.1. Определители................................................................................. |
229 |
5.1.1. Определители 2-го порядка............................................... |
229 |
5
5.1.2. Определители 3-го порядка............................................... |
231 |
5.1.3. Определители порядка выше 3-го.................................... |
232 |
5.1.4. Определители Вандермонда.............................................. |
233 |
5.1.5. Определители n-го порядка............................................... |
234 |
5.1.6. Дополнительные задачи.................................................... |
235 |
5.2. Матрицы......................................................................................... |
236 |
5.2.1. Действия над матрицами....................................................... |
236 |
5.2.2. Обратная матрица................................................................... |
238 |
5.2.3. Ранг матрицы.......................................................................... |
239 |
5.2.4. Дополнительные задачи........................................................ |
240 |
5.3. Системы линейных уравнений..................................................... |
242 |
5.3.1. Формулы Крамера.............................................................. |
242 |
5.3.2. Матричный способ............................................................. |
243 |
5.3.3. Метод Гаусса...................................................................... |
243 |
5.3.4. Однородные системы......................................................... |
244 |
5.3.5. Собственные числа и собственные векторы.................... |
244 |
5.3.6. Дополнительные задачи.................................................... |
245 |
6. Векторная алгебра.................................................................................... |
247 |
6.1. Действия с векторами................................................................... |
247 |
6.1.1. Линейные действия с векторами...................................... |
247 |
6.1.2. Умножение векторов......................................................... |
249 |
6.1.3. Дополнительные задачи.................................................... |
251 |
6.2. Геометрические задачи................................................................. |
252 |
6.2.1. Прямоугольная декартова система координат………… 252 |
|
6.2.2. Полярные, цилиндрические и сферические |
|
координаты.................................................................................................... |
256 |
6.2.3. Дополнительные задачи.................................................... |
258 |
7. Аналитическая геометрия на плоскости................................................ |
259 |
7.1. Преобразование координат. Линии на плоскости...................... |
259 |
7.1.1. Преобразование декартовых координат.......................... |
259 |
7.1.2. Уравнения линий на плоскости........................................ |
260 |
7.2. Прямая на плоскости..................................................................... |
261 |
7.2.1. Уравнения прямой на плоскости...................................... |
261 |
7.2.2. Основные задачи................................................................ |
262 |
7.2.3. Дополнительные задачи.................................................... |
263 |
6
7.3. Кривые 2-го порядка..................................................................... |
264 |
7.3.1. Окружность......................................................................... |
264 |
7.3.2. Эллипс................................................................................. |
265 |
7.3.3. Гипербола............................................................................ |
266 |
7.3.4. Парабола............................................................................. |
267 |
7.3.5. Дополнительные задачи.................................................... |
268 |
8. Аналитическая геометрия в пространстве............................................. |
269 |
8.1. Линии и поверхности в пространстве......................................... |
269 |
8.2. Плоскость и прямая в пространстве............................................ |
271 |
8.2.1. Основные задачи................................................................ |
271 |
8.2.2. Дополнительные задачи.................................................... |
274 |
8.3. Поверхности 2-го порядка............................................................ |
274 |
8.3.1. Основные задачи................................................................ |
274 |
8.3.2. Дополнительные задачи.................................................... |
275 |
9. Ответы....................................................................................................... |
276 |
9.1. Линейная алгебра.......................................................................... |
276 |
9.1.1. Определители..................................................................... |
276 |
9.1.2. Матрицы.............................................................................. |
278 |
9.1.3. Системы линейных уравнений.......................................... |
282 |
9.2. Векторная алгебра......................................................................... |
287 |
9.2.1. Действия с векторами........................................................ |
287 |
9.2.2. Геометрические задачи...................................................... |
288 |
9.3. Аналитическая геометрия на плоскости..................................... |
292 |
9.3.1. Преобразование координат. Линии на плоскости…....... |
292 |
9.3.2. Прямая на плоскости.......................................................... |
296 |
9.3.3. Кривые 2-го порядка.......................................................... |
302 |
9.4. Аналитическая геометрия в пространстве.................................. |
304 |
9.4.1. Линии и поверхности в пространстве.............................. |
304 |
9.4.2. Плоскость и прямая в пространстве................................. |
305 |
9.4.3. Поверхности 2-го порядка................................................. |
306 |
Приложения................................................................................................... |
309 |
Приложение 1. Образцы контрольных работ.................................... |
310 |
Приложение 2. Ответы и решения контрольных работ.................... |
317 |
Библиографический список......................................................................... |
341 |
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие по Линейной алгебре и Аналитической геометрии включает те разделы Высшей математики, которые, как правило, изучаются на технических факультетах Вузов в 1-м семестре. Пособие состоит из 2-х частей и Приложения. В первой части излагаются теория и методы решения основных задач по следующим разделам курса Высшей математики:
1.Линейная алгебра.
2.Векторная алгебра.
3.Аналитическая геометрия на плоскости.
4.Аналитическая геометрия в пространстве.
Каждый раздел разбит на подразделы, в которых изложение теоретического материала сопровождается большим количеством разобранных примеров.
Вторая часть пособия является задачником по указанным разделам курса. В задачник включено более 650 типовых задач по всем рассматриваемым темам. Большое количество задач позволяет студентам практически закрепить соответствующие разделы курса. В каждой теме выделены дополнительные задачи для сильных студентов. Ко всем задачам приведены ответы в конце задачника.
В Приложении даны образцы контрольных работ по каждой теме с ответами и решениями. Ознакомление с этими материалами позволит студентам основательно и качественно подготовиться к контрольным работам.
При написании пособия использован многолетний опыт работы автора на технических факультетах Санкт-Петербургского государственного Политехнического университета.
Автор выражает благодарность профессору Ю.Д. Максимову за ценные замечания по рукописи.
Автор признателен профессору В.И. Антонову за внимание, проявленное им к данной работе и доценту С.М. Дудкину, инициировавшему появление пособия.
8
В пособии использованы следующие обозначения и сокращения.
1.Если A и B — некоторые высказывания (утверждения), то запись A B означает: «из A следует B»; запись A B означает эквивалентность высказываний: «для A необходимо и достаточно B».
2.Запись «Опр.» означает «определение».
3.Запись «Упр.» означает «упражнение».
9
ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ
1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Линейная алгебра — это раздел математики, изучающий линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. В данном пособии мы коснемся лишь той части раздела, которая изучает системы линейных уравнений и связанные с ними такие математические инструменты, как теория определителей и матриц.
При решении разнообразных практических задач люди сталкиваются с необходимостью решать те или иные алгебраические уравнения или системы таких уравнений. Простейшими из них являются системы линейных уравнений.
Опр. Системой линейных уравнений с неизвестными называется система вида:
|
|
, |
(1.1) |
где |
— коэффициенты системы (заданные числа); |
— свободные |
|
члены (заданные числа); — неизвестные, |
; |
||
|
Коэффициенты системы |
обозначаются двумя индексами, |
причем первый индекс означает номер уравнения системы, а второй индекс — номер неизвестной. Свободные члены системы обозначаются одним индексом, который означает номер уравнения системы. Неизвестные обозначаются также одним индексом; если число неизвестных равно 2 или 3, то чаще всего их обозначают буквами
.
Например, система 2-х линейных уравнений с 2-я неизвестными
имеет вид: |
|
, |
(1.2) |
10
где |
, |
, |
, |
— коэффициенты системы; , — свободные |
члены; |
, |
— неизвестные. |
Другие примеры систем линейных уравнений:
— система 3-х линейных уравнений с
3-я неизвестными,
— система 3-х линейных уравнений с 2-я неиз-
вестными,
— система 2-х линейных уравнений с
3-я неизвестными и т. д.
Системы линейных уравнений можно задать таблицами чисел:
и |
или |
. |
Такие таблицы чисел называются матрицами.
Опр. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая некоторое количество строк и столбцов. Сами числа, входящие в таблицу, называются элементами матрицы.
Для системы линейных уравнений (1.1) вводятся следующие матрицы:
— основная матрица, |
— матрица сво- |
бодных членов;
— расширенная матрица, |
— мат- |
рица неизвестных.
11
|
Например, для системы (1.2) |
2-х линейных уравнений с 2-я не- |
|
известными: |
|
|
|
|
— основная матрица, |
— матрица свободных чле- |
|
нов, |
— расширенная матрица, |
— матрица неиз- |
вестных.
Примеры.
(A): |
, |
— основная матрица, |
— матрица |
свободных членов, |
— расширенная матрица системы. |
||
(В): |
, |
— основная матрица, |
— мат- |
рица свободных членов, |
— расширенная матрица |
||
системы. |
|
|
|
(C): |
, |
— основная матрица, |
— матрица |
свободных членов, |
— расширенная матрица системы. |
||
|
Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то |
||
матрица называется квадратной: |
|
— квадратная матрица n-го порядка. Элементы
, |
, …, |
образуют главную диагональ, а элементы |
, |
, |
|
…, |
образуют побочную диагональ матрицы. |
|
|
||
Опр. Решением системы (1.1) называется упорядоченный набор |
|||||
чисел ( |
|
…, |
), который при подстановке в систему линей- |
||
ных уравнений дает m верных равенств: |
|
|
.
12