Пределы

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пример 1. Вычислить предел

2 x2 −2 x−17 .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

193.51 Кб

Скачать

☆

Подготовка к экзамену

Тема 1

ПРЕДЕЛЫ

На экзамене в теме «Пределы» может попасться пример одного из следующих типов 1

— 4. Рассмотрим их в подробностях.

1. Первое, что нужно делать, когда мы видим предел, — это попробовать подставить

число, к которому стремится «икс», в функцию, от которой вычисляется предел. Если в результате такой подстановки получится число, то это число и будет результатом вычисления предела. Если же получится одна из этих неопределенностей:

∞∞ ; ∞−∞; 00 ;00 ;1∞ ;∞0 ;0 ∞, (*)

то с этими неопределенностями надо как-то «бороться». Их мы рассмотрим в пунктах 2-4. Сейчас же заметим, что

Решение. Мы видим, что у нас стремится к числу 5. Подставим это число 5 вместо «икса» в функцию, которая стоит под знаком предела. Пишем

lim 2 x2 −2 x−17 =2 52−2 5−17 = 2 25−10−17 = 50−10−17 = 23 =−23 . x→ 5 x2+ x−32 52 +5−32 25+5−32 −2 −2 2

Получили конечное число, равное −232 . Значит, это число и есть искомый предел.

Ответ: lim	2 x2 −2 x−17 −23 .
x→ 5	x2+ x−32	2
Пример 2. Вычислить предел				4 x2 −2 x+3
			lim	4 x2 −2 x+3	.
			lim		.
			x→ 0	5 x2−x
Решение. Мы видим, что у нас стремится к числу 0. Подставим это число 0 вместо
«икса» в функцию, которая стоит под знаком предела. Пишем
	lim 4 x2 −2 x+3		= 4 02−2 0+3 =			0−0+3	=3	=∞
	x→ 0	5 x2−x		5 02−0		0−0	0

(последнее равенство здесь — см. формуле (1)). Ни одной из неопределенностей (*) нет, работают формулы (1).

Ответ: lim

4 x2 −2 x+3

=∞.

x→ 0

5 x2−x

Пример 3. Вычислить предел

x2−4 x+4

lim

x→ 2

12 x−12

Решение. Мы видим, что у нас стремится к числу 2. Подставим это число 2 вместо

«икса» в функцию, которая стоит под знаком предела. Пишем

lim

x2−4 x+4

= 22−4 2+4 =

4−8+4

=0.

x→ 2

12 x−12

12 2−12

24−12

Ни одной неопределенности вида (*) нет, в результате получилось число 0. Значит,

lim

x2−4 x+4

=0.

x2−4 x+4

x→ 2

12 x−12

Ответ: lim

=0.

12 x−12

x→ 2

Рассмотрим случай неопределенности

вида

Вообще, сущность любой

неопределенности состоит в том, что в результате любой из них может получиться что угодно: бесконечность, ноль, положительное число, отрицательное число. Собственно, потому это и называется неопределенностью, т. е. сразу непонятно, что получится в результате. Для начала разберем случай вида

lim P (x) ,

x→ a Q(x )

где P(x) и Q(x) — многочлены, обращающиеся в ноль в точке а, т. е. есть неопределенность вида 00 , при этом под пределом стоит дробь, в числителе и знаменателе которой —

многочлены.

Идея раскрытия таких неопределенностей: разложить многочлены в числителе и знаменателе дроби на множители, сократить всё, что сокращается, и после сокращения подставить в полученное выражение вместо «икса» то число, к которому стремится «икс».

Пример 4. Вычислить предел

lim

x2+ x−2

x→ 1

x2−1

Решение. У нас икс стремится к 1. Подставим 1 вместо икса в нашу дробь:

x2 +x−2

= 12+1−2

=1+1−2= 0 .

x2−1

12−1

1−1

x2 +x−2

Получили неопределенность вида

0 ,

и у нас в числителе и знаменателе дроби

x2−1

стоят многочлены. Значит, это как раз наш случай.

Разложим эти многочлены на множители. Для этого решим уравнения: x2+x−2=0 и

x2−1=0. Первое уравнение даёт нам корни x1=1 и

x1=−2. Следовательно,

x2+x−2=( x−x1 ) ( x−x2)=(x−1) (x−(−2))=(x−1) (x +2).

Второе уравнение даёт нам два корня

x1=1

и x1=−1. Следовательно,

x2−1=(x−x1) (x−x2)=(x−1) (x−(−1))=(x−1) (x +1).

Итак, подставляем полученные выражения в нашу дробь:

lim

x2+ x−2

=lim

(x −1)(x +2)

x→ 1

x2−1

x→ 1

(x −1)(x +1)

Сократив на скобку (x-1), получим

lim

x2+ x−2

=lim

(x −1)(x +2)

=lim

x+2

(x −1)(x +1)

x→ 1

x2−1

x→ 1

x+1

Подставим теперь в полученную дробь

x +2

число, к которому стремится «икс», т. е. 1:

x +1

lim

x2+ x−2

=lim

(x −1)(x +2)

=lim

x+2

=1+2 = 3 .

(x −1)(x +1)

x→ 1

x2−1

x→ 1

x+1 1+1 2

Ответ: lim

x2+ x−2

=3 .

x→ 1

x2−1

3 , что

Смотрите: имели

неопределенность

предел

получился

равным

весьма

интересно. Так что больше никакого бреда типа

0 =0, ибо мы убедились, что в данном

0 превращается в ноль, но это

случае это не так. Бывают случаи, когда неопределенность

3 , в следующем примере

далеко не всегда так. В нашем случае

получилось равным

результат деления

0 получится равным

Пример 5. Вычислить предел

x −5

lim

x→ 5

x3−125

Решение. У нас икс стремится к 5. Подставим 5 вместо икса в нашу дробь:

5−5

0 .

53−125

125−125

Получили неопределенность вида

0 , и у нас в числителе и знаменателе

x−5

дроби

x3−125

стоят многочлены. Значит, вновь получаем обсуждаемый чуть выше случай.

Итак, разлагаем многочлены в числителе и знаменателе на дроби. Собственно, с числителем уже ничего делать не нужно: он и так разложен на множители. Разберемся со знаменателем. Для него надо вспомнить формулу сокращенного умножения:

a3 −b3=(a−b)(a2+ab+b2).

По этой формуле

x3−125=x3−53=(x −5)( x2 +5 x +52)=(x−5)(x2 +5 x+25).

Подставим это выражение в наш предел:

(x−5) 1

lim

x −5

=lim

x −5

=lim

x3−125

x→ 5

x →5 (x−5)(x2+5 x +25)

Сократим в числителе и знаменателе на одинаковую скобку (x-5). Получим

lim

x −5

=lim

x −5

=lim

(x−5) 1

=lim

2+5 x +25

x→ 5 x

3−125

x →5 (x−5)(x2+5 x +25)

x→ 5 x

Подставим в последнее выражение вместо «икса» то число, к которому этот «икс» стремится,

т. е. 5:

(x−5) 1

lim

x −5

=lim

x −5

=lim

x3−125

+25)

x2+5 x +25

52 +5 5+25

x→ 5

x →5 (x−5)(x2+5 x

x →5 (x−5)(x2+5 x +25)

x→ 5

В этом примере мы получили, как и обещали выше, что изначальная неопределенность

превратилась в число

Ответ: lim

x −5

x→ 5 x3−125

Пример 6. Вычислить предел

x2−18 x+81

lim

x→ 9

x2−6 x−27

Решение. У нас икс стремится к 5. Подставим 5 вместо икса в нашу дробь:

x2−18 x +81

92−18 9+81

81−162+81 =

0 .

x2−6 x−27 92−6 9−27

81−54−27

x2−18 x +81

Получили неопределенность вида

0 ,

и у нас в числителе и знаменателе

x2−6 x−27

дроби стоят многочлены. Значит, вновь получаем требуемый случай. Посмотрим, как

раскроется неопределенность вида

в данном примере, в какое число она превратится.

Для этого опять же разлагаем многочлены в числителе и знаменателе на множители. Для

этого приравняем числитель и знаменатель к нулю и получим два уравнения

x2−81=0

x2−6 x−27=0.

Что нам даёт первое уравнение? Дискриминант обращается в ноль, и получается два

корня: x1,2=9. Значит,

x2−18 x+81=(x −x1 ) (x −x2 )=(x−9) (x −9).

Решаем

второе уравнение

x2−6 x−27=0. Вычислив

дискриминант, получим

x1=9 ; x2=−3. Следовательно,

x2−6 x−27=(x−x1 ) (x−x2 )=( x−9) (x−(−3))=(x−9) (x+3).

Подставляем полученные разложения в исходный предел:

lim

x2−18 x+81

=lim

(x−9)(x−9)

x2−6 x−27

x→ 9

(x−9)(x +3)

Сократим на одинаковую скобку (х-9):

(x−9)(x−9)

lim

x2−18 x+81

=lim

x−9

x2−6 x−27

(x−9)(x +3)

x→ 9

x +3

Теперь подставим то число, к которому стремится «икс», т. е. 9, в получившуюся дробь

вместо «икса» и получим:

(x−9)(x−9)

lim

x2−18 x+81

=lim

x−9

9−9

=0.

x2−6 x−27

x→ 9

(x−9)(x +3)

x→ 9

x +3 9+3 12

Ответ: lim	x2−18 x+81	=0.
Ответ: lim	x2−6 x−27	=0.
x→ 9	x2−6 x−27		0
Итак, мы видим, что в одном примере неопределенность вида			0	превратилась в
			0

число 32 , в другом — в число 751 , в третьем — в 0. Потому это и есть «неопределенность», т. к. даёт разный результат в зависимости от примера.

3. Пусть у нас по-прежнему имеется неопределенность вида 00 . Отличие от

предыдущего случая состоит в том, что теперь у нас функция, от которой вычисляется предел, содержит корень (во втором пункте функцией являлась дробь, в числителе и знаменателе которой находились исключительно многочлены, без каких бы то ни было радикалов и прочего).

Пример 7. Вычислить предел

x−3

lim

√x+13−4

x→ 3

Решение. У нас икс стремится к 3. Подставим 3 вместо икса в нашу дробь:

x−3

3−3

0 .

√

−4

√

−4

√

−4

4−4

x +13

3+13

Получили (о ужас!)

снова неопределенность

вида

. Что

делать, если у

нас есть

неопределенность

и функция,

от которой

вычисляется

предел, содержит

радикал?

Запомните правило: надо избавиться от радикалов, дающих нолик, домножением числителя и
знаменателя на сопряженное. В данном случае нам даёт нолик выражение	√ x+13−4.
Значит, домножаем числитель и знаменатель дроби на то же самое,	только с

противоположным знаком, т. е. на √x+13+4.

lim

x−3

=lim

(x−3) (√

x +13

+4 )

=lim

(x−3) (√

x +13

+4 )

√

x+13−4

√

x +13−4 ) (

√

x +13+4 )

√

x→ 3

x →3 (

x → 3

(

x+13) +4

x +13−4 x +13−4 4

Слагаемые 4

−4

√

x+13

x +13

взаимно уничтожаются, остаётся только следующее:

√

x−3

(x−3) (√x +13+4)

lim

=lim

)2−4 4

x→ 3

√ x+13−4

x →3

(√

x +13

Четырежды четыре равно 16, а корень квадратный в степени 2 взаимно уничтожаются, давая в результате подкоренное выражение:

(x −3) (√x +13+4 )

(x−3) (√

+4)

(x−3) (√

+4)

lim

=lim

x+13

=lim

x +13

(√

)2 −4 4

x +13−16

x−3

x→ 3

x+13

x → 3

x →3

В числителе и знаменателе имеем одинаковые скобки вида (х-3). Их можно сократить:

(x −3) (√x +13+4 )

(x−3) (√ x+13+4)

=lim √

lim

=lim

x +13

=lim (√

+4).

x+13

x→ 3

x−3

x → 3

( x−3) 1

x →3

x→ 3

В последнее выражение вместо «икса» подставим то число, к которому стремится «икс», т. е. Число 3:

lim (√x+13+4)=√3+13+4=√16+4=4+4=8.

x→ 3

Ответ: lim

x−3

=8.

√ x+13−4

x→ 3

Пример 8. Вычислить предел

√

lim

10+x

−3 .

x →−1

x+1

Решение. У нас икс стремится к -1. Подставим -1 вместо икса в нашу дробь:

√

−3

√

10+(−1)

−3

√

−3

3−3

10+x

−1

0 .

И вновь нас посетила неопределенность вида

Как и в предыдущем примере, умножим

числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к выражению с радикалом, т. е. на такое же выражение, только с противоположным знаком между корнем и тройкой:

(

−3) (

+3)

(

)2 −3

−3 3

√

10+x

√

10+x

√

10+x

lim

√10+x−3

= lim

√

x+1

(x +1) (√10+x +3)

(x+1) (√10+ x+3)

x →−1

x→−1

Мы раскрыли скобки в числителе. Второе и третье слагаемое числителя взаимно

уничтожаются. Трижды три равно девяти, а (√10+x)2=10+х . Принимая всё это во внимание, получим, что

(√

)2−3 √

+3 √

−3 3

10+x−9

х +1

lim

10+ x

10+x

= lim

x →−1

(x +1) (√10+x +3)

x→−1

(x +1) (√10+x +3)

x →−1

(x +1) (√10

+x +3)

В последней дроби можно сократить одинаковые скобки (х+1) в числителе и знаменателе:

lim

х +1

= lim

(х +1) 1

= lim

(x+1) (√10+ x+3)

(x +1) (√10+x

+3)

√10

+x+3

x →−1

x→−1

x →−1

Как уже отмечалось, икс стремится к -1. Подставим это число вместо «икса» в

полученное выражение:

1 .

lim

3+3

√

x →−1 √10+x +3

√10+(−1)+3

√9+3

Ответ: lim

10+x

−3 =

1 .

x →−1

x+1

4. Пусть у нас x → ∞ и функция, от которой вычисляется предел, представляет собой

дробь, в числителе и знаменателе которой — многочлены. Таким образом, рассмотрим пределы вида

lim P(x ) ,

x →∞ Q(x)

где P(x) и Q(x) — многочлены. Здесь правило следующее:

1)Найти наибольшую степень числителя и знаменателя.

2)Найти наибольшее из этих двух чисел.

3)Разделить числитель и знаменатель дроби почленно на «икс» в той степени, которая получилась в пункте 2).

4)Сократить в числителе и знаменателе всё, что сокращается.

5)Принимая во внимание то, что

число	x → ∞ для любого	k >0,	(2)
xk →0 при

а также то, что число стремится к самому себе независимо от того, куда стремится переменная «икс», получаем ответ.

Пример 9. Вычислить предел

lim	4 x2−5 x +8		.
		+2 x2−x−3
x →∞ 7 x3

Решение. Итак, действуем по алгоритму.

1)Наибольшая степень числителя равна 2. А наибольшая степень знаменателя равна 3.

2)Выбираем наибольшее из чисел 2 и 3. Это будет 3.

3)Делим числитель и знаменатель дроби почленно на икс в полученной в пункте 2)

степени, т. е. на x3 .

4 x2

5 x

−

lim

4 x2−5 x +8

=lim

+2 x

−x−3

7 x

− 3

x →∞

7 x

x→ ∞

+2 x

− x

4) Сокращая всё, что сокращается, получим:

4 x

5 x

−

lim

4 x −5 x +8

=lim

x →∞ 7 x3 +2 x2−x−3

x→ ∞

7 x3

2 x2

−

x →∞ 7 +

−

		5) Рассмотрим числитель: в нём все три слагаемые стремятся к нулю согласно (2):
4	→0		при	x→ ∞ (здесь число = 4 и k=1);	5	→0	при x → ∞ (здесь число = 5 и k=2);
x
					x2
8		→0	при	x → ∞ (здесь число = 8 и k=3).
x3
		Рассмотрим знаменатель: семёрка стремится к					самой себе (помните: число всегда

стремится к самому себе, куда бы ни стремился «икс»). Остальные же слагаемые по (2) стремятся к нулю («вырубаем» их таким же образом, как мы «вырубили» аналогичного вида

слагаемые, находящиеся в числителе).

−

Теперь вместо всех слагаемых в предел

lim

подставляем те числа куда

x →∞ 7+

−

эти слагаемые стремятся:

4 x

5 x

−

lim

4 x −5 x +8

=lim

0−0+0

= 0

=0.

x →∞ 7 x3 +2 x2−x−3

x→ ∞ 7 x3

2 x2

−

x →∞

7 +

2 −

−

7+0−0−0

Ответ: lim

4 x2−5 x +8

=0.

x →∞ 7 x3 +2 x2−x−3

Пример 10. Вычислить предел

lim 2 x3−2 x2+5 x−1 . x →∞ 7 x3 +x2−15 x−3

Решение. Да, снова действуем по алгоритму.

1)Наибольшая степень числителя равна 3, так же как и знаменателя.

2)Наибольшее число из 3 и 3 есть, конечно же, 3.

3) Значит, числитель и знаменатель дроби

2 x3−2 x2+5 x−1

надо делить почленно на

x3 . Делаем это:

7 x3+ x2 −15 x−3

2 x33 − 2 x32 + 5 3x −

2− 2

−

lim 2 x −2 x +5 x−1

= lim

− 152 −

x →∞ 7 x3 +x2−15 x−3

x →∞ 7 x3

−

15 x −

x →∞ 7+

4)Уже сократили всё, что можно было бы сократить.

5)Итак, разбираемся с числителем. Так как 2 — это просто число, то оно стремится к

самому себе:

2→2 при

x→ ∞. Далее, по формуле (2)

2 →0 при

x → ∞ (здесь число =

2 и k=1);

→0 при x → ∞ (здесь число = 5 и k=2);

→0

при

x → ∞ (здесь число = 1

и k=3).

Аналогично со знаменателем:

7→7

при

x → ∞. Далее, по формуле (2)

→0

при

x → ∞ (здесь число = 1 и k=1); 15

→0

при

x → ∞ (здесь число = 15 и k=2);

→0

при

x → ∞ (здесь число = 3 и k=3).

Теперь заменяем в пределе все слагаемые в числителе и знаменателе теми числами, к

каким эти слагаемые стремятся:

2 x33 − 2 x32 + 5 3x −

2− 2 +

−

lim

2 x −2 x +5 x−1

= lim

= 2−0+0−0 = 2 .

x →∞

7 x3 +x2−15 x−3

x →∞

7 x3 +

−15 x −

x →∞

−

152 −

7+0−0−0 7

Ответ: lim 2 x3−2 x2+5x−1 = 2 . x →∞ 7 x3 +x2−15 x−3 7

Пример 11. Вычислить предел

lim x4−2 x2+5 x +7 . x →∞ x3 +3 x2−4 x+3

Решение. Не будем отклоняться от алгоритма.

1)Наибольшая степень числителя равна 4, наибольшая степень знаменателя равна 3.

2)Наибольшее число из 4 и 3 есть 4.

3) Значит, числитель и знаменатель дробина

x4−2 x2+5 x +7

до делить почленно на

x3 +3 x2−4 x+3

x4 . Проделаем сию процедуру:

x 4

−2 x2 +

5 x

1−

x4−2 x2+5x +7

x 4

lim

=lim

1 +

x →∞ x3 +3 x2−4 x+3

x →∞

+3 x2 −

4 x

x →∞

−

x x

4)Собственно, уже сократили всё, что сокращается.

5)Итак, разбираемся с числителем. Так как 1 — это просто число, то оно стремится к

самому себе:

1→1 при

x → ∞. Далее, по формуле (2)

→0

при x→ ∞ (здесь число =

2 и k=2);

→0 при x → ∞

(здесь число = 5 и k=3);

→0

при

x → ∞ (здесь число = 7

и k=4).

Аналогично со знаменателем: по формуле (2)

→0

при

x→ ∞ (здесь число = 1 и

k=1);

→0

при

x → ∞ (здесь число = 3 и k=2);

→0

при

x → ∞ (здесь число = 4 и

k=3);

→0

при

x → ∞ (здесь число = 3 и k=4).

Заменяем в числителе и знаменателе все функции на их пределы:

x 4

−2 x2 +

5 x

1−

x4−2 x2+5 x +7

x 4

lim

=lim

=1−0+0+0

= 1 =∞.

x →∞

x3 +3 x2−4 x+3

x →∞

3 x2 −

4 x

x →∞

1 +

−

0+0−0+0 0

Последнее равенство вытекает из формул (1) (см. самое начало).

Ответ:

lim

x4−2 x2+5 x +7

=∞.

x3 +3 x2−4 x+3

x →∞

Итак, здесь тоже возникает неопределенность, ибо в первом примере мы получили

число 0, во втором — число

, в третьем — бесконечность. Так получается, ибо здесь

неопределенность вида

∞ .

В самом деле, ведь в каждом из трех примеров каждый из

∞

многочленов — в числителе и в знаменателе — стремится к бесконечности при

x → ∞.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.11.2019431.1 Кб4Практикум ЭБ 080105.doc
#
21.03.201625.06 Кб20Практикум №2.docx
#
21.03.20162.14 Mб115ПРАКТИКУМ. РИМ посл. версия. 02.2011.doc
#
09.08.2019108.54 Кб6Практич работа №4.doc
#
14.08.20191.37 Mб24практич №3.doc
#
21.03.2016193.51 Кб29Пределы.pdf
#
21.09.2019108.45 Кб10Предисловие к Чешскому изданию ч.1.docx
#
21.09.201981.23 Кб7Предисловие к Чешскому изданию ч.2.docx
#
22.11.2019113.66 Кб5Предлоги.doc
#
01.09.201969.12 Кб7предложения к зачету по педагогике.doc
#
19.11.201990.62 Кб6предложения к экзамену по педагогике.doc