Vavilov_N_Konkretnaya_teoria_kolets

x 4. pOLUGRUPPOWAQ ALGEBRA

dLQ FUNKCIJ S KONE^NYM NOSITELEM, T.E. PRI WYPOLNENII USLOWIQ 3.2, ANALOG TEOREMY 4 SPRAWEDLIW UVE DLQ SOWER[ENNO PROIZWOLXNOJ POLUGRUPPY.

tEOREMA. 1) R[M] { KOLXCO OTNOSITELXNO OPERACIJ +, ¤;

2)eSLI R ASSOCIATIWNO, TO R[M] TOVE ASSOCIATIWNO;

3)eSLI M I R KOMMUTATIWNY, TO R[M] KOMMUTATIWNO;

4)eSLI M { MONOID, A R { KOLXCO S 1, TO R[M] { KOLXCO S 1.

dOKAZATELXSTWO. wSE PUNKTY \TOJ TEOREMY PROWERQ@TSQ TEMI VE WY^ISLENIQMI, ^TO W TEOREME PUNKTA 4, W KOTORYH ISPOLXZOWALASX LI[X KONE^NOSTX WSEH WOZNIKA@]IH SUMM.

w SLU^AE KOMMUTATIWNOGO ASSOCIATIWNOGO KOLXCA S 1 POLU^A@]EESQ TAK KOLXCO OBY^NO NAZYWAETSQ POLUGRUPPOWOJ ALGEBROJ POLUGRUPPY M NAD KOLXCOM R. wAVNEJ[IMI PRIMERAMI POLUGRUPPOWYH ALGEBR QWLQ@TSQ KOLXCA MNOGO^LENOW I MNOGO^LENOW lORANA OT ODNOJ I NESKOLXKIH PEREMENNYH.

w TERMINAH gLAWY 3 POLUGRUPPOWAQ ALGEBRA DOPUSKAET SLEDU@]EE KONKRETNOE OPISANIE. sOPOSTAWIM KAVDOMU \LEMENTU y 2 M SOOTWETSTWU@]U@ ±-

pO OPREDELENI@ Supp(±x) = fxg TAK ^TO ±x 2 R[M]. lEGKO WIDETX, ^TO ±- FUNKCII ±x, 2 M, OBRAZU@T BAZIS R[M] KAK SWOBODNOGO R-MODULQ. iNYMI SLOWAMI, KAVDAQ FUNKCIQ f 2 R[M] DOPUSKAET PREDSTAWLENIE W WIDE LINEJNOJ KOMBINACII f = Pf(x)±x, PRI^EM TAKOE PREDSTAWLENIE EDINSTWENNO. fIGURIRU@]AQ ZDESX BESKONE^NAQ SUMMA IMEET SMYSL TAK KAK W DEJSTWITELXNOSTI LI[X KONE^NOE ^ISLO SLAGAEMYH W NEJ OTLI^NO OT 0 I ONA SWODITSQ K KONE^NOJ SUMME f = Pf(x)±x, x 2 Supp(f). qSNO, ^TO ±-FUNKCII PEREMNOVA@TSQ TO^NO TAK VE, KAK SOOTWETSTWU@]IE \LEMENTY M, A IMENNO, ±x ¤ ±y = ±x±y. zAMETIM, ^TO W KLASSI^ESKIH KNIGAH ±-FUNKCIQ ±x OBY^NO OBOZNA^AETSQ ex, OT NEMECKOGO Einheit. sWERTKA PROIZWOLXNYH FUNKCIJ S KONE^NYM NOSITELEM ESTX NE ^TO INOE, KAK PRODOLVENIE \TOGO UMNOVENIQ BAZISNYH FUNKCIJ PO LINEJNOSTI.

A[M] ¡! B[M], NAZYWAEMYJ ZAMENOJ SKALQROW, A PRI Á = id { GOMOMORFIZM A[M] ¡! A[N]. wOT NESKOLXKO PROSTYH ILL@STRACIJ FUNKTORIALXNOSTI.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO

(1) R[M £ N] » (R[M])[N].

=

(2) R[M]o » Ro[Mo].

=

(3) eSLI I E R, TO R[M]=IR[M] » (R=I)[M].

=

(4) eSLI S { MULXTIPLIKATIWNAQ SISTEMA W R, TO S¡1(R[M]) » (S¡1R)[M].

=

gRUPPOWYE ALGEBRY. para slow!!

zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI R 6= 0, A GRUPPA G SODERVIT NETRIWIALXNYJ \LEMENT KONE^NOGO PORQDKA, TO W R[G] ESTX DELITELI 0.

sLEDU@]AQ ZADA^A OPIRAETSQ NA STRUKTURNU@ TEOREMU DLQ KONE^NO POROVDENNYH ABELEWYH GRUPP.

zADA^A. eSLI R { KOLXCO BEZ DELITELEJ 0, A G { ABELEWA GRUPPA BEZ KRU^ENIQ, TO R[G] { KOLXCO BEZ DELITELEJ 0.

R[H], GDE H · G { KONE^NO POROVDENNAQ ABELEWA GRUPPA BEZ KRU^ENIQ. pO

zADA^A. pUSTX R { KOMMUTATIWNOE KOLXCO I G { KONE^NAQ GRUPPA S KLASSAMI SOPRQVENNYH \LEMENTOW C1P; : : : ; Cn. dOKAVITE, ^TO Cent(R[G]) SWOBODNO POROVDAETSQ \LEMENTAMI eC = eg, g 2 C, GDE C = C1; : : : ; Cn.

rE[ENIE. pREVDE WSEGO ZAMETIM, ^TO DLQ L@BOGO h 2 G I L@BOGO KLASSO SOPRQVENNYH \LEMENTOW hC = Ch (PO^EMU?) tEM SAMYM, eC DEJSTWITELXNO LEVIT W CENTRE R[G]. oBRATNO, ESLI x = Pageg LEVIT W CENTRE R[G], TO DLQ L@BOGO h 2 G IMEEM

tEM SAMYM, ah¡1gh = ag DLQ WSEH g; h 2 G, TAK ^TO x DEJSTWITELXNO QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ \LEMENTOW eC. oSTALOSX ZAMETITX, ^TO TAK KAK NOSITELI eC POPARNO DIZ_@NKTNY, TO L@BAQ LINEJNAQ ZAWISIMOSTX MEVDU eC DAET LINEJNU@ ZAWISIMOSTX MEVDU eg, S TEMI VE KO\FFICIENTAMI.

x 5. sVATAQ POLUGRUPPOWAQ ALGEBRA

x 6. sKRU^ENNAQ POLUGRUPPOWAQ ALGEBRA

oPREDELENIE POLUGRUPPOWOJ ALGEBRY MOVNO OBOB]ITX, WWEDQ PODKRUTKU. a IMENNO, OPREDELIM TABLICU UMNOVENIQ RAWENSTWOM exey = axyexy, GDE axy 2 R. oBOZNA^IM POLU^A@]EESQ PRI \TOM KOLXCO ^EREZ Ra[M]. wYQSNIM, KAKOMU USLOWI@ DOLVNA UDOWLETWORQTX MATRICA KO\FFICIENTOW (axy), x; y 2 M, ^TOBY POLU^A@]EESQ TAK UMNOVENIE BYLO ASSOCIATIWNYM I IMELO 1.

tEOREMA. 1) Ra[M] { KOLXCO OTNOSITELXNO OPERACIJ +, ¤;

2) eSLI R ASSOCIATIWNO, A a = (axy) UDWOLETWORQET SLEDU@]EMU USLOWI@

TO R[M] TOVE ASSOCIATIWNO;

3)eSLI M I R KOMMUTATIWNY, A a = (axy) SIMMETRI^NA, axy = ayx, TO R[M] KOMMUTATIWNO;

4)eSLI M { MONOID, R { KOLXCO S 1, a a = (axy) NORMIROWANA, T.E. a+x1 = 1 = ax1, TO R[M] { KOLXCO S 1.

dOKAZATELXSTWO. eDINSTWENNYJ SLEGKA NOWYJ MOMENT W \TOM UTWERVDENII \TO PUNKT 2, PROWERIM EGO. w SAMOM DELE,

(exey)ez = axyexyez = axyaxy;ze(xy)z;

ex(eyez) = ex(ayzeyz) = ax;yzayzex(yz):

sRAWNIWAQ DWA \TI WYRAVENIQ, MY I POLU^AEM SFORMULIROWANNOE W PUNKTE 2 USLOWIE.

oPREDELENIE. fUNKCIQ f : M £ M 7!R NAZYWAETSQ 2-KOCIKLOM ILI, KLAS- SI^ESKI, SISTEMOJ FAKTOROW, ESLI DLQ L@BYH x; y; z 2 M IMEET MESTO RA- WENSTWO

f(x; y)f(xy; z) = f(x; yz)f(y; z):

pRIWEDEM O^EWIDNYJ PRIMER 2-KOCIKLA, OTWE^A@]IJ MAS[TABIROWANI@ BAZISA (scaling) W R[M], NO NE MENQ@]IJ ALGEBRU. zAMENIM BAZIS ex, x 2 M, NA BAZIS e0x = uxex, GDE ux 2 R¤. tOGDA W NOWOM BAZISE TABLICA UMNOVENIQ

PRIMET WID

e0xe0y = uxuyexey = uxuyexy = uxuyu¡xy1e0xy: lEGKO WIDETX, ^TO ESLI R KOMMUTATIWNO, TO FUNKCIQ

M £ M ¡! R; (x; y) 7!axy = uxuyu¡xy1;

UDOWLETWORQET SOOTNO[ENI@, OPREDELQ@]EMU 2-KOCIKL (PROWERXTE \TO!) 2- KOCIKL WIDA axy = uxuyu¡xy1 NAZYWAETSQ 2-KOGRANICEJ ILI KOCIKLOM GOMOLOGI^NYM 0. dWA KOCIKLA NAZYWA@TSQ GOMOLOGI^NYMI, ESLI ONI OTLI^A@TSQ NA KOGRANICU, axy » bxy = uxuyu¡xy1axy.

zADA^A. uBEDITESX, ^TO OTWE^A@]IE GOMOLOGI^NYM KOCIKLAM SKRU^ENNYE POLUGRUPPOWYE ALGEBRY IZOMORFNY.

x 7. dISKRETNOE PREOBRAZOWANIE fURXE

1. dISKRETNOE PREOBRAZOWANIE fURXE. pREOBRAZOWANIEM fURXE W AL-

GEBRE NAZYWAETSQ L@BOJ GOMOMORFIZM IZ KOLXCA FUNKCIJ OTNOSITELXNO SWERTKI W KOLXCO FUNKCIJ OTNOSITELXNO UMNOVENIQ. oPI[EM SAMU@ PROSTU@, NO ^REZWY^AJNO WAVNU@ DLQ PRILOVENIJ W TEORII PEREDA^I INFORMACII KONSTRUKCI@. cIKLI^ESKAQ SWERTKA WEKTOROW DLINY n { \TO SWERTKA FUNKCIJ

kOLXCO KZ=nZ OTNOSITELXNO CIKLI^ESKOJ SWERTKI MOVNO ISTOLKOWATX E]E KAK FAKTOR-KOLXCO KOLXCA MNOGO^LENOW PO MODUL@ xn ¡ 1.

64 nikolaj wawilow

zADA^A. pOSTROJTE IZOMORFIZM RZ=nZ » K[x]=(xn ¡ 1).

=

dLQ TOGO, ^TOBY WY^ISLITX CIKLI^ESKU@ SWERTKU DWUH WEKTOROW DLINY n, NEOBHODIMO PROIZWESTI n2 UMNOVENIJ. oKAZYWAETSQ, ESLI HARAKTERISTIKA K NE DELIT n I W POLE K ESTX PERWOOBRAZNYJ KORENX STEPENI n IZ 1, \TO KOLXCO IZOMORFNO KOLXCU Kn = K © : : : © K S POKOMPONENTNYMI OPERACIQMI, W KOTOROM UMNOVENIE DWUH WEKTOROW TREBUET WSEGO LI[X n UMNOVENIJ W POLE K. w SAMOM DELE, PUSTX ³ { PERWOOBRAZNYJ KORENX STEPENI n IZ 1. oBRAZUEM MATRICU

NAZYWAEMU@ OBY^NO MATRICEJ DISKRETNOGO PREOBRAZOWANIQ fURXE ILI,

SOKRA]ENNO, MATRICEJ DFT. oKAZYWAETSQ, UMNOVENIE NA F I REALIZUET TREBUEMYJ GOMOMORFIZM.

dISKRETNAQ TEOREMA pLAN[ERELQ. pUSTX n NE DELITSQ NA HARAKTERI-

STIKU POLQ K I ³ { PERWOOBRAZNYJ KORENX STEPENI n W K. tOGDA OTOBRAVE-

NIE

F : KZ=nZ ¡! K © : : : © K ; f 7!F (f) = V f;

x 8. pREOBRAZOWANIE fURXE

pREOBRAZOWANIE lAPLASA. pUSTX f : [0; 1) ¡! C { FUNKCIQ, INTEGRIRUEMAQ PO lEBEGU NA KAVDOM KONE^NOM INTERWALE [0; a]. sOPOSTAWIM EJ FUNKCI@ L(f) KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO, POLAGAQ

Z 1

(L(f))(x) = f(t)e¡ztdt:

0

nAPOMNIM, ^TO SWERTKA FUNKCIJ NA [0; 1) OPREDELQETSQ RAWENSTWOM

Z t

o

tEOREMA bORELQ UTWERVDAET, ^TO PREOBRAZOWANIE lAPLASA QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM KOLXCA FUNKCIJ W WE]ESTWENNOJ OBLASTI OTNOSITELXNO SWERTKI W KOLXCO FUNKCIJ W KOMPLEKSNOJ OBLASTI OTNOSITELXNO POTO^E^NOGO UMNOVENIQ L(f ¤ g) = L(f)L(g). uto~nitx klass funkcij!! u bORELQ TAM E]E PROIZNOSQTSQ SLOWA, ^TO ESLI L(f); L(g) OPREDELENY W POLUPLOSKOSTI re(x) > r, TO L(f ¤ g) OPREDELENO TAM VE I T.D.

x 9. kOLXCO dIRIHLE ARIFMETI^ESKIH FUNKCIJ

nAIBOLEE ^ASTO ISPOLXZUEMYM UMNOVENIEM W KOLXCAH SOBSTWENNO W ALGEBRE QWLQETSQ SWERTKA.

1. kOLXCO dIRIHLE. sNABDIM MNOVESTWO R WSEH FUNKCIJ CN = Map(N; C) OBY^NYM SLOVENIEM, A W KA^ESTWE UMNOVENIQ WOZXMEM SWERTKU dIRIHLE, OPREDELENNU@ FORMULOJ

(f ¤ g)(n) = Xf(d)g ³nd ´;

djn

GDE SUMMA BERETSQ PO WSEM NATURALXNYM DELITELQM d ^ISLA n.

tEOREMA. |TI OPERACII PREWRA]A@T R = CN W ASSOCIATIWNOE KOMMUTA- TIWNOE KOLXCO S 1.

mY NE BUDEM DOKAZYWATX \TOT REZULXTAT, TAK KAK ON SRAZU WYTEKAET IZ GORAZDO BOLEE OB]IH REZULXTATOW x ?. zAMETIM LI[X, ^TO W KA^ESTWE 1 \TOGO KOLXCA SLUVIT ±-FUNKCIQ e = ±1n, PRINIMA@]AQ ZNA^ENIE 1 W 1, I ZNA^ENIE 0 WO WSEH OSTALXNYH NATURALXNYH ^ISLAH. pOLU^IW[EESQ KOLXCO NAZYWAETSQ KOLXCOM dIRIHLE ARIFMETI^ESKIH FUNKCIJ. oNO WNOSIT PORQDOK W WEKOWOJ HAOS ANALITI^ESKOJ TEORII ^ISEL. mNOGIE KLASSI^ESKIE REZULXTATY TEORII ^ISEL I KOMBINATORIKI POLU^A@T BUKWALXNOE TOLKOWANIE I ESTESTWENNYJ SMYSL W TERMINAH KOLXCA dIRIHLE: TAK, SKAVEM, FORMULY OBRA]ENIQ STANOWQTSQ PROSTO UMNOVENIEM NA OBRATNYJ \LEMENT W \TOM KOLXCE (SM. gLAWU ?).

kOMMENTARIJ. bOLEE ISKU[ENNYJ ^ITATELX NAWERNQKA SLY[AL O RQDAH dIRIHLE. a IMENNO, KAVDOJ ARIFMETI^ESKOJ FUNKCII f : N ¡! C SOPOSTAWLQETSQ

RQD dIRIHLE

X1 f(n) L(s; f) = n=1 ns ;

GDE s 2 C. |TO SOPOSTAWLENIE ZADAET GOMOMORFIZM KOLXCA dIRIHLE W KOLXCO RQDOW dIRIHLE:

zADA^A. dOKAZATX, ^TO KOLXCO R ARIFMETI^ESKIH FUNKCIJ QWLQETSQ OBLASTX@ CELOSTNOSTI. dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ f TOGDA I TOLXKO TOGDA OBRATIMA W R,

KOGDA f(1) =6 0.

uKAZANIE. pREDPOLOVIM, ^TO f ¤ g = 0, A f; g 6= 0. rASSMOTRITE NAIMENX[IE NATURALXNYE m I n TAKIE, f(m) 6= 0 I g(n) 6= 0 I WY^ISLITE (f ¤ g)(mn). fORMULA DLQ OBRATNOGO W SLU^AE f(1) = 1 PRIWEDENA W zADA^E ?.?, MODIFICIRUJTE EE.

zADA^A. dOKAZATX, ^TO KOLXCO dIRIHLE NE QWLQETSQ NETEROWYM.

uKAZANIE. kAK OBY^NO, PRO]E DOKAZATX ZNA^ITELXNO BOLEE SILXNYJ FAKT, A IMENNO, ^TO W DEJSTWITELXNOSTI KOLXCO dIRIHLE IZOMORFNO KOLXCU FORMALXNYH STEPENNYH RQDOW OT S^ETNOGO ^ISLA PEREMENNYH NAD C.

zADA^A. dOKAZATX, ^TO ESLI RASSMATRIWATX W R W KA^ESTWE PROIZWEDENIQ NE SWERTKU dIRIHLE, A UNITARNU@ SWERTKU MY PO-PREVNEMU POLU^IM OBLASTX CELOSTNOSTI S TOJ VE SAMOJ EDINICEJ e.

w SLEDU@]EM PARAGRAFE MY UZNAEM, ^TO OBRATNYM \LEMENTOM K FUNKCII I, TOVDESTWENNO RAWNOJ 1, W KOLXCE dIRIHLE QWLQETSQ FUNKCIQ mEBIUSA ¹.

GDE PERWOE SLAGAEMOE RAWNO 0 PO OPREDELENI@ ¹, A WTOROE PO INDUKCIONNOMU PREDPOLOVENI@.

2. fORMULA OBRA]ENIQ mEBIUSA. fORMULA f = ¹ ¤ (E ¤ f) NAZYWAETSQ

FORMULOJ OBRA]ENIQ mEBIUSA. s NAU^NOJ TO^KI ZRENIQ \TO NE ^TO INOE, KAK ASSOCIATIWNOSTX UMNOVENIQ W KOLXCE dIRIHLE. fORMULU mEBIUSA MOVNO PEREPISATX W WIDE

iNYMI SLOWAMI, ZNANIQ SUMMATORNOJ FUNKCII E ¤ f DOSTATO^NO, ^TOBY WOSSTANOWITX f. sFORMULIRUEM EE E]E RAZ W FORME OBY^NOJ DLQ RUKOWODSTW PO KOMBINATORIKE I TEORII ^ISEL.

tEOREMA (FORMULA OBRA]ENIQ mEBIUSA). eSLI g(n) = P f(d), TO

djn

X

f(n) = ¹(n=d)g(d):

djn

|TU FORMULU ^ASTO ISPOLXZU@T I W MULXTIPLIKATIWNOJ ZAPISI.

tEOREMA (MULXTIPLIKATIWNAQ FORMULA OBRA]ENIQ mEBIUSA). eSLI g(n) = Q f(d), TO

3. fUNKCIQ mANGOLXDTA. oPREDELIM FUNKCI@ mANGOLXDTA

¤(n) =

½ ln(p); ESLI n = pm, p 2 P, m ¸ 1, 0; W PROTIWNOM SLU^AE.

|TA FUNKCIQ BYLA WWEDENA h.mANGOLXDTOM W 1894 GODU.

zADA^A. uBEDITESX, ^TO ¤(n) = P ¹(d) ln ³n´.

djn d

rE[ENIE. w SAMOM DELE, PO SAMOMU OPREDELENI@ FUNKCII mANGOLXDTA

X

¤(d) = ln(n);

djn

TAK ^TO \TO PROSTO FORMULA OBRA]ENIQ mEBIUSA.

4. Mathematica ARIFMETI^ESKIH FUNKCIJ. fUNKCII |JLERA '(n) I mEBI-

USA ¹(n) OPREDELENY W QDRE PROGRAMMY I WYZYWA@TSQ POSREDSTWOM EulerPhi[n] I MoebiusMu[n]. kROME TOGO, W QDRE IMPLEMENTIROWANY E]E NESKOLXKO ARIFMETI^ESKIH FUNKCIJ, W TOM ^ISLE FUNKCIQ DivisorSigma[m,n], KOTORAQ WY^ISLQET ¾m(n) { SUMMU m-H STEPENEJ, W ^ASTNOSTI, DivisorSigma[0,n] { KOLI^ESTWO WSEH RAZLI^NYH DELITELEJ n.

tEMA ?. mnogo~leny i ih rodstwenniki

sEJ^AS MY NA^NEM IZU^ATX ODNU IZ OSNOWNYH KONSTRUKCIJ ALGEBRY { KOLXCO MNOGO^LENOW R[x]. kROME TOGO, MY WWEDEM NESKOLXKO KOLEC RODSTWENNYH R[x], A IMENNO, KOLXCO R[x; x¡1] MNOGO^LENOW lORANA, KOLXCO R[[x]] FORMALXNYH STEPENNYH RQDOW, KOLXCO R((x)) FORMALXNYH RQDOW lORANA, KOLXCA SKRU^ENNYH MNOGO^LENOW K[x; ±], ALGEBRA RAZDELENNYH STEPENEJ I T.D.

x 1. kOLXCO MNOGO^LENOW

sEJ^AS MY KONKRETIZIRUEM KONSTRUKCI@ MONOIDNOJ ALGEBRY DLQ SLU^AQ ADDITIWNOGO MONOIDA N0. pOLU^A@]AQSQ PRI \TOM ALGEBRA NAZYWAETSQ KOLXCOM MNOGO^LENOW.

1. pO^EMU NEPRAWILXNO [KOLXNOE OPREDELENIE MNOGO^LENOW? pUSTX R { PROIZWOLX-

NOE KOMMUTATIWNOE KOLXCO S EDINICEJ. mY POSTROIM NEKOTOROE NOWOE KOLXCO R[H], NAZYWAEMOE KOLXCOM MNOGO^LENOW OT ODNOJ PEREMENNOJ NAD KOLXCOM R. nEFORMALXNO, MNOGO^LEN OT x S KO\FFICIENTAMI IZ R { \TO WYRAVENIE WIDA f = anxn + : : : + a1x + a0, GDE ai 2 R. w [KOLE MNOGO^LEN OBY^NO OTOVDESTWLQETSQ S OPREDELQEMOJ IM POLINOMIALXNOJ FUNKCIEJ fe, KOTORAQ SOPOSTAWLQET KAVDOMU \LEMENTU c 2 R ZNA^ENIE f W TO^KE c, T.E. \LEMENT f(c), POLU^A@]IJSQ PRI PODSTANOWKE c WMESTO x W WYRAVENIE DLQ f:

f(c) = ancn + : : : + a1c + a0 2 R:

dEJSTWITELXNO, FUNKCIQ fe OPREDELQETSQ MNOGO^LENOM f ODNOZNA^NO, ODNAKO, DAVE W SLU^AE, KOGDA R = K QWLQETSQ POLEM, OBRATNOE, WOOB]E GOWORQ, SOWER[ENNO NEWERNO, T.E. RAZLI^NYE MNOGO^LENY MOGUT OPREDELQTX ODNU I TU VE POLINOMIALXNU@ FUNKCI@ fe. w SAMOM DELE, PUSTX K = F2 = f0; 1g { POLE IZ DWUH \LEMENTOW. tOGDA, KAK LEGKO WIDETX, MNOGO^LENY x I x2 OPREDELQ@T ODNU I TU VE POLINOMIALXNU@ FUNKCI@ id : K ¡! K. eSLI SLEDOWATX [KOLXNOMU OPREDELENI@ MNOGO^LENA, TO MY DOLVNY OB_QWITX, ^TO x = x2. qSNO, ^TO TAKOE RE[ENIE NAS SOWER[ENNO NE USTRAIWAET I, PO\TOMU, MY DOLVNY PRIZNATX, ^TO ^EM BY NI BYL MNOGO^LEN, ON NE QWLQETSQ FUNKCIEJ R ¡! R (HOTQ I OPREDELQET TAKU@ FUNKCI@!) w DEJSTWITELXNOSTI, MY OPREDELIM MNOGO^LEN KAK FUNKCI@, NO FUNKCI@ IZ N0 W R.

nA SAMOM DELE, x DOLVNO BYTX TRANSCENDENTNYM NAD R (IMENNO \TOT SMYSL WKLADYWAETSQ W WYRAVENIE NEZAWISIMAQ PEREMENNAQ). |TO ZNA^IT, ^TO WSE STEPENI x DOLVNY BYTX LINEJNO NEZAWISIMY NAD R, ILI, ^TO TO VE SAMOE, DWA MNOGO^LENA f = anxn + : : : + a1x + a0, I g = bnxn + : : : + b1x + b0, RAWNY, ESLI I TOLXKO ESLI WSE IH KO\FFICIENTY PRI ODINAKOWYH STEPENQH x SOWPADA@T: ai = bi DLQ WSEH i 2 N0. w \LEMENTARNOJ MATEMATIKE \TU MYSLX WYRAVA@T, GOWORQ, ^TO MNOGO^LEN QWLQETSQ FORMALXNOJ SUMMOJ WIDA anxn + : : : + a1x + a0. qSNO, ^TO PRI \TOM x NE MOVET BYTX \LEMENTOM R I, TAKIM OBRAZOM, a priori SOWER[ENNO NEPONQTNO, KAKOJ VE SMYSL SLEDUET WKLADYWATX W SLOVENIE I UMNOVENIE W WYRAVENII anxn + : : : + a1x + a0. sLEDU@]AQ KONSTRUKCIQ MOVET POKAZATXSQ IZLI[NE USLOVNENNOJ, NO ONA KAK RAZ I SLUVIT DLQ TOGO, ^TOBY PRIDATX STROGIJ FORMALXNYJ SMYSL \TIM OPERACIQM.

2. kOLXCO MNOGO^LENOW. pOSTROIM, OTPRAWLQQSX OT R, NOWOE KOLXCO R[H] SLEDU@]IM OBRAZOM. kAK MNOVESTWO R[H] SOSTOIT IZ FORMALXNO BESKONE^NYH POSLEDOWATELXNOSTEJ (a0; a1; a2; : : : ) S KOMPONENTAMI IZ R. |TO OZNA^AET, ^TO ai 2 R, PRI^EM ai = 0 DLQ PO^TI WSEH INDEKSOW i, T.E. DLQ WSEH ZNA^ENIJ i, KROME KONE^NOGO ^ISLA. oPREDELIM W MNOVESTWE R[H] OPERACII SLOVENIQ I UMNOVENIQ SLEDU@]IM OBRAZOM.

F sLOVENIE W R[H] POKOMPONENTNOE:

(a0; a1; a2; : : : ) + (b0; b1; b2; : : : ) = (a0 + b0; a1 + b1; a2 + b2; : : : );

QSNO, ^TO SREDI SUMM ai + bi LI[X KONE^NOE ^ISLO OTLI^NO OT 0, TAK ^TO POSLEDOWATELXNOSTX W PRAWOJ ^ASTI DEJSTWITELXNO PRINADLEVIT R[H] WMESTE S ISHODNYMI POSLEDOWATELXNOSTQMI.

70 nikolaj wawilow

F uMNOVENIE W R[x] OPREDELQETSQ POSREDSTWOM

(a0; a1; a2; : : : )(b0; b1; b2; : : : ) = (c0; c1; c2; : : : )

GDE DLQ WSEH h 2 N0 KOMPONENTA ch RAWNA

X

ch = aibj; i; j 2 N0; i + j = h:

tAKIM OBRAZOM, c0 = a0b0, c1 = a0b1 + a1b0, c2 = a0b2 + a1b1 + a2b0, c3 = a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0 I TAK DALEE. qSNO, ^TO, WO-PERWYH, KAVDAQ IZ TAKIH SUMM KONE^NA (WHODQ]AQ W OPREDELENIE ch SUMMA SOSTOIT IZ h + 1 SLAGAEMOGO),

I, WO-WTORYH, LI[X KONE^NOE ^ISLO SREDI \TIH SUMM OTLI^NO OT 0 (ESLI h DOSTATO^NO WELIKO, TO HOTQ BY ODNO IZ SLAGAEMYH i ILI j TOVE DOLVNO BYTX DOSTATO^NO WELIKO, TAK ^TO, SOOTWETSTWENNO, ai = 0 ILI bj = 0). |TO ZNA^IT, ^TO MY DEJSTWITELXNO WWELI PROIZWEDENIE DWUH POSLEDOWATELXNOSTEJ IZ R[x], KOTOROE SNOWA PRINADLEVIT R[x].

~UTX PRISTALXNEE WSMOTREW[ISX W \TO OPREDELENIE, wY UWIDITE, ^TO \TO W TO^NOSTI OPREDELENIE SWERTKI FUNKCIJ RN0 , GDE W KA^ESTWE OPERACII ± NA N0 BERETSQ SLOVENIE. tAK ^TO, PO SU]ESTWU, MY PROSTO E]E RAZ OPREDELILI W \TOM KONKRETNOM SLU^AE MONOIDNU@ ALGEBRU R[N0]. oDNAKO, \TU ALGEBRU PRINQTO OBOZNA^ATX R[x], GDE x = ±1.

tEOREMA. mNOVESTWO R[x] S TAK OPREDELENNYMI OPERACIQMI QWLQETSQ KOM- MUTATIWNYM ASSOCIATIWNYM KOLXCOM S 1.

mY UVE DOKAZYWALI \TU TEOREMU W gLAWE ?, ODNAKO DLQ UDOBSTWA PE[EHODOW POWTORIM \TO DOKAZATELXSTWO.

dOKAZATELXSTWO. pROWERKA BOLX[INSTWA AKSIOM KOLXCA O^EWIDNA. tAK, NAPRIMER, TO, ^TO R[x] OBRAZUET ABELEWU GRUPPU PO SLOVENI@, SRAZU WYTEKAET IZ TOGO, ^TO SLOVENIE POKOMPONENTNO I SOOTWETSTWU@]IE SWOJSTWA WYPOLNENY DLQ WSEH KOMPONENT. nAPRIMER,

²NEJTRALXNYM \LEMENTOM PO SLOVENI@ BUDET POSLEDOWATELXNOSTX (0; 0; 0; : : : ),

²\LEMENTOM, PROTIWOPOLOVNYM K POSLEDOWATELXNOSTI (a0; a1; a2; : : : ), QWLQETSQ POSLEDOWATELXNOSTX (¡a0; ¡a1; ¡a2; : : : ).

w SILU TOGO, ^TO a I b WHODQT W OPREDELENIE c SIMMETRI^NYM OBRAZOM, A UMNOVENIE W KOLXCE R KOMMUTATIWNO, UMNOVENIE W R[H] TAKVE KOMMUTATIWNO. pRI \TOM

² NEJTRALXNYM \LEMENTOM PO UMNOVENI@ QWLQETSQ POSLEDOWATELXNOSTX (1; 0; 0; : : : ).

nEPOSREDSTWENNO IZ OPREDELENIJ DEJSTWIJ PROWERQETSQ I DISTRIBUTIWNOSTX. eDINSTWENNYM ^UTX MENEE TRIWIALXNYM MOMENTOM QWLQETSQ PROWERKA ASSOCIATIWNOSTI

UMNOVENIQ W R[x]. kAK MY ZNAEM, ONA POLU^AETSQ IZMENENIEM PORQDKA SUMMIROWANIQ W WYRAVENII KO\FFICIENTA W PROIZWEDENII TREH MNOVITELEJ ^EREZ KO\FFICIENTY SOMNOVITELEJ.

a IMENNO, ESLI (a0; a1; a2; : : : ), (b0; b1; b2; : : : ) I (c0; c1; c2; : : : ) SUTX TRI POSLEDOWATELXNOSTI IZ R[x], TO IZMENENIEM PORQDKA SUMMIROWANIQ LEGKO UBEDITXSQ, ^TO PRI L@BOJ IZ DWUH RAS-

STANOWOK SKOBOK l-Q KOMPONENTA PROIZWEDENIQ \TIH POSLEDOWATELXNOSTEJ RAWNA Paibjch, GDE SUMMA BERETSQ PO WSEM i; j; h 2 N, TAKIM, ^TO i + j + h = l. tEOREMA POLNOSTX@ DOKAZANA.

3. oDNO^LENY. pOSLEDOWATELXNOSTI WIDA (a; 0; 0; : : : ) SKLADYWA@TSQ I UMNOVA@TSQ TAK VE, KAK \LEMENTY KOLXCA R, PO\TOMU W DALXNEJ[EM MY BUDEM OTOVDESTWLQTX TAKU@ POSLEDOWATELXNOSTX S \LEMENTOM a 2 R, INYMI SLOWAMI, MY POLAGAEM (a; 0; 0; : : : ) = a. tEM SAMYM, R BUDET RASSMATRIWATXSQ KAK PODKOLXCO W R[H].

nEZAWISIMU@ PEREMENNU@ x MOVNO ISTOLKOWATX SLEDU@]IM OBRAZOM. pOLOVIM x = (0; 1; 0; 0; : : : ). pRIMENQQ K x DANNOE WY[E OPREDELENIE UMNOVENIQ,