Vavilov_N_Konkretnaya_teoria_kolets

rE[ENIE. pO OPREDELENI@ xijyhk STOIT W POZICII ((i¡1)n+h; (j ¡1)n+k) DLQ L@BYH 1 · i; j · m, 1 · h; k · n. pRO^TITE \TU FORMULU W OBRATNU@ STORONU.

2. oSNOWNYE TOVDESTWA. kRONEKEROWO PROIZWEDENIE SWQZANO S DRUGIMI MATRI^NYMI OPERACIQMI WESXMA INTERESNYMI TOVDESTWAMI. pRI \TOM MY S^ITAEM, ^TO PROIZWEDENIE MATRIC SWQZYWAET SILXNEE, ^EM KRONEKEROWO PROIZWEDENIE, TAK ^TO x - yz INTERPRETIRUETSQ KAK x - (yz), A NE KAK (x - y)z. w TO VE WREMQ, KRONEKEROWO PROIZWEDENIE SWQZYWAET SILXNEE, ^EM SUMMA, TAK ^TO x + y - z INTERPRETIRUETSQ KAK x + (y - z), A NE (x + y) - z.

tEOREMA. kRONEKEROWO PROIZWEDENIE MATRIC OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJST- WAMI:

1) aSSOCIATIWNOSTX. pUSTX x 2 M(l; R), y 2 M(m; R), z 2 M(n; R). tOGDA

(x - y) - z = x - (y - z)

(POSLE OTOVDESTWLENIQ OBEIH ^ASTEJ S MATRICAMI W M(lmn; R)). 2) dISTRIBUTIWNOSTX OTNOSITELXNO SLOVENIQ

(x + y) - z = x - z + y - z; x - (y + z) = x - y + x - z:

3) oDNORODNOSTX

®x - y = ®(x - y) = x - ®y:

4) wZAIMNAQ DISTRIBUTIWNOSTX KRONEKEROWA PROIZWEDENIQ I UMNOVENIQ MATRIC

xy - uv = (x - u)(y - v):

dOKAZATELXSTWO. wSE SWOJSTWA, KROME 4, NEPOSREDSTWENNO WYTEKA@T IZ OPREDELENIQ. dLQ DOKAZATELXSTWA 4 ZAMETIM, ^TO BLOK MATRICY (x - u)(y - v), STOQ]IJ NA PERESE^ENII i-J GORIZONTALXNOJ I j-J WERTIKALXNOJ POLOSY, RAWEN P(xilu)(yljv), GDE SUMMA BERETSQ PO 1 · l · m. oDNAKO PO PREDPOLOVENI@ KOLXCO R KOMMUTATIWNO, TAK ^TO \TA SUMMA RAWNA P(xilylj)(uv) = (xy)ij(uv), KAK I UTWERVDALOSX.

zADA^A. pROWERXTE, ^TO ESLI x I y OBE OBRATIMY, TO (x - y)¡1 = x¡1 - y¡1.

zADA^A. ~EMU RAWNO (x - y)t? wARIANTY OTWETA: 1) xt - yt, 2) yt - xt, 3) none of the above.

zADA^A. ~TO IZ SLEDU@]IH WKL@^ENIJ WERNO?

1)D(m; R) - D(n; R) · D(mn; R);

2)N(m; R) - N(n; R) · N(mn; R);

3)U(m; R) - U(n; R) · U(mn; R);

4)B(m; R) - B(n; R) · B(mn; R).

x 32. uMNOVENIE MATRIC W TERMINAH KRONEKEROWSKOGO PROIZWEDENIQ

oPREDELIM OTOBRAVENIE M(mn; R) ¡! Rmn, x 7!x¤1 © : : : © x¤n, SOPOSTAWLQ@]EE MATRICE x WEKTOR, QWLQ@]IJSQ PRQMOJ SUMMOJ EE STOLBCOW.

x 33. sLED MATRICY

sEJ^AS MY OPREDELIM ADDITIWNYJ GOMOMORFIZM tr : M(n; R) ¡! R.

zADA^A. pUSTX x 2 M(m; n; R). dOKAVITE, ^TO xtx = 0, TO x = 0. wERNO LI ANALOGI^NOE UTWERVDENIE DLQ MATRIC x 2 M(m; n; C)? kAK NUVNO MODIFICIROWATX FORMULIROWKU W KOMPLEKSNOM SLU^AE?

tr(x + y) = tr(x) + tr(y), tr(®x) = ® tr(x),

tr(x®) = tr(x)®, tr(xy) = tr(yx),

tr(x - y) = tr(x) tr(y).

tr(Vm(x)= SUMMA GLAWNYH MINOROW m-GO PORQDKA MATRICY x

tEMA 9: idealy

pRI MODNOM SLOWE IDEAL nEWOLXNO lENSKIJ ZADREMAL.

pU[KIN, `eWGENIJ oNEGIN', gL. VI.

pONIK Q BUJNOJ GOLOWOJ, POGIBLI IDEALY. nEKRASOW

x 1. oDNOSTORONNIE IDEALY

sEJ^AS MY WWEDEM ODNO IZ WAVNEJ[IH PONQTIJ, SWQZANNYH S KOLXCAMI, PONQTIE IDEALA. iDEALY IGRA@T TAKU@ VE ROLX W TEORII KOLEC, KAK NORMALXNYE PODGRUPPY W TEORII GRUPP.

1. lEWYE I PRAWYE IDEALY. pUSTX R { PROIZWOLXNOE ASSOCIATIWNOE KOLXCO S 1.

oPREDELENIE. nEPUSTOE PODMNOVESTWO I µ R NAZYWAETSQ LEWYM IDEALOM W R, ESLI

AI) I QWLQETSQ ADDITIWNOE PODGRUPPOJ W R, T.E., 8x; y 2 I, x ¡ y 2 I;

LI) I USTOJ^IWO OTNOSITELXNO UMNOVENIQ NA \LEMENTY R SLEWA: 8x 2 I,

8y 2 R, yx 2 I.

nEPUSTOE PODMNOVESTWO I µ R NAZYWAETSQ PRAWYM IDEALOM W R, ESLI ONO UDOWLETWORQET AKSIOME I1 I SLEDU@]EJ

RI) I USTOJ^IWO OTNOSITELXNO UMNOVENIQ NA \LEMENTY R SPRAWA: 8x 2

I, 8y 2 R, xy 2 I.

lEWYE I PRAWYE IDEALY W R NAZYWA@TSQ ODNOSTORONNIMI. pOLXZUQSX UMNOVENIEM PO mINKOWSKOMU AKSIOMY LI I RI MOVNO ZAPISATX W WIDE RI µ I I IR µ I, SOOTWETSTWENNO. l@BOJ \LEMENT WIDA yx, GDE y 2 R, NAZYWAETSQ

LEWYM KRATNYM \LEMENTA x, A \LEMENT WIDA xy { PRAWYM KRATNYM x. tA-

KIM OBRAZOM, LEWYJ/PRAWYJ IDEAL { \TO TAKAQ ADDITIWNAQ PODGRUPPA, KOTORAQ WMESTE S KAVDYM SWOIM \LEMENTOM SODERVIT WSE EGO LEWYE/PRAWYE KRATNYE.

2. gLAWNYE LEWYE/PRAWYE IDEALY. pUSTX x 2 R. oBOZNA^IM ^EREZ Rx = fyx j y 2 Rg { MNOVESTWO WSEH LEWYH KRATNYH \LEMENTA x. lEGKO WIDETX, ^TO Rx { LEWYJ IDEAL KOLXCA R. w SAMOM DELE, Rx NEPUSTO (TAK KAK SODERVIT 0 = 0x I x = 1x), RAZNOSTX DWUH LEWYH KRATNYH x TOVE QWLQETSQ EGO LEWYM KRATNYM, yx ¡ zy = (y ¡ z)x I, NAKONEC, LEWOE KRATNOE LEWOGO KRATNOGO x SAMO QWLQETSQ LEWYM KRATNYM x TAK KAK z(yx) = (zy)x (ASSOCIATIWNOSTX!) mNOVESTWO Rx NAZYWAETSQ GLAWNYM LEWYM IDEALOM KOLXCA R, POROVDENNYM x. tO^NO TAK VE PROWERQETSQ ^TO MNOVESTWO xR = fxy j y 2 Rg WSEH PRAWYH KRATNYH \LEMENTA x QWLQETSQ PRAWYM IDEALOM W R, NAZYWAEMYM GLAWNYM PRAWYM IDEALOM W R, POROVDENNYM x.

oSOBU@ ROLX W STRUKTURNOJ TEORII KOLEC IGRA@T LEWYE/PRAWYE IDEALY, POROVDENNYE IDEMPOTENTAMI

zADA^A.{ sdwinutx!!! pOKAVITE, ^TO ESLI R { KOMMUTATIWNOE KOLXCO, TO DLQ L@BOGO x 2 R I L@BOGO IDEMPOTENTA e 2 R IMEEM Rx \ Re = Rxe.

rE[ENIE. qSNO, ^TO PRAWAQ ^ASTX SODERVITSQ W LEWOJ (KOLXCO R KOMMUTATIWNO!) oBRATNO, ESLI y 2 Rx \ Re, TO y IMEET WID y = ue DLQ NEKOTOROGO u 2 R

TAK ^TO ye = ue2 = ue = y. s DRUGOJ STORONY, y = vx DLQ NEKOTOROGO v 2 R, TAK ^TO y = ye = vxe, ^TO I UTWERVDALOSX.

3. kONE^NO POROVDENNYJ LEWYJ/PRAWYJ IDEAL. oBOB]IM PREDYDU]IJ PRIMER. pUSTX x1; : : : ; xn 2 R { L@BOE KONE^NOE SEMEJSTWO \LEMENTOW KOLXCA R. rASSMOTRIM MNOVESTWO WSEH LEWYH LINEJNYH KOMBINACIJ \LEMENTOW x1; : : : ; xn S KO\FFICIENTAMI IZ R:

Rx1 + : : : + Rxn = fy1x1 + : : : + ynxn j y1; : : : ; yn 2 Rg:

tO^NO TAKAQ VE WYKLADKA, KAK W PREDYDU]EM PRIMERE, POKAZYWAET, ^TO RAZNOSTX DWUH LEWYH LINEJNYH KOMBINACIJ SNOWA QWLQETSQ LINEJNOJ KOMBINACIEJ I KRATNOE LINEJNOJ KOMBINACII \LEMENTOW x1; : : : ; xn SAMO QWLQETSQ LEWOJ LINEJNOJ KOMBINACIEJ TEH VE \LEMENTOW. pO\TOMU Rx1 + : : : + Rxn { LEWYJ IDEAL KOLXCA R. oN NAZYWAETSQ LEWYM IDEALOM, POROVDENNYM x1; : : : ; xn. sO-

WER[ENNO ANALOGI^NO PROWERQETSQ I ^TO MNOVESTWO WSEH PRAWYH LINEJNYH KOMBINACIJ \LEMENTOW x1; : : : ; xn S KO\FFICIENTAMI IZ R:

x1R + : : : + xnR = fx1y1 + : : : + xnyn j y1; : : : ; yn 2 Rg:

QWLQETSQ PRAWYM IDEALOM W R, KOTORYJ NAZYWAETSQ PRAWYM IDEALOM, POROVDENNYM x1; : : : ; xn. lEWYJ/PRAWYJ IDEAL NAZYWAETSQ KONE^NO POROVDENNYM, ESLI ON SOWPADAET S LEWYM/PRAWYM IDEALOM, POROVDENNYM SWOIM KONE^NYM PODMNOVESTWOM fx1; : : : ; xng.

4. pOROVDENIE LEWYH/PRAWYH IDEALOW. pRIWEDEM PERWYE PRIMERY LE-

WYH/PRAWYH IDEALOW.

x 2. dWUSTORONNIE IDEALY

1. iDEALY. pUSTX PO PREVNEMU R { PROIZWOLXNOE ASSOCIATIWNOE KOLXCO S 1.

oPREDELENIE. aDDITIWNAQ PODGRUPPA I KOLXCA R NAZYWAETSQ IDEALOM, ES- LI ONA QWLQETSQ ODNOWREMENNO KAK LEWYM, TAK I PRAWYM IDEALOM KOLXCA R.

tAKIM OBRAZOM, IDEAL, \TO NEPUSTOE PODMNOVESTWO W R, UDOWLETWORQ@]EE AKSIOMAM AI, LI I RI, T.E. TAKAQ ADDITIWNAQ PODG[RUPPA, ^TO RI; IR µ I ILI, ^TO TO VE SAMOE, RIR µ I. ~TOBY OBOZNA^ITX, ^TO I { IDEAL W R OBY^NO PI[UT I E R. iNOGDA, ESLI NUVNA OSOBAQ TO^NOSTX, ^TOBY POD^ERKNUTX, ^TO RIR µ I GOWORQT, ^TO I { DWUSTORONNIJ IDEAL. w KLASSI^ESKIH KNIGAH IDEALY OBY^NO OBOZNA^A@TSQ FRAKTUROJ: a, b, c, : : : . sEGODNQ FRAKTURA PRAKTI^ESKI WY[LA IZ UPOTREBLENIQ, ZA ISKL@^ENIEM TREH STANDARTNYH OBOZNA^ENIJ: p DLQ PROSTYH IDEALOW, q DLQ PRIMARNYH IDEALOW I m DLQ MAKSIMALXNYH IDEALOW.

eSLI KOLXCO R KOMMUTATIWNO, TO PONQTIQ LEWOGO IDEALA, PRAWOGO IDEALA I DWUSTORONNEGO IDEALA SOWPADA@T. w ^ASTNOSTI, W \TOM SLU^AE WMESTO GLAWNYH LEWYH I GLAWNYH PRAWYH IDEALOW MOVNO GOWORITX PROSTO O GLAWNYH IDEALAH KOLXCA R. eSLI x 2 R, TO MNOVESTWO (x) = Rx = xR, WSEH KRATNYH x NAZYWAETSQ GLAWNYM IDEALOM, POROVDENNYM x. aNALOGI^NO, ESLI x1; : : : ; xn 2 R, TO WMESTO LEWYH I PRAWYH LINEJNYH KOMBINACIJ \TIH \LEMENTOW MOVNO GOWORITX PROSTO O LINEJNYH KOMBINACIQH S KO\FFICIENTAMI IZ R. wSE TAKIE KOMBINACII OBRAZU@T IDEAL

(x1; : : : ; xn) = Rx1 + : : : + Rxn = x1R + : : : + xnR E R:

zAME^ANIE. mOVNO BYLO BY NAZWATX PROIZWEDENIQ yxz, GDE y; z 2 R, DWU- STORONNIMI KRATNYMI x W KOLXCE R, NO \TO PONQTIE NE O^ENX POLEZNO. dELO W TOM, ^TO W OTLI^IE OT LEWYH I PRAWYH KRATNYH, a priori SOWER[ENNO NEPONQTNO, PO^EMU SUMMA DWUSTORONNIH KRATNYH x SAMA BUDET KRATNYM x. w SAMOM DELE, KAK, NAPRIMER, WYRAZITX yx + xz KAK KRATNOE x? w DEJSTWITELXNOSTI, RASSMATRIWAQ RANGI MATRIC, LEGKO UBEDITXSQ, ^TO SDELATX \TO NEWOZMOVNO: W KOLXCE M(n; K) MATRIC STEPENI n ¸ 2 NAD POLEM K L@BOE DWUSTORONNEE KRATNOE STANDARTNOJ MATRI^NOJ EDINICY e11 IMEET · 1, W TO WREMQ KAK

e21e11 + e11e12 = e21 + e12 IMEET RANG 2 I, ZNA^IT, NE QWLQETSQ KRATNYM e11. tAKIM OBRAZOM, NEWERNO, ^TO DWUSTORONNIJ IDEAL, POROVDENNYJ \LEMENTOM x,

OBQZAN SOSTOQTX IZ KRATNYH x. w DEJSTWITELXNOSTI, ON SOSTOIT IZ WSEWOZMOVNYH KONE^NYH SUMM TAKIH KRATNYH. pO\TOMU DLQ NEKOMMUTATIWNYH KOLEC OBY^NO NE GOWORQT O DWUSTORONNIH KRATNYH \LEMENTA x I GLAWNYH IDEALAH.

² pUSTX R KOMMUTATIWNOE KOLXCO. tOGDA WSE NILXPOTENTNYE \LEMENTY OBRAZU@T IDEAL KOLXCA R OBOZNA^AEMYJ Nil(R) I NAZYWAEMYJ NILXRADIKALOM. nAPRIMER, W KOLXCE DWOJNYH ^ISEL R = K[d] IMEEM Nil(R) = fdx j x 2 Kg = dR.

x 2. dWUSTORONNIE IDEALY

1. o^EWIDNYE IDEALY, PROSTYE KOLXCA. w L@BOM KOLXCE ESTX DWA O^E- WIDNYH IDEALA: TRIWIALXNYJ ILI NULEWOJ IDEAL 0 = f0g E R, I NESOB-

STWENNYJ ILI EDINI^NYJ IDEAL R E R. wSE IDEALY I KOLXCA R, OTLI^NYE OT R, NAZYWA@TSQ SOBSTWENNYMI. qSNO, ^TO ESLI KOLXCO R = T QWLQETSQ TELOM, TO W NEM NET UVE NIKAKIH DRUGIH ODNOSTORONNIH IDEALOW. oKAZYWAETSQ, WERNO I OBRATNOE.

pREDLOVENIE. kOLXCO R W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE QWLQETSQ TELOM, KOGDA W NEM ROWNO DWA LEWYH IDEALA.

dOKAZATELXSTWO. eSLI R = T { TELO, TO L@BOJ NENULEWOJ \LEMENT x 6= 0 OBRATIM I, ZNA^IT, ESLI x 2 I, GDE I LEWYJ IDEAL W R, TO DLQ L@BOGO y 2 R IMEEM y = (yx¡1)x 2 I.

oBRATNO, TAK KAK W KOLXCE R DWA LEWYH IDEALA, TO 0 6= 1. wOZXMEM TEPERX x 2 R, x 6= 0, I RASSMOTRIM GLAWNYJ LEWYJ IDEAL IDEAL Rx. tAK KAK Rx 6= 0, TO Rx = R, TAK ^TO x OBRATIM SLEWA, PUSTX, NAPRIMER, yx = 1. tAK KAK y W SWO@ O^EREDX OBRATIM SLEWA, TO y, A WMESTE S TEM I x, OBRATIM.

tAKIM OBRAZOM, KOMMUTATIWNOE KOLXCO QWLQETSQ POLEM W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA W NEM ROWNO DWA IDEALA.

oPREDELENIE. kOLXCO R NAZYWAETSQ PROSTYM, ESLI W ROWNO DWA DWUSTO- RONNIH IDEALA.

2. pROSTOTA MATRI^NYH KOLEC. mY TOLXKO ^TO DOKAZALI, ^TO KAVDOE KOM- MUTATIWNOE PROSTOE KOLXCO QWLQETSQ POLEM. mOVNO LI I W NEKOMMUTATIWNOM SLU^AE UTWEVDATX, ^TO KAVDOE PROSTOE KOLXCO QWLQETSQ TELOM? oKAZYWAETSQ, \TO BEZNADEVNO NEWERNO.

tEOREMA. kOLXCO MATRIC M(n; T ) L@BOJ STEPENI n ¸ 1 NAD TELOM T QWLQ- ETSQ PROSTYM KOLXCOM.

lRKAZATELXSTWO. pUSTX I E M(n; T ), I =6 0, I x = (xij) 2 I { NENULEWOJ \LEMENT IZ I. |TO ZNA^IT, ^TO NAJDUTSQ TAKIE INDEKSY h; k, ^TO xhk =6 0.

tOGDA DLQ L@BYH i; j IMEEM eij = x¡hk1eihxekj. tEM SAMYM, y = Pyijeij 2 I DLQ L@BOJ MATRICY y = (yij) 2 M(n; T ).

oDNA IZ KL@^EWYH KLASSI^ESKIH TEOREM TEORII KOLEC, TEOREMA wEDDER- BARNA-aRTINA, S KOTOROJ MY POZNAKOMIMSQ W 3-M SEMESTRE, UTWERVDAET, ^TO KOLXCAMI M(n; T ) IS^ERPYWA@TSQ WSE PROSTYE ARTINOWY KOLXCA (SM. gLAWU VI PO POWODU OPREDELENIQ). nA USLOWIE ARTINOWOSTI ZDESX NUVNO SMOTRETX KAK NA SWOEGO RODA `KONE^NOMERNOSTX': L@BOE KOLXCO, KONE^NOMERNOE NAD POLEM, AWTOMATI^ESKI QWLQETSQ ARTINOWYM. oDNAKO BESKONE^NOMERNYE PROSTYE KOLXCA USTROENY WESXMA ZAMYSLOWATO I NIKAKOGO STOLX VE PROSTOGO OPISANIQ DLQ NIH NET.

x 4. kOLXCA GLAWNYH IDEALOW: erste Fassung

4. kOLXCA GLAWNYH IDEALOW. oPI[EM WSE IDEALY W KOLXCE Z CELYH RACIONALXNYH ^ISEL. qSNO, ^TO KAVDOMU m 2 Z OTWE^AET GLAWNYJ IDEAL mZ, PRI^EM GLAWNYE IDEALY mZ I nZ RAWNY TOLXKO ESLI m = §n. oKAZYWAETSQ, NIKAKIH DRUGIH IDEALOW W R NET.

pREDLOVENIE. kAVDYJ IDEAL KOLXCA Z IMEET WID mZ DLQ NEKOTOROGO m 2

Z.

dOKAZATELXSTWO. w SAMOM DELE, PUSTX I E Z, I =6 0, { NENULEWOJ IDEAL W Z. zAMETIM, ^TO I SODERVIT NATURALXNOE ^ISLO n. w SAMOM DELE, PUSTX l 2 I, l =6 0. eSLI l > 0, TO POLOVIM n = l, W PROTIWNOM SLU^AE POLOVIM n = ¡l. mNOVESTWO I \ N NEPUSTO I W SILU POLNOJ UPORQDO^ENNOSTI N SODERVIT NAIMENX[IJ \LEMENT, KOTORYJ MY OBOZNA^IM ^EREZ m. mY UTWERVDAEM, ^TO I = mZ. w SAMOM DELE, PUSTX n 2 I. pODELIM n S OSTATKOM NA m: n = qm + r, GDE 0 · r < m. eSLI r =6 0, TO r = n ¡ mq 2 I \ Z \LEMENT MNOVESTWA I \ N, ^TO PROTIWORE^IT MINIMALXNOSTI m. pO\TOMU n DELITSQ NA m I, ZNA^IT n 2 mZ.

zABEGAQ WPERED, SKAVEM, ^TO KOMMUTATIWNOE KOLXCO S 1 NAZYWAETSQ KOLXCOM GLAWNYH IDEALOW, ESLI ONO QALQETSQ OBLASTX@ CELOSTNOSTI I WSE IDEALY W NEM GLAWNYE. dOKAZANNYJ TOLXKO ^TO REZULXTAT OZNA^AET, ^TO Z QWLQETSQ KOLXCOM GLAWNYH IDEALOW.

iSPOLXZUQ ALGORITM DELENIQ MNOGO^LENOW, MY POKAVEM, ^TO DLQ L@BOGO POLQ K KOLXCO MNOGO^LENOW K[x] TOVE QWLQETSQ KOLXCOM GLAWNYH IDEALOW, T.E. L@BOJ IDEAL W NEM IMEET WID (f) = fK[x] DLQ NEKOTOROGO MNOGO^LENA f 2 K[x]. wO WTOROM SEMESTRE MY T]ATELXNO IZU^IM ARIFMETIKU KOLEC GLAWNYH IDEALOW I PRIWEDEM MNOGO DRUGIH PRIMEROW. w ^ASTNOSTI, U NAS BUDET SLU^AJ WERNUTXSQ S DRUGOJ TO^KI ZRENIQ K SLEDU@]EJ ZADA^E.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO WSE PODKOLXCA W Q QWLQ@TSQ KOLXCAMI GLAWNYH IDEALOW.

uKAZANIE. pUSTX R TAKOE KOLXCO I I { IDEAL W NEM. tOGDA I = R(I \ Z).

zADA^A. pUSTX R { KOMMUTATIWNOE KOLXCO, x; y 2 R, xy = 0. pREDPOLOVIM, ^TO IDEAL Rx + Ry SODERVIT NEDELITELX 0. pOKAZATX, ^TO TOGDA Rx \ Ry = 0 I UVE \LEMENT x + y NE QWLQETSQ DELITELEM 0.

rE[ENIE. eSLI Rx \ Ry 6= 0 I z 2 Rx \ Ry, z 6= 0, TO xz = 0 (TAK KAK z 2 Ry) I xy = 0 (TAK KAK z 2 Rx). pO\TOMU DLQ L@BYH a; b 2 R WYPOLNQETSQ RAWENSTWO (ax + by)z = 0, TAK ^TO Rx \ Ry CELIKOM SOSTOIT IZ DELITELEJ 0. s

DRUGOJ STORONY, PREDPOLOVIM, ^TO x+y QWLQETSQ DELITELEM 0. tOGDA NAJDETSQ z 2 R² TAKOE, ^TO (x + y)z = 0 ILI, ^TO TO VE SAMOE, xz = ¡yz. qSNO, ^TO PRI \TOM xz = ¡yz 6= 0, TAK KAK INA^E WSE \LEMENTY ax + by BYLI BY DELITELQMI 0. nO TOGDA (ax + by)zx = (b ¡ a)yzx = 0 DLQ L@BYH a; b 2 R, PROTIWORE^IE.

5. pRIMER NEGLAWNOGO IDEALA. rASSMOTRIM KOLXCO MNOGO^LENOW R = K[x; y] OT DWUH PEREMENNYH. mY BUDEM IZU^ATX IDEALY \TOGO KOLXCA (I WOOB]E KOLEC MNOGO^LENOW OT PROIZWOLXNOGO ^ISLA PEREMENNYH) W gLAWE ?. pOKA ZAMETIM, ^TO NE WSE IDEALY \TOGO KOLXCA GLAWNYE. w SAMOM DELE, PUSTX I { MNOVESTWO MNOGO^LENOW BEZ SWOBODNOGO ^LENA, T.E.

X

I = ff = aijxiyj j aij 2 K; i; j 2 N0; a00 = 0g:

qSNO, ^TO I SOBSTWENNYJ IDEAL W K[x; y], PRI^EM I = xK[x; y]+yK[x; y] POROVDAETSQ DWUMQ \LEMENTAMI. oDNAKO IDEAL I NE MOVET BYTX GLAWNYM. w SAMOM DELE, ESLI I = fK[x; y] DLQ NEKOTOROGO f 2 K[x; y], TO KAK x TAK I y QWLQ@TSQ KRATNYMI f. nO TOGDA f DOLVNO BYTX NENULEWOJ KONSTANTOJ, ^TO NEWOZMOVNO TAK KAK TOGDA I = K[x; y].

iDEAL (x; p) W KOLXCE R = Z[x] { obrabotatx!!

x 5. pOKRYTIE [AHMATNOJ DOSKI

oPI[EM ^REZWY^AJNO \FFEKTNOE PRIMENENIE IDEALOW W KOLXCE K[x; y] K ZADA^E POKRYTIQ [AHMATNOJ DOSKI (SM. t.sAATI `cELO^ISLENNYE METODY OPTIMIZACII I SWQZANNYE S NIMI \KSTREMALXNYE PROBLEMY', m. 1973). dLQ \TOGO ZANUMERUEM WERTIKALI STEPENIQMI x, OT 1 DO x7, A GORIZONTALI { STEPENQMI y, OT 1 DO y7. tOGDA KAVDOJ KLETKE SOOTWETSTWUET ODNO^LEN WIDA xiyj, 0 · i; j · 7. NAPRIMER, KLETKA, OBY^NO OBOZNA^AEMAQ e4 TEPERX OBOZNA^ENA x4y3. tAKIM OBRAZOM, KAVDOMU PODMNOVESTWU Z [AHMATNOJ DOSKI OTWE^AET NEKOTORAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ f = FZ \TIH ODNO^LENOW S KO\FFICIENTAMI 0; 1. pOLOVIM TEPERX NA [AHMATNU@ DOSKU KOSTQ[KU DOMINO TAK, ^TOBY ONA POKRYWALA DWE SOSEDNIE KLETKI I PUSTX xiyj { NIVNQQ LEWAQ IZ NIH. tOGDA WTORAQ KLETKA RAWNA xi+1yj, ESLI KOSTQ[KA LEVIT GORIZONTALXNO, I xiyj+1, ESLI KOSTQ[KA LEVIT WERTIKALXNO. |TO ZNA^IT, ^TO KOSTQ[KA POKRYWAET MNOVESTWO xiyj(1 + x) W PERWOM SLU^AE I MNOVESTWO xiyj(1 + y) WO WTOROM. tEM SAMYM, ESLI Z { KAKOE-TO PODMNOVESTWO [AHMATNOJ DOSKI, KOTOROE MOVNO POKRYTX KOSTQ[KAMI DOMINO, TO fZ LEVIT W IDEALE KOLXCA Z[x; y], POROVDENNOM 1 + x I 1 + y.

pOKAVEM, NAPRIMER, KAK OTS@DA POLU^AETSQ, ^TO MNOVESTWO Z, PREDSTAWLQ- @]EE SOBOJ [AHMATNU@ DOSKU S WYREZANNYMI LEWYM NIVNIM I PRAWYM WERHNIM UGLAMI, NELXZQ POKRYTX KOSTQ[KAMI DOMINO. w SAMOM DELE,

fZ = (1 + x + : : : + x7)(1 + y + : : : + y7) ¡ 1 ¡ x7y7:

oDNAKO O^EWIDNO, ^TO \TOT MNOGO^LEN NE LEVIT W IDEALE (1 + x)Z[x; y] + (1 + y)Z[x; y], POROVDENNOM 1 + x I 1 + y. w SAMOM DELE, DOPUSTIM fZ = (1 + x)f + (1+y)g DLQ NEKOTORYH MNOGO^LENOW f; g 2 Z[x; y]. w ^ASTNOSTI, OTS@DA SLEDUET, ^TO DLQ L@BOGO GOMOMORFIZMA Á : Z[x; y] ¡! R OBRAZ Á(fZ) DOLVEN LEVATX W IDEALE, POROVDENNOM Á(1 + x) I Á(1 + y). rASSMOTRIM, NAPRIMER, GOMOMORFIZM Á : Z[x; y] ¡! Z, f 7!f(¡1; ¡1), KOTORYJ KAVDOMU MNOGO^LENU f 2 Z[x; y] SOPOSTAWLQET EGO ZNA^ENIE W TO^KE (x; y) = (¡1; ¡1). tOGDA Á(fZ) = ¡2, W TO

WREMQ KAK Á(1+x) = Á(1+y) = 0. |TO ZNA^IT, ^TO fZ NE MOVET LEVATX W IDEALE, POROVDENNOM 1 + x I 1 + y I, TEM SAMYM, Z NEWOZMOVNO POKRYTX KOSTQ[KAMI DOMINO.

kONE^NO, \TO IGRU[E^NYJ PRIMER, I W DANNOM SLU^AE NEWOZMOVNOSTX TAKOGO POKRYTIQ BYLA UVE NAM IZWESTNA, NO ZAMETIM, ^TO TEPERX MY WLADEEM OB]IM METODOM RE[ENIQ WSEH PODOBNYH WOPROSOW, PRIGODNYM DLQ L@BOGO PODMNOVESTWA I KOSTQ[EK L@BOJ FORMY: NE TOLXKO DOMINO, NO I TRIMINO, TETRAMINO, PENTAMINO, I T.D. |TOT METOD SRAZU VE OBOB]AETSQ NA POKRYTIE n-MERNOJ [AHMATNOJ DOSKI (DLQ \TOGO DOSTATO^NO PEREJTI K KOLXCU Z[x1; : : : ; xn] MNOGO^LENOW OT n PEREMENNYH), [AHMATNOJ DOSKI NA TORE (RASSMOTRITE KOLXCO Z[x; y]=(xm ¡ 1; yn ¡ 1)) I T.D. kROME TOGO, MY NIGDE NE ISPOLXZOWALI, ^TO KO\FFICIENTY LINEJNOJ KOMBINACII QWLQ@TSQ CELYMI ^ISLAMI. w DEJSTWITELXNOSTI, MY DOKAZALI, ^TO [AHMATNU@ DOSKU S WYREZANNYMI UGLAMI NELXZQ RAWNOMERNO POKRYTX KOSTQ[KAMI DOMINO, IME@]IMI RAZLI^NU@ WE]ESTWENNU@ TOL]INU, DAVE ESLI DOPUSTITX, ^TO TOL]INA NEKOTORYH KOSTQ[EK MOVET BYTX OTRICATELXNOJ. s U^ETOM TEORII BAZISOW gREBNERA, KOTORU@ MY IZU^IM W gLAWE ?, \TOT METOD DAET ABSOL@TNO RABO^IJ ALGORITM DLQ RE[ENIQ WSEH REALXNO WOZNIKA@]IH ZADA^ UPAKOWKI, KOTORYJ POZWOLQET W KAVDOM KONKRETNOM SLU^AE LIBO POSTROITX TREBUEMU@ UPAKOWKU, LIBO DOKAZATX EE OTSUTSTWIE.

x 6. sRAWNENIQ PO MODUL@ IDEALA.

oBSUVDAQ KONSTRUKCI@ FAKTOR-OPERACII W gLAWE I MY UVE WSTRE^ALISX SO SRAWNENIQMI W KOLXCE CELYH ^ISEL. w \TOM PARAGRAFE MY IZLAGAEM OB]U@ TEORI@.

1. sRAWNENIQ PO MODUL@ IDEALA. pUSTX R { PROIZWOLXNOE ASSOCIATIWNOE KOLXCO S 1, NE OBQZATELXNO KOMMUTATIWNOE, I { DWUSTORONNIJ IDEAL W R.

oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO DWA \LEMENTA x; y 2 R SRAWNIMY PO MODUL@ IDEALA I I PI[UT x ´ y (mod I), ILI PROSTO x ´ y(I), ESLI x ¡ y 2 I.

oTNO[ENIE SRAWNIMOSTI PO MODUL@ I INOGDA OBOZNA^AETSQ TAKVE ´I. oSNOWNYE PRIMERY, KOTORYE BUDUT NAM WSTRE^ATXSQ, SWQZANY S KOMMUTATIWNYMI KOLXCAMI R, W PERWU@ O^EREDX, KAK OBY^NO, KOLXCOM Z I KOLXCOM K[x]. w OBOIH \TIH SLU^AQH KAVDYJ IDEAL I IMEET WID I = (z) DLQ NEKOTOROGO z 2 R I, PO- \TOMU, WMESTO SRAWNIMOSTI PO MODUL@ I GOWORQT OBY^NO PROSTO O SRAWNIMOSTI PO MODUL@ z I PI[UT x ´ y (mod z) { MY WSKORE WERNEMSQ R \TOJ TEME. wOT E]E ODIN PRIMER.

rASSMOTRIM KOLXCO R = RX WE]ESTWENNOZNA^NYH FUNKCIJ NA MNOVESTWE X I PUSTX I = IY { IDEAL FUNKCIJ, OBRA]A@]IHSQ W 0 NA PODMNOVESTWE Y µ X (SM. PUNKT 7 PREDYDU]EGO PARAGRAFA). tOGDA f ´ g (mod I), W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA DLQ L@BOGO y 2 Y IMEEM f(y) = g(y).

2.

pREDLOVENIE. fIKSIRUEM IDEAL I W R. oTNO[ENIE SRAWNIMOSTI PO MODUL@ I QWLQETSQ OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI NA R.

dOKAZATELXSTWO. wSE SWOJSTWA \KWIWALENTNOSTI LEGKO WYTEKA@T IZ OPREDELENIQ IDEALA.

1.rEFLEKSIWNOSTX: x ´ x(I) () x ¡ x = 0 2 I;

2.sIMMETRI^NOSTX: x ´ y(I) () x ¡ y 2 I () y ¡ x 2 I () yx(I);

3. tRANZITIWNOSTX: x ´ y(I) y y ´ z(I) () x ¡ y; y ¡ z 2 I =) x ¡ z = (x ¡ y) + (y ¡ z) 2 I () xz(I).

zDESX ISPOLXZOWALOSX LI[X TO, ^TO I QWLQETSQ ADDITIWNOJ PODGRUPPOJ, ODNAKO TO, ^TO I DEJSTWITELXNO IDEAL, BUDET W POLNOJ MERE ISPOLXZOWATXSQ PRI DOKAZATELXSTWE TOGO, ^TO OTNO[ENIE SRAWNIMOSTI PO MODUL@ I QWLQETSQ KONGRU\NCIEJ NA KOLXCE R. nAPOMNIM, PREVDE WSEGO, OPREDELENIE.

oPREDELENIE. oTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI NA KOLXCE R NAZYWAETSQ KONGRU\NCIEJ, ESLI ONO SOWMESTIMO S ALGEBRAI^ESKIMI OPERACIQMI, T.E., INY- MI SLOWAMI, DLQ L@BYH DWUH PAR \KWIWALENTNYH \LEMENTOW x » y, z » w SOOTWETSTWU@]IE SUMMY, RAZNOSTI I PROIZWEDENIQ TAKVE \KWIWALENTNY: x § z » y § w (ZNAKI W PRAWOJ I LEWOJ ^ASTI PROBEGA@TSQ ODNOWREMENNO) I xz » yw.

pREDLOVENIE. fIKSIRUEM IDEAL I W R. oTNO[ENIE SRAWNIMOSTI PO MODUL@ I QWLQETSQ KONGRU\NCIEJ NA R.

dOKAZATELXSTWO. sOWMESTIMOSTX SO SLOVENIEM SNOWA WYTEKAET PROSTO IZ TOGO, ^TO I { ADDITIWNAQ PODGRUPPA. w SAMOM DELE, PUSTX x ´ y (mod I), z ´ w (mod I). tOGDA (x + z) ¡ (y + w) = (x ¡ y) + (z ¡ w) 2 I TAK KAK OBA SLAGAEMYH PRINADLEVAT I, NO \TO I ZNA^IT, ^TO x + z ´ y + w (mod I) I x ¡ z ´ y ¡ w

(mod I).

dLQ DOKAZATELXSTWA VE SOWMESTIMOSTI S UMNOVENIEM POTREBUETSQ USLOWIE, ^TO I { DWUSTORONNIJ IDEAL@ w SAMOM DELE, W TEH VE OBOZNA^ENIQH, xz ¡ yw = xz ¡ xw + xw ¡ yw = x(z ¡ w) + (x ¡ y)w. pERWOE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI PRINADLEVIT I W SILU TOGO, ^TO z ¡ w 2 I I I QWLQETSQ LEWYM IDEALOM, A WTOROE SLAGAEMOE { W SILU TOGO, ^TO x ¡ y 2 I I I QWLQETSQ PRAWYM IDEALOM. tEM SAMYM, OKON^ATELXNO, xz ¡ yw 2 I I, ZNA^IT, xz ´ yw (mod I).

x 7. fAKTOR-KOLXCO PO MODUL@ IDEALA.

mY PRODOLVAEM S^ITATX, ^TO R { L@BOE ASSOCIATIWNOE KOLXCO S 1 I I - DWUSTORONNIJ IDEAL W R. kAK MY TOLXKO ^TO POKAZALI, OTNO[ENIE SRAWNIMOSTI PO MODUL@ I QWLQETSQ OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI NA R I, SLEDOWATELXNO, S NIM MOVNO SWQZATX FAKTOR-MNOVESTWO R=I, SOSTOQ]EE IZ KLASSOW \TOJ \KWIWALENTNOSTI. pO OPREDELENI@ x ´ y (mod I) W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA x ¡ y 2 I, TAK ^TO KLASS \KWIWALENTNOSTI \LEMENTA x 2 R SOSTOIT IZ WSEH y, IME@]IH WID y = x+z DLQ NEKOTOROGO z 2 I, I MY KOROTKO OBOZNA^IM EGO ^EREZ

x= x+I = fx+z j z 2 Ig. tAKIM OBRAZOM, R=I IMEET WID: R=I = fx+I j x 2 Rg. w DEJSTWITELXNOSTI, MY ZNAEM, ^TO SRAWNIMOSTX PO MODUL@ I NE PROSTO

\KWIWALENTNOSTX, A KONGRU\NCIQ. |TO ZNA^IT, ^TO SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ SPOcOB, ZADATX NA R=I SLOVENIE I UMNOVENIE TAK, ^TOBY KANONI^ESKAQ PROEKCIQ ¼ : R ¡! R=I, x 7!x + I QWLQLASX GOMOMORFIZMOM KOLEC, T.E. SOHRANQLA KAK ADDITIWNU@, TAK I MULXTIPLIKATIWNU@ STRUKTURU.

oPREDELIM NA R=I OPERACII, POLAGAQ x + y = x + y I x ¢ y = xy DLQ L@- BYH DWUH KLASSOW x; y 2 R=I. mY DOLVNY E[E, RAZUMEETSQ, POKAZATX, ^TO TAK OPREDELENNYE OPERACII OPREDELENY KORREKTNO, T.E. NE ZAWISQT OT WYBORA PREDSTAWITELEJ W DANNYH KLASSAH. nO IMENNO \TO I SODERVITSQ W UTWERVDENII, ^TO ´I { KONGRU\NCIQ.

w SAMOM DELE, PUSTX z = x I w = y. tOGDA z ´ x (mod I) I w ´ y (mod I) I, SLEDOWATELXNO, z + w ´ x + y (mod I) I zw ´ xy (mod I). tEM SAMYM, z + w =

x + y I zw = xy, TAK ^TO SUMMA I PROIZWEDENIE DWUH KLASSOW DEJSTWITELXNO OPREDELQ@TSQ RAWENSTWAMI x + y = x + y I x ¢ y = xy KORREKTNO I NE ZAWISQT OT WYBORA PREDSTAWITELEJ.

tEOREMA. fAKTOR-MNOVESTWO R=I S TAK OPREDELENNYMI OPERACIQMI PRED- STAWLQET SOBOJ KOLXCO I KANONI^ESKAQ PROEKCIQ ¼ : R ¡! R=I ZADAET S@- RXEKTIWNYJ GOMOMORFIZM KOLEC S QDROM I.

dOKAZATELXSTWO. pROWERIM, PREVDE WSEGO, WYPOLNENIE DLQ R=I AKSIOM KOLXCA. pO SLOVENI@ R=I OBRAZUET ABELEWU GRUPPU: DEJSTWITELXNO, WYPOLNENIE ASSOCIATIWNOSTI I KOMMUTATIWNOSTI W R=I GARANTIRUETSQ SOOTWETSTWU@[I- MI SWOJSTWAMI SLOVENIQ W R, W KA^ESTWE NEJTRALXNOGO \LEMENTA PO SLOVENI@ W R=I WYSTUPAET KLASS 0 = I, A W KA^ESTWE PROTIWOPOLOVNOGO K x { KLASS ¡x. tAKVE I ASSOCIATIWNOSTX UMNOVENIQ W R=I I DWUSTORONNQQ DISTRIBUTIWNOSTX UMNOVENIQ OTNOSITELXNO SLOVENIQ WYTEKA@T IZ SOOTWETSTWU@]IH SWOJSTW UMNOVENIQ W R, A W KA^ESTWE NEJTRALXNOGO \LEMENTA PO UMNOVENI@ W R=I WYSTUPAET KLASS 1. tEM SAMYM, R=I DEJSTWITELXNO PREDSTAWLQET SOBOJ ASSOCIATIWNOE KOLXCO S 1.

pO SAMOMU POSTROENI@ R=I KANONI^ESKAQ PROEKCIQ ¼ : R ¡! R=I QWLQETSQ GOMOMORFIZMOM KOLEC. w SAMOM DELE, ¼(x + y) = x + y = x + y = ¼(x) + ¼(y) I ¼(xy) = xy = x¢y = ¼(x)¼(y). kAK WYTEKAET IZ OPREDELENIQ FAKTOR-MNOVESTWA, \TOT GOMOMORFIZM S@RXEKTIWEN. nAKONEC, EGO QDRO SOSTOIT IZ TEH x 2 R, DLQ KOTORYH x + I = ¼(x) = 0 = I, T.E. IZ WSEH x 2 I. tEOREMA POLNOSTX@ DOKAZANA.

pRIMERY

Z=mZ

K[x]=(f), f { NEPRIWODIMYJ MNOGO^LEN, POLE RAZLOVENIQ MNOGO^LENA f

C = R[x]=(x2 + 1)

Q(p2) = Q[x]=(x2 ¡ 2).

K[x]=(xn) { KOLXCO USE^ENNYH MNOGO^LENOW

K[C ] » K[x]=(xn ¡ 1) { GRUPPOWAQ ALGEBRA CIKLI^ESKOJ GRUPPY

n =

K[C £ C ] » K[x; y]=(xm ¡ 1; yn ¡ 1)

m n =

K[³ ] » Z[x]=(© ) (TEOREMA kRONEKERA{dEDEKINDA)

n = n

AFFINNOE KOLXCO ALGEBRAI^ESKOGO MNOVESTWA

pREDLOVENIE. pUSTX R1 ©: : :©Rs I Ii E Ri DLQ WSEH i. tOGDA I1 ©: : :©Is E R I

R=I » R1=I1 © : : : © Rs=Is:

=

zADA^A. pUSTX K { POLE. pOKAVITE, ^TO W KOLXCE Kn (S POKOMPONENTNYMI OPERACIQMI) ROWNO 2n IDEALOW I ^TO KAVDOE FAKTOR-KOLXCO KOLXCA Kn IZOMORFNO Km DLQ NEKOTOROGO 0 · m · n.

zADA^A. iDEAL KOLXCA R, POROVDENNYJ ADDITIWNYMI KOMMUTATORAMI [x; y] = xy¡yx, x; y 2 R, { \TO NAIMENX[IJ IDEAL KOLXCA RB FAKTOR-KOLXCO PO KOTOROMU KOMMUTATIWNO.

sLEDU@]IE PRIMERY FAKTOR-KOLEC ESTESTWENNO WOZNIKA@T PRI IZU^ENII PLOSKIH ALGEBRAI^ESKIH KRIWYH (SM., NAPRIMER, hARTSHORN [Ha], ZADA^A 1.1 NA STR. 24).

zADA^A (AFFINNOE KOLXCO PARABOLY). pOKAVITE, ^TO K[x; y]=(x2 ¡ y) »

=

K[z].