Vavilov_N_Konkretnaya_teoria_kolets

A IH UMNOVENIE PRODOLVAET PO LINEJNOSTI UVE IZWESTNOE NAM IZ PRIMERA x ? UMNOVENIE KWATERNIONNYH EDINIC:

(a1 + b1i + c1j+d1k) ¢ (a2 + b2i + c2j + d2k) =

(a1a2 ¡ b1b2 ¡ c1c2 ¡ d1d2) + (a1b2 + b1a2 + c1d2 ¡ d1c2)i+

(a1c2 + c1a2 + d1b2 ¡ b1d2)j + (a1d2 + d1a2 + b1c2 ¡ c1b2)k:

sAMI \TI FORMULY BYLI IZWESTNY UVE |JLERU, NO TOLXKO gAMILXTON OSOZNAL, ^TO IH MOVNO RASSMATRIWATX KAK OPREDELENIE PROIZWEDENIQ W R4. wSE AKSIOMY KOLXCA, KROME ASSOCIATIWNOSTI UMNOVENIQ, O^EWIDNY. w ASSOCIATIWNOSTI UMNOVENIQ TOVE NESLOVNO UBEDITXSQ NEPOSREDSTWENNO, NO W gLAWE 4 MY PREDLOVIM GORAZDO BOLEE INTELLIGENTNYJ SPOSOB PROWERKI ASSOCIATIWNOSTI, OSNOWANNYJ NA REALIZACII KWATERNIONOW KAK 2 £ 2 KOMPLEKSNYH MATRIC (ILI, ^TO PO^TI TO VE SAMOE, KAK 4£4 WE]ESTWENNYH MATRIC). oDNAKO \TO UMNOVENIE NEKOMMUTATIWNO TAK KAK, NAPRIMER, ij = k, NO ji = ¡k. oSTAETSQ PROWERITX E]E, ^TO WSE NENULEWYE \LEMENTY \LEMENTY POLU^IW[EGOSQ KOLXCA OBRATIMY. w SAMOM DELE, PUSTX z = a + bi + cj + dk 6= 0. pO OPREDELENI@ \TO OZNA^AET, ^TO HOTQ BY ODIN IZ KO\FFICIENTOW a; b; c; d OTLI^EN OT 0 A TAK KAK WSE ONI QWLQ@TSQ WE]ESTWENNYMI, TO a2 + b2 + c2 + d2 6= 0. tEPERX LEGKO UBEDITXSQ W TOM, ^TO

2. oBOB]ENNYE ALGEBRY KWATERNIONOW. pUSTX K { POLE, A { ^ETYREH-

MERNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO NAD K S BAZISOM 1; i; j; k I UMNOVENIEM, OPREDELENNYM USLOWIQMI

i2 = a; j2 = b; ij = ¡ji = k:

pOLXZUQSX ASSOCIATIWNOSTX@ LEGKO WOSSTANOWITX OSTALXNU@ ^ASTX TABLICY UMNOVENIQ:

k2 = ¡ab; ik = ¡ki = aj; jk = ¡kj = ¡bi:

pOLU^IW[AQSQ ALGEBRA NAZYWAETSQ OBOB]ENNOJ ALGEBROJ KWATERNIONOW

µ ¶

NAD K I OBOZNA^AETSQ a; b . w ^ASTNOM SLU^AE K = R, a = b = ¡1, PO-

K µ ¶

LU^AETSQ ALGEBRA GAMILXTONOWYH KWATERNIONOW H = ¡1; ¡1 . wPRO^EM,

µ ¶ R

^ASTO a; b NAZYWAETSQ PROSTO ALGEBROJ KWATERNIONOW, W \TOM SLU^AE OB

K

H GOWORQT KAK O KLASSI^ESKIH KWATERNIONAH.

tEOREMA. pRI L@BYH a; b 2 K¤ ALGEBRA µa; b¶ QWLQETSQ PROSTOJ CENTRALX-

K

NOJ ALGEBROJ NAD K.

µ ¶

tEOREMA. aLGEBRA KWATERNIONOW a; b W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE QWLQ-

K

ETSQ TELOM, KOGDA URAWNENIE ax2 + by2 = z2 NE IMEET W K NETRIWIALXNYH RE[ENIJ.

x = y = z = 0 dOKAZATELXSTWO. SM. pIRS, c.29.

x 5. cIKLI^ESKIE ALGEBRY

kONSTRUKCIQ dIKSONA (1906 GOD). pUSTX L=K { CIKLI^ESKOE RAS[IRENIE gALUA, INYMI SLOWAMI, KONE^NOE NORMALXNOE SEPARABELXNOE RAS[IRENIE TAKOE, ^TO GRUPPA gALUA Gal(L=K) = h¾i CIKLI^ESKAQ. pRI \TOM o(¾) = n = dimK L. zAFIKSIRUEM a 2 K¤ I SIMWOL x. pOLOVIM

D = L ¢ 1 © L ¢ x © : : : © L ¢ xn¡1

I BUDEM UMNOVATX \LEMENTY D ISPOLXZUQ DISTRIBUTIWNOSTX I SLEDU@]IE PRAWILA xs = a, x ¢ b = b¾x. lEGKO WIDETX, ^TO K · C(D), TAK ^TO RAZMERNOSTX K-ALGEBRY D RAWNA n2. |TA ALGEBRA OBOZNA^AETSQ ^EREZ (L=K; ¾; a) I NAZYWAETSQ CIKLI^ESKOJ ALGEBROJ, ASSOCIIROWANNOJ S (L=K; ¾) I a 2 K¤.

tELO H gAMILXTONOWYH KWATERNIONOW QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM \TOJ KONSTRUKCII, POLU^A@]IMSQ PRI K = R, L = C, ¾ { KOMPLEKSNOE SOPRQVENIE, a = ¡1. iNYMI SLOWAMI, H = (C=Re; ; ¡1). w \TOM SLU^AE x = j, TAK ^TO

H = R © Ri © Rj © Rij = C © Cj

I j(a + bi) = (a ¡ bi)j = ¾(a + bi)j.

e]E ODIN SPOSOB POSTROITX (L=K; ¾; a) { ISPOLXZOWATX KOLXCO KOSYH MNOGO^LENOW R = L[t; ¾]. tOGDA (L=K; ¾; a) = L[t; ¾]=(tn ¡ a) zAMETIM, ^TO \TO FAKTOR-KOLXCO PO IDEALU, POROVDENNOMU CENTRALXNYM MNOGO^LENOM xn ¡ a. pOKA MY NE ZNAEM, TELO \TO ILI NET!

x 6. tELO gILXBERTA

cIKLI^ESKIE ALGEBRY KONE^NOMERNY NAD CENTROM. sEJ^AS MY POSTROIM PRIMER BESKONE^NOMERNOGO TELA.

gILXBERTOW TWIST. pUSTX R { KOMMUTATIWNOE KOLXCO, ¾ : R ¡! R, a 7!a¾, { \NDOMORFIZM R. tOGDA, KAK MY ZNAEM IZ ? MOVNO OPREDELITX SKRU^ENNYE KOLXCA MNOGO^LENOW I FORMALXNYH STEPENNYH RQDOW R[x; ¾], R[[x; ¾]], W KOTORYH PEREMENNAQ x KOMMUTIRUET S KO\FFICIENTAMI PO SLEDU@]EJ FORMULE xa = a¾x. eSLI PREDPOLAGATX DOPOLNITELXNO, ^TO ¾ QWLQETSQ NE PROSTO \NDOMORFIZMOM,

A AWTOMORFIZMOM KOLXCA R, TO x¡1b¾ = (b¾)¾¡1 x¡1 = bx¡1. tAKIM OBRAZOM, W \TOM SLU^AE MOVNO OPREDELITX SKRU^ENNYE KOLXCA MNOGO^LENOW lORANA I FORMALXNYH RQDOW lORANA R[x; x¡1; ¾], R((x; ¾)). w \TIH KOLXCAH UMNOVENIE ZADAETSQ FORMULOJ

³Xaixi´³Xbjxj´ = Xaib¾j i xi+j

oGRANI^IMSQ TEPERX SLU^AEM, KOGDA R = K { POLE.

tEOREMA. eSLI ¾ 2 Aut(K) { AWTOMORFIZM POLQ K, TO D = K((x; ¾)) { TELO. eSLI OBOZNA^ITX ^EREZ K0 = K¾ POLE NEPODWIVNYH \LEMENTOW K, TO

dOKAZATELXSTWO. wOZXMEM f 2 K((x; ¾)), f 6= 0. pODBEREM xi TAK, ^TOBY fxi = a0 + a1x + a2x2 + : : : , GDE a0 6= 0. blablabla

w ^ASTNOSTI, TELO D = K((x; ¾)) W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE KONE^NOMERNO NAD CENTROM, KOGDA o(¾) < 1. w ORIGINALXNOM PRIMERE gILXBERTA K = Q((t)), A ¾ \TO Q-AWTOMORFIZM POLQ Q((t)), OTOBRAVA@]IJ t I 2t, TAK ^TO xa(t) = a(2t)x. |TO BYL PERWYJ PRIMER TELA BESKONE^NOMERNOGO NAD CENTROM.

pO^EMU W \LEMENTARNYH U^EBNIKAH NET PRIMEROW TEL? eDINSTWENNYJ PRIMER TE-

LA, FIGURIRU@]IJ W \LEMENTARNYH TEKSTAH { \TO TELO gAMILXTONOWYH KWATERNIONOW H. w TO VE WREMQ IMEETSQ BOLX[OE KOLI^ESTWO KLASSI^ESKIH KONSTRUKCIJ TEL, PRINADLEVA]IH gILXBERTU, dIKSONU{wEDDERBARNU, nETER, kEBE, oRE, hANU{mALXCEWU{mAGNUSU, : : : , kONU, pLATONOWU{dRAKSLU, sKOFILDU I DRUGIM. pO^EMU VE \TI PRIMERY NE POPALI W U^EBNIKI ALGEBRY? dELO W TOM, ^TO W NEKOMMUTATIWNOM SLU^AE PONQTIE POLQ RAS]EPLQETSQ NA NESKOLXKO PONQTIJ:

²TELO,

²PROSTOE ARTINOWO KOLXCO,

²PROSTOE KOLXCO.

w KOMMUTATIWNOM SLU^AE WSE \TI PONQTIQ SOWPADA@T. wSPOMNIM DELENIE ALGEBRY NA Highschool algebra (MNOGO^LENY, DROBI, MATRICY), College algebra (GRUPPY, KOLXCA, MODULI), University algebra (KATEGORII, PU^KI, KOGOMOLOGII). pRI POMO]I College algebra DOWOLXNO LEGKO POSTROITX BOLX[OE ^ISLO PRIMEROW PROSTYH ARTINOWYH KOLEC. oDNAKO WOPROS O TOM, BUDUT LI \TI KOLXCA TELAMI, KAK PRAWILO, NE DOPUSKAET PROSTOGO RE[ENIQ W TERMINAH College algebra. |TO ARIFMETI^ESKIJ WOPROS, TREBU@]IJ DLQ SWOEGO RE[ENIQ LIBO METODOW University algebra, LIBO DOWOLXNO ISKUSSTWENNOGO I GROMOZDKOGO PEREWODA RASSUVDENIJ OTNOSQ]IHSQ K

University algebra NA QZYK College algebram, ^TO OBY^NO PRIWODIT K ^UDOWI]NYM TEKSTAM.

~TO KASAETSQ PROSTYH (NEARTINOWYH) KOLEC, TO `IH SLOVNOSTX NE PODDAETSQ ANALIZU' (`is beyond analysis' { A TAKVE, KONE^NO, `beyond algebra').

tEMA 3: specialxnye |lementy kolec

x 1. mULXTIPLIKATIWNAQ GRUPPA

1. oBRATIMYE \LEMENTY KOLXCA. pUSTX R KOLXCO S 1. rASSMOTRIM EGO MULXTIPLIKATIWNYJ MONOID R£, T.E. ALGEBRAI^ESKU@ SISTEMU R W KOTOROJ MY ZABYLI (alias STERLI ILI PROIGNORIROWALI) WSE \LEMENTY STRUKTURY, KROME UMNOVENIQ I 1. zAMETIM, WPRO^EM, ^TO DLQ KOLEC BEZ DELITELEJ 0 MULXTIPLIKATIWNYM MONOIDOM OBY^NO NAZYWAETSQ MNOVESTWO R² = R n f0g.

gOWORQ OB OBRATIMYH \LEMENTAH KOLXCA R IME@T W WIDU OBRATIMYE \LEMENTY EGO MULXTIPLIKATIWNOGO MONOIDA.

oPREDELENIE. gOWORQT, ^TO \LEMENT x 2 R OBRATIM SLEWA, ESLI SU]E- STWUET TAKOE y 2 R, ^TO yx = 1. w \TOM SLU^AE y NAZYWAETSQ LEWYM OBRATNYM DLQ x. gOWORQT, ^TO \LEMENT x 2 R OBRATIM SPRAWA, ESLI SU- ]ESTWUET TAKOE z 2 R, ^TO xz = 1. w \TOM SLU^AE z NAZYWAETSQ LEWYM OBRATNYM DLQ x. |LEMENT x 2 R NAZYWAETSQ OBRATIMYM, ESLI ON OBRATIM KAK SLEWA, TAK I SPRAWA, T.E. ESLI NAJDETSQ TAKOJ y 2 X, ^TO yx = 1 = xy. w \TOM SLU^AE y NAZYWAETSQ OBRATNYM K x I OBOZNA^AETSQ x¡1.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI x; y; x + y 2 R¤, TO x(x + y)¡1y = y(x + y)¡1x.

oBRATIMYE SLEWA ILI SPRAWA \LEMENTY NAZYWA@TSQ ODNOSTORONNE OBRATIMYMI. kAK MY ZNAEM, W ASSOCIATIWNOM KOLXCE KAVDYJ DWUSTORONNE OBRATIMYJ \LEMENT x, T.E. \LEMENT, U KOTOROGO SU]ESTWUET KAK LEWYJ OBRATNYJ y, TAK I PRAWYJ OBRATNYJ z, OBRATIM: z = (yx)z = y(xz) = y. tEM NE MENEE WSKORE MY PRIWEDEM PRIMERY TAKIH \LEMENTOW x, U KOTORYH SU]ESTWUET LEWYJ OBRATNYJ, NO NE PRAWYJ OBRATNYJ ILI, NAOBOROT, PRAWYJ OBRATNYJ, NO NE LEWYJ OBRATNYJ. sLEDU@]IE DWE ZADA^I POKAZYWA@T, ^TO DWUSTORONNIE OBRATNYE \TO W TO^NOSTI EDINSTWENNYE ODNOSTORONNIE OBRATNYE.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI U \LEMENTA x ESTX DWA RAZLI^NYH PRAWYH OBRATNYH, TO ON IMEET BESKONE^NO MNOGO PRAWYH OBRATNYH.

rE[ENIE. oBOZNA^IM ^EREZ X MNOVESTWO WSEH PRAWYH OBRATNYH K \LEMENTU x, ZAFIKSIRUEM KAKOJ-TO \LEMENT y 2 X I RASSMOTRIM OTOBRAVENIE Á : X ¡! X, z 7!y + zx ¡ 1. tAK KAK U x NET LEWYH OBRATNYH, TO y 2= Á(X). s DRUGOJ STORONY, TAK KAK Á(u) = Á(v) WLE^ET ux = vx WLE^ET u = v, TO OTOBRAVENIE Á IN_EKTIWNO. tEM SAMYM, MY POSTROILI IN_EKTIWNOE, NO NE S@R_EKTIWNOE OTOBRAVENIE MNOVESTWA X W SEBQ. |TO WOZMOVNO TOLXKO ESLI MNOVESTWO X BESKONE^NO.

w DEJSTWITELXNOSTI, ISPOLXZOWANNOE W \TOJ ZADA^E RASSUVDENIE MOVNO PRO- ^ESTX I W OBRATNU@ STORONU.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI U \LEMENTA x SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ PRAWYJ OBRATNYJ, TO x OBRATIM.

rE[ENIE. w SAMOM DELE, PUSTX xy = 1. eSLI yx 6= 1, TO y + yx ¡1 6= y { WTOROJ PRAWYJ OBRATNYJ DLQ x.

2.pRIMERY MULXTIPLIKATIWNYH GRUPP.

²eSLI R = T { TELO, TO T ¤ = T ².

²Z¤ = f§1g.

²eSLI R { OBLASTX CELOSTNOSTI (NAPRIMER, POLE), TO R[x]¤ = R¤.

lEMMA. mNOVESTWO LEWYH/PRAWYH REGULQRNYH \LEMENTOW ZAMKNUTO OTNO- SITELXNO UMNOVENIQ

dOKAZATELXSTWO. nAM NUVNO POKAZATX, ^TO ESLI x; y REGULQRNY SLEWA, TO xy TOVE REGULQREN SLEWA. w SAMOM DELE, PUSTX z =6 0. tOGDA z(xy) = (zx)y. tAK KAK x REGULQREN SLEWA, TO zx =6 0, A TAK KAK y REGULQREN SLEWA, TO (zx)y =6 0. nO \TO I ZNA^IT, ^TO z(xy) =6 0 DLQ L@BOGO z =6 0. dOKAZATELXSTWO DLQ REGULQRNYH SPRAWA \LEMENTOW ANALOGI^NO.

tAK KAK, KROME TOGO, 1 QWLQETSQ, A 0 NE QWLQETSQ REGULQRNYM \LEMENTOM, \TA LEMMA OZNA^AET, ^TO MNOVESTWO REGULQRNYH \LEMENTOW KOMMUTATIWNOGO KOLXCA OBRAZUET MULXTIPLIKATIWNU@ SISTEMU.

zADA^A (PRINCIP dIRIHLE). dOKAVITE, ^TO W KONE^NOM KOLXCE KAVDYJ REGULQRNYJ \LEMENT OBRATIM.

uKAZANIE. iNYMI SLOWAMI, KAVDYJ NEOBRATIMYJ \LEMENT QWLQETSQ DELITELEM 0.

zADA^A. pUSTX x; y 2 R, PRI^EM x REGULQREN. pOKAVITE, ^TO ESLI xm = ym I xn = yn, TO xd = yd DLQ d = gcd(m; n).

zADA^A. pUSTX R KOMMUTATIWNOE KOLXCO. tOGDA MATRICA x 2 M(n; R) TOGDA I TOLXKO TOGDA QWLQETSQ LEWYM DELITELEM NULQ W M(n; R), KOGDA ONA QWLQETSQ PRAWYM DELITELEM 0 W M(n; R), KOGDA det(x) QWLQETSQ DELITELEM 0 W R.

2. kOLXCA BEZ DELITELEJ 0.

oPREDELENIE. aSSOCIATIWNOE KOLXCO R NAZYWAETSQ KOLXCOM BEZ DELITELEJ 0, alias CELOSTNYM KOLXCOM, ESLI W NEM NET NENULEWYH DELITELEJ 0. nENULEWOE KOLXCO BEZ DELITELEJ 0 NAZYWAETSQ OBLASTX@. nENULEWOE KOMMU- TATIWNOE CELOSTNOE KOLXCO NAZYWAETSQ OBLASTX@ CELOSTNOSTI.

nullteilerfrei, Bereich, IntegritÄatsbereich, integral, domain, integral domain w KOLXCE BEZ DELITELEJ 0 Reg(R) = R².

pRIMERY!!!

tEOREMA tIT^MAR[A. sEJ^AS MY PRIWEDEM NETRIWIALXNYJ PRIMER KOLXCA BEZ DELITELEJ 0, WOZNIKA@]IJ W ANALIZE. oBOZNA^IM ^EREZ R MNOVESTWO NEPRERYWNYH FUNKCIJ NA [0; 1) SO ZNA^ENIQMI W R. |TO MNOVESTWO OBRAZUET ABELEWU GRUPPU OTNOSITELXNO OBY^NOGO (POTO^E^ENOGO) SLOVENIQ FUNKCIJ. kAK MY ZNAEM, ONO QWLQETSQ KOLXCOM OTNOSITELXNO UMNOVENIQ FUNKCIJ.

zADA^A. pRIWEDITE PRIMERY NETRIWIALXNYH DELITELEJ 0 W KOLXCE NEPRERYWNYH FUNKCIJ.

w DEJSTWITELXNOSTI, OBY^NO W KA^ESTWE UMNOVENIQ W R RASSMATRIWAETSQ NE OBY^NOE UMNOVENIE FUNKCIJ, A SWERTKA f ¤ g, OPREDELQEMAQ W \TOM SLU^AE KAK

Z t

0

sLEDU@]IJ ISKL@^ITELXNO WAVNYJ REZULXTAT BYL POLU^EN tIT^MAR[EM W

1924 GODU.

tEOREMA tIT^MAR[A. kOLXCO R NEPRERYWNYH FUNKCIJ NA [0; 1) OTNOSI- TELXNO SWERTKI QWLQETSQ OBLASTX@ CELOSTNOSTI.

3) tAK KAK y ¡ x = y(1 ¡ y¡1x), TO DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO 1 ¡ y¡1x 2 R¤. pO PUNKTU 1) \LEMENT z = y¡1x NILXPOTENTEN, SKAVEM, zn = 0. pO\TOMU

(1 ¡ z)(1 + z + : : : + zn¡1) = 1 ¡ zn = 1.

oPREDELENIE. |LEMENT u 2 R TAKOJ, ^TO u ¡1 NILXPOTENTEN, NAZYWAETSQ

UNIPOTENTOM.

oBOZNA^IM MNOVESTWO UNIPOTENTNYH \LEMENTOW KOLXCA R ^EREZ U(R). pO OPREDELENI@ U(R) = 1 + N(R). pO LEMME L@BOJ UNIPOTENTNYJ \LEMENT OBRATIM, T.E. U(R) µ R¤. wOOB]E GOWORQ, PROIZWEDENIE DWUH UNIPOTENTOW UVE SOWSEM NE OBQZATELXNO QWLQETSQ UNIPOTENTOM. nAPRIMER, ESLI

TO IH PROIZWEDENIE uv NE BUDET UNIPOTENTOM (SM. PRIMER W x ?, SWQZANNYJ S ^ISLAMI fIBONA^^I).

pREDLOVENIE. 1) eSLI u 2 U(R), TO u¡1 2 U(R).

2) eSLI u; v 2 U(R) { KOMMUTIRU@]IE UNIPOTENTY, TO uv 2 U(R).

dOKAZATELXSTWO. 1) pUSTX u = e ¡ x, xm = 0. tOGDA u¡1 = e + x + : : : + xm¡1,

PRI^EM (x + : : : + xm¡1)m = 0.

2) pUSTX u = e ¡ x, v = e ¡ y, GDE xm = yn = 0. tOGDA uv = e ¡ x ¡ y + xy,

PRI^EM TAK KAK x I y KOMMUTIRU@T, TO (x + y ¡ xy)m+n = 0. sLEDSTWIE. eSLI KOLXCO R KOMMUTATIWNO, TO U(R) · R¤.

x 5. aNALIZ PO fERMA: DUALXNYE ^ISLA

nEMNOGO NAJDETSQ STROK W ISTORII ^ELOWE^ESKOJ MYSLI, STOLX ZNAMENITYH KAK KOROTKOE SO^INENIE, POSLANNOE fERMA dEKARTU NA SLEDU@]IJ DENX POSLE OPUBLIKOWANIQ \gEOMETRII" { \mETOD OTYSKANIQ NAIBOLX- [IH I NAIMENX[IH ZNA^ENIJ ".

L.Brunschwieg, \|TAPY MATEMATI^ESKOJ FILOSOFII"

But so great is the average person fear of the in¯nite that to this day calculus is being taught as a study of limit processes, instead of what it really is: in¯nitesimal analysis.

Rudy Rucker, \In¯nity and the Mind"

sLEDU@]AQ ZAME^ATELXNAQ KONSTRUKCIQ BYLA PREDLOVENA pXEROM DE fERMA W 1638 GODU11 I PEREOTKRYTA kLIFFORDOM I {TUDI W XIX WEKE. tEKST fERMA NE DAET NIKAKIH WOZMOVNOSTEJ DLQ ISTOLKOWANIQ EGO W INFINITEZIMALXNOM SMYSLE, W DUHE lEJBNICA, ILI W SMYSLE TEORII PREDELOW. nAPROTIW, \TO ^ISTO ALGEBRAI^ESKIJ TEKST, PRITOM ABSOL@TNO STROGIJ12.

11r.dEKART, gEOMETRIQ, S PRILOVENIEM IZBRANNYH RABOT p.fERMA I PEREPISKI dEKARTA, m.{l., 1938, S.154{155

12~ASTO WYSKAZYWAETSQ TO^KA ZRENIQ, ^TO fERMA NE MOVET S^ITATXSQ OSNOWATELEM ANALIZA POTOMU, ^TO U NEGO NET `BESKONE^NYH PROCESSOW'. pRI \TOM PROISHODIT PODMENA PONQTIJ: W SAMOM INFINITEZIMALXNOM IS^ISLENII NET NIKAKIH `PREDELXNYH PEREHODOW', PREDELY { \TO LI[X ODIN IZ SPOSOBOW OBOSNOWANIQ INFINITEZIMALXNOGO IS^ISLENIQ, PRITOM DALEKO NE SAMYJ KRASIWYJ ILI UDOBNYJ.

1.kOLXCO DUALXNYH ^ISEL. pUSTX K { PROIZWOLXNOE POLE, NAPRIMER, K = Q; R; C, A d { NE PRINADLEVA]IJ K \LEMENT TAKOJ, ^TO d2 = 0. rASSMOTRIM MNOVESTWO K[d], \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ FORMALXNYE LINEJNYE KOMBINACII 1 I d S KO\FFICIENTAMI IZ K (MY PI[EM PROSTO x + dy WMESTO x1 + yd, PRI^EM x + dy = u + dv W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA x = u I y = v), SLOVENIE POKOMPONENTNOE, A UMNOVENIE PRODOLVAET UMNOVENIE 1 I d PO LINEJNOSTI,

INYMI SLOWAMI, DLQ x; y; u; v 2 K IMEEM (x + dy)(u + dv) = xy + d(xv + yu). pOSTROENNOE TAK KOLXCO NAZYWAETSQ KOLXCOM DUALXNYH ^ISEL NAD K.

2.nILXPOTENTY. w ^ASTNOSTI, W K[d] IMEEM (dy)2 = 0 DLQ L@BOGO y 2 K.

|LEMENTY dy 2 K[d] QWLQ@TSQ AKTUALXNO BESKONE^NO MALYMI PERWOGO PO-

RQDKA, RASSMATRIWAEMYMI S TO^NOSTX@ DO BESKONE^NO MALYH WTOROGO PORQDKA (PONQTIQ, OTNOSQ]IESQ K AKTUALXNO BESKONE^NO MALYM, NAZYWA@TSQ OBY^NO INFINITEZIMALXNYMI { `in¯nitesimal'). |TO ZNA^IT, ^TO KOLXCO K[d] UVE DOSTATO^NO DLQ OPREDELENIQ PERWYH PROIZWODNYH, PRI^EM W NEM PROIZWODNAQ NAHODITSQ NEPOSREDSTWENNO KAK OTNO[ENIE BESKONE^NO MALYH, A NE KAK PREDEL OTNO[ENIJ KONE^NYH WELI^IN.

pORQDOK NA DUALXNYH ^ISLAH NAD R

3.pROIZWODNYE. fUNKCIQ f : K 7!K NAZYWAETSQ DIFFERENCIRUEMOJ,

ESLI EE MOVNO PRODOLVITX NA K[d] TAK, ^TOBY OTNO[ENIE

f0(x) = f(x + dy) ¡ f(x); dy

NAZYWAEMOE PROIZWODNOJ f, NE ZAWISELO OT WYBORA y 2 K. dLQ \TOGO NEOBHODIMO (NO, WOOB]E GOWORQ, NE DOSTATO^NO), ^TOBY f(x + dy) ¡ f(x) BYLO BESKONE^NO MALOJ. rAZUMEETSQ, DLQ DIFFERENCIRUEMOJ FUNKCII MY MOVEM OPREDELITX PROIZWODNU@ TAK, KAK \TO DELAETSQ W ANALIZE, ZAMENIW dy NA dx:

f0(x) = f(x + dx) ¡ f(x); dx

ZAME^ATELXNO, ^TO NAM NE PRIHODITSQ PRI \TOM PISATX ZNAKA PREDELA!

4. pROIZWODNYE MNOGO^LENOW. wY^ISLIM, NAPRIMER, PERWU@ PROIZWODNU@ FUNKCII x 7!xn W K. dLQ \TOGO PRIDADIM x BESKONE^NO MALOE PRIRA]ENIE dy (TRADICIONNYJ ANALIST NAPISAL BY W \TOM MESTE dx) I WY^ISLIM OTWE^A@]EE EMU PRIRA]ENIE FUNKCII x 7!xn. wY^ISLQQ (x + dy)n PO BINOMU nX@TONA, I POLXZUQSX TEM, ^TO BESKONE^NO MALYE WTOROGO I BOLEE WYSOKIH PORQDKOW RAWNY NUL@, POLU^AEM (x+dy)n¡xn = nxn¡1dy, TAK ^TO PROIZWODNAQ FUNKCII x 7!xn

RAWNA

(x + dy)n ¡ xn = nxn¡1dy = nxn¡1: dy dy

5. pROIZWODNYE \KSPONENTY I LOGARIFMA. pRODIFFERENCIRUEM TEPERX \KSPONENTU I LOGARIFM. |KSPONENTA DOLVNA OSTAWATXSQ GOMOMORFIZMOM ADDITIWNOJ STRUKTURY W MULXTIPLIKATIWNU@. s DRUGOJ STORONY, W BESKONE^NO MALOJ OKRESTNOSTI 0 O^ENX PROSTO POSTROITX GOMOMORFIZM, PEREWODQ]IJ SLOVENIE W UMNOVENIE: exp : dx 7!1 + dx. tAKIM OBRAZOM, \KSPONENTU ESTESTWENNO

OPREDELITX FORMULOJ

ex+dy = exedy = ex(1 + dy):