_линейная алгебра
.pdf10)V пространство векторов плоскости, a поворот вокруг начала координат на угол ϕ
решить следующие задачи:
а) доказать, что a End(V );
б) выбрав какой-нибудь базис f пространства V , найти матри-
цу [a]f ;
в) найти базисы ядра и образа оператора a;
г) найти матрицу сужения оператора a на Im(a) в каком-нибудь
базисе;
д) найти все a-инвариантные подпространства;
е) найти базисы примарных компонент пространства V ;
ж) найти матрицы сужений оператора на эти компоненты в найденных базисах;
з) найти все собственные числа и собственные векторы оператора a;
и) выяснить, диагонализуем ли оператор a.
6.48. Пусть V вещественное пространство, a End(V ), f базис V . Найти базисы примарных компонент пространства и матрицы сужений оператора a на эти примарные компоненты в
найденных базисах, если матрица [a]f равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) |
0 |
2 |
3 2 |
; |
|
|
2) |
1 |
|
−0 1 2 ; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
2 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
2 |
|
−3 |
|
|
|
0 0 1 |
|
−1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) |
1 |
3 |
1 2 ; |
|
|
4) |
1 1 0 0 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
0 |
2 |
|
−4 |
|
|
|
1 1 4 |
|
−2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 0 0 |
1 1 0 |
− |
1 0 1 2 0 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
; 6) |
|
0 |
1 |
|
3 |
|
2 |
|
1 |
|
|
||||||
5) |
2 0 |
|
1 |
−1 0 |
−1 |
|
0 |
0 1 0 1 |
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
−0 |
− |
|
|
|
0 |
0 |
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|||||||
|
−0 0 |
0 1 |
1 |
|
0 |
0 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 0 0 |
0 1 |
−0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 ; |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
||||||
7) |
1 |
−1 2 |
|
|
8) |
1 |
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
−4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
−3 |
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
0 0 |
|
|
2 0 |
|
|
|
2 |
1 |
|
−1 |
|
−1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31
6.49. Пусть a End(V ), f базис V . Найти жорданов базис
и жорданову матрицу оператора a, если матрица [a]f равна: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1) |
0 |
2 |
1 |
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
0 3 1 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
3 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
3 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
5 |
2 |
|
|
1 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0 |
1 |
3 |
−1 |
|
|
|
|
|
−0 −2 −4 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
3) |
0 |
0 |
0 |
1 3 ; |
|
|
|
4) |
0 |
|
0 |
−0 0 |
|
|
−2 ; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
0 1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
−4 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
−3 2 −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
−3 |
|
|
|
−0 −1 |
1 |
|
1 |
−1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
3 |
1 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
||||||
|
0 0 0 3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
5) |
0 0 0 0 |
|
|
|
|
|
; |
|
6) |
0 |
|
|
|
|
−3 |
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|||
|
0 |
−2 1 −3 2 |
|
|
|
−0 −5 |
2 |
|
−1 2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
3 |
|
1 |
|
|
2 |
; |
|||||||
7) |
0 0 0 2 1 ; |
|
|
8) |
0 |
|
0 |
−0 |
|
|
3 2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 0 0 0 2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
7 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
2 |
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
5 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|||||
|
0 |
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
−0 −1 |
1 |
|
−2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
2 |
3 |
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
2 |
|
1 |
; |
||||||
9) |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
4 ; |
|
|
|
10) |
0 |
|
0 |
−0 |
|
|
1 |
|
−1 |
||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
−4 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
||||||
|
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
−0 −3 |
2 |
|
−1 −2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
2 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
; |
|||||||
11) |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
1 ; |
|
|
12) |
0 |
|
0 |
−0 |
|
|
3 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
−4 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
3 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
||||
|
−0 −2 |
3 |
|
|
1 |
|
−1 |
|
0 3 −3 |
|
−2 −1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
3 |
; |
|
|
||||||||
13) |
0 |
0 |
−0 |
|
|
|
|
2 |
−3 |
; |
14) |
0 |
0 |
0 |
|
−1 |
|
|
4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
2 |
|
0 0 0 |
|
|
1 5 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
|
0 1 |
−2 −3 1 |
|
|
|
|
0 |
5 |
1 |
3 2 |
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
2 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
15) |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
2 ; |
|
|
16) |
0 |
0 |
0 |
|
8 |
|
1 ; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
9 |
|
|
|
|
||
|
0 0 0 |
|
0 1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
5 |
|
9 |
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
− |
|
|
|
|
|
||
|
0 3 |
−2 −1 3 |
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
1 2 |
||||||||||||||||
|
|
3 |
2 |
1 |
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|||
17) |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
|
|
2 ; |
|
|
18) |
0 |
0 |
0 |
|
|
7 |
|
3 ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 |
|
0 3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
3 1 |
|||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
3 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
4 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
||
|
−0 −5 |
3 |
−4 2 |
|
0 |
3 |
4 |
−1 |
|
6 |
|
||||||||||||||||
|
|
5 |
|
1 |
3 |
|
3 |
|
1 |
; |
|
|
3 |
2 |
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
19) |
0 |
|
0 |
−0 |
|
|
|
5 |
|
3 |
20) |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
|
4 ; |
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
5 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
5 |
0 |
|
4 |
|
|
|
0 |
0 |
3 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||
|
−0 −1 3 |
|
2 |
|
4 |
|
0 |
4 |
3 |
|
|
2 |
1 |
||||||||||||||
|
|
1 |
|
−2 5 |
|
1 |
|
4 |
; |
|
|
4 |
1 |
−2 |
|
1 |
1 |
|
; |
||||||||
21) |
0 |
|
0 |
−0 |
|
|
|
1 |
|
−3 |
22) |
0 |
0 |
0 |
|
|
4 |
|
−3 |
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 0 |
4 |
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
0 |
4 |
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
−04 |
|
−24 1 −12 3 |
|
0 |
8 1 |
|
|
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
; |
|
|
1 |
1 |
3 |
|
1 |
|
|
5 |
; |
||||
23) |
0 |
|
0 |
−0 |
|
|
|
4 |
|
1 |
24) |
0 |
0 |
0 |
|
|
5 |
|
−6 |
||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
4 |
|
0 0 0 |
|
|
6 7 |
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
4 |
0 |
|
2 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
−12 3 |
|
−6 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||||
|
−02 |
|
|
|
2 |
|
0 |
3 |
2 |
1 −1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
3 |
1 |
5 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
||
25) |
0 |
|
0 |
−0 |
|
|
|
2 |
|
|
2 ; |
26) |
0 |
0 |
0 |
|
7 |
|
−2 ; |
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
8 |
|
− |
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
1 |
|
||||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
2 |
0 |
|
4 |
|
|
|
0 |
0 |
3 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
−1 |
|
|
− |
|
||||||||||
|
0 1 5 −2 |
|
|
|
|
0 |
3 |
|
2 |
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
3 |
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
0 |
|
5 |
|
|
|
|
27) |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
5 ; |
|
|
|
28) |
0 |
0 |
0 |
|
|
3 |
|
2 ; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
0 0 0 0 1 |
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
3 |
|
|
0 |
|
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
|
−0 |
−1 |
7 |
−3 |
1 |
|
|
0 2 1 3 |
−3 |
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
2 |
4 |
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
|
|
|
0 |
0 |
−0 |
7 |
12 |
|
|
0 0 0 |
2 |
−1 |
|
||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
−3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
29) |
|
|
; |
30) |
0 0 0 |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.50. Пусть ma максимальное число линейно независимых собственных векторов оператора a в конечномерном комплексном пространстве, χa характеристический многочлен оператора a. Найти жорданову матрицу оператора a, если:
1)χa = t4(t − 1)3(t − 2)2, µa = t3(t − 1)2(t − 2);
2)χa = t6(t − 1)2, µa = t2(t − 1), dim(Ker(a)) = 3;
3)χa = t6(t − 1)2, µa = t2(t − 1), dim(Im(a)) = 4;
4)χa = t6(t − 1)4, µa = t3(t − 1)3, ma = 4;
5)χa = t4(t − 1)3, ma = 4, dim(Im(a)) = 4;
6)a = j2, где жорданова матрица оператора j состоит из одной
жордановой клетки (одноклеточный оператор);
7)a = j1j2, где j1, j2 коммутирующие одноклеточные операторы и j1 нильпотентен;
8)a = j12 + j2, где j1, j2 коммутирующие одноклеточные операторы и j1 нильпотентен;
9)a = g(j), где j одноклеточный оператор, g C[t];
10)χa = t9, µa = t3, dim(Im(a2)) = 2;
11)χa = t7(t − 1)3, µa = t3(t − 1)2, dim(Im(a)) = 7, dim(Im(a2)) = 5;
12)χa = t5(t − 1)2, µa = t2(t − 1), ma2 = ma + 2;
13)χa = t2(t − 1)3, ma = 3, ma2 = 4;
14)χa = t4(t − 1)3, ma = 4, dim(Im(a)) = 5, dim(Im(a2)) = 4;
15)a2 = 0;
16)a2 = id;
17)a2 = a;
18)a2 − 3a + 2 id = 0;
19)χa = (t − 1)n, ma = k, dim(Ker (a − id)2) = k + 1, n, k N;
20)(a − id)k = ak , k N;
21)χa = tn, dim(Ker(a)) = k, dim(Im(a2)) = n − k − 1, n, k N;
22)χa = tn, dim(Ker(a) ∩ Im(a)) = 1, n N;
23)Im(a) = Ker(a).
34
6.51. Пусть a оператор в конечномерном комплексном пространстве и rk(a) = 1. Найти:
а) собственные числа оператора a; б) жорданову матрицу оператора a.
6.52. Пусть char(K) 6= ,2V = M (2, 1, K), a End(V ), x V
2 |
1 |
|
a(x) = µ0 |
1¶ x. Зададим на V |
структуру K[t]-модуля с умноже- |
нием f · v = f (a)(v), v V . Верно ли, что:
1)V неразложимый K[t]-модуль?
2)V циклический K[t]-модуль?
7.Евклидовы и унитарные пространства
Вэтом разделе все операторы действуют в конечномерных пространствах.
7.1. Пусть u, v пара векторов евклидова пространства таких, что |u| = 2, |v| = 3 и угол между ними равен π/3; x, y hu, vi.
Найти:
а) угол между векторами x, y;
б) ортогональную проекцию x на y;
в) площадь треугольника, построенного на векторах x, y;
г) центр и радиус окружности, описанной около этого треугольника;
д) центр и радиус окружности, вписанной в этот треугольник,
если: |
|
|
|
1) |
x = 3u + 2v, y = u − 5v, |
2) |
x = u + v, y = 2u − v, |
3) |
x = 7u − v, y = u + 3v, |
4) |
x = 2u + 5v, y = 7u − 3v, |
5) |
x = u + 2v, y = 3u − 4v, |
6) |
x = 4u + v, y = 2u + 7v, |
7) |
x = u + 3v, y = −2u + v, |
8) |
x = −2u + v, y = u − 3v, |
9) |
x = 5u − v, y = −u − 3v, |
10) |
x = −5u + 7v, y = u − v, |
11) |
x = 2u + v, y = −u + 5v, |
12) |
x = −3u + 4v, y = u + 2v, |
13) |
x = 6u + v, y = u − 3v, |
14) |
x = u + 2v, y = −3u + 7v, |
15) |
x = 7u + v, y = u − 6v, |
16) |
x = u − 4v, y = −5u + 6v, |
35
17) x = 2u − 7v, y = u + 9v, 19) x = 9u + v, y = 3u − v, 21) x = 7u + 4v, y = 6u − 5v, 23) x = 2u − 9v, y = −4u + 5v, 25) x = 7u − 4v, y = 5u + 8v, 27) x = u − 7v, y = 3u + 4v,
29)x = 5u − 4v, y = −3u + 5v,
31)x = 3u + 7v, y = −u + 6v,
18) x = 2u − 7v, y = u − 4v, 20) x = u − 9v, y = 7u + 5v, 22) x = 8u − 5v, y = 7u + 4v, 24) x = 8u + 3v, y = 7u − v, 26) x = u + 6v, y = −3u + 7v, 28) x = 2u + 7v, y = −8u − 5v, 30) x = 2u − 9v, y = 7u + 8v, 32) x = 2u + 7v, y = u − 3v.
7.2. Найти расстояние и угол между вектором x и подпространством U = hu, vi пространства R4, если:
1)x = (6, −1, 4, 1), u = (2, 4, 1, 1), v = (1, 1, 0, 0);
2)x = (2, 1, 0, 2), u = (2, 3, 2, 7), v = (0, 1, 0, 1);
3)x = (17, 22, −9, 8), u = (1, 1, 1, 3), v = (1, −1, 1, 1);
4)x = (1, −1, −1, 1), u = (1, −2, 1, 0), v = (1, 0, 1, 2);
5)x = (1, −2, 0, 1), u = (1, 3, 1, 5), v = (2, −3, 2, 1);
6)x = (−3, 2, 11, 8), u = (1, 1, 1, 3), v = (1, 2, 1, 4);
7)x = (7, 3, −2, 2), u = (1, 0, 1, 2), v = (1, 6, 1, 8);
8)x = (3, −1, 0, 3), u = (1, −3, 1, −1), v = (2, −3, 2, 1);
9)x = (2, 1, −2, 3), u = (1, 2, 1, 4), v = (1, 1, 1, 3);
10)x = (1, 1, 0, 0), u = (1, 0, 1, 2), v = (1, 3, 1, 5);
11)x = (−1, 1, 1, 3), u = (1, 0, 1, 2), v = (1, 1, 1, 3);
12)x = (3, −1, 2, 4), u = (1, 2, 1, 3), v = (1, 0, −1, −1);
13)x = (0, −1, 1, 1), u = (1, 0, −1, 0), v = (2, 1, 0, −1);
14)x = (0, −1, 1, 0), u = (2, −5, 2, −1), v = (1, 2, 1, 4);
15)x = (1, 1, 0, −2), u = (2, 3, 1, 4), v = (1, 3, 2, 5);
16)x = (1, 7, −2, 0), u = (0, 1, 2, −1), v = (3, 1, −1, −1);
17)x = (0, 0, 1, 1), u = (3, −4, 3, 2), v = (2, −3, 2, 1);
18)x = (5, −1, 3, 5), u = (3, 5, 2, 7), v = (2, 3, 1, 4);
19)x = (1, 6, −4, 1), u = (1, 1, 1, −1), v = (4, 1, −2, −1);
20)x = (−1, 1, 0, 2), u = (1, 1, 1, 3), v = (1, −2, 1, 0);
21)x = (1, −1, 1, 3), u = (3, 2, −1, 1), v = (4, 5, 1, 6);
22)x = (1, 7, −5, 1), u = (1, 2, 3, −2), v = (3, 2, 1, −2);
23)x = (0, −2, 1, 1), u = (1, 0, 1, 2), v = (1, 2, 1, 4);
24)x = (1, 3, −1, −1), u = (1, 3, 2, 5), v = (1, 4, 3, 7);
25)x = (1, 7, −4, 0), u = (2, 3, 4, −3), v = (1, 3, 5, −3);
26)x = (0, −1, 1, 2), u = (1, −3, 1, −1), v = (0, 1, 0, 1);
27)x = (1, 1, 0, −2), u = (1, 1, 0, 1), v = (0, 1, 1, 2);
36
28)x = (1, 8, −6, 1), u = (3, 4, 5, −4), v = (1, 1, 1, −1);
29)x = (1, 5, −3, 1), u = (2, −1, 2, 3), v = (1, 2, 1, 4);
30)x = (1, 5, −2, 0), u = (3, 4, 1, 5), v = (2, 5, 3, 8).
7.3.Найти расстояние между двумя многообразиями в R4 прямой s + hri и плоскостью w + hu, vi, если:
1)s = (1, 2, 1, 1), r = (0, 1, 0, 1), w = (1, 1, 1, 1), u = (1, 0, 1, 1), v = (0, 1, 0, 0);
2)s = (1, −1, 2, 1), r = (1, 0, 1, 0), w = (1, 0, 1, 1), u = (1, −1, 0, 1), v = (0, 0, 0, 1);
3)s = (1, 0, 1, 2), r = (0, 1, 1, 0), w = (1, 0, 1, 1), u = (1, 0, 1, 0), v = (1, 1, 0, 0);
4)s = (2, 1, 2, 1), r = (1, 0, 0, 1), w = (1, 1, 2, 1), u = (1, 1, 1, 0), v = (0, 1, 0, 1).
7.4.Найти сечение четырехмерного куба трехмерной гиперплоскостью, проходящей через середину диагонали куба перпендикулярно ей.
7.5.Найти ортогональную проекцию четырехмерного куба на трехмерную гиперплоскость, перпендикулярную диагонали куба.
7.6.Пусть V унитарное или евклидово пространство, не обя-
зательно конечномерное. Доказать:
а) M = M для любого M V ;
б) если V конечномерно и U 6 V , то U = U .
7.7. Найти какую-нибудь систему линейных уравнений, задающую ортогональное дополнение к подпространству в R4, опре-
деляемому системой уравнений: |
− 2x4 |
= 0 |
||||
|
3x1 |
+ 2x2 |
||||
|
2x1 |
+ |
x2 + 3x3 |
|
x4 |
= 0 |
3x1 + |
x2 + 4x3 |
− |
x4 = 0. |
|||
|
|
|
|
− |
|
|
7.8. Пусть v1, . . . , vm Rn.
а) Доказать, что если (vi, vj ) < 0 для любых i 6=j, то m 6 n+1. б) Что изменится, если вместо (vi, vj ) < 0 требовать лишь
(vi, vj ) 6 0?
37
Указание. В (1) выберите v1 за первый вектор базиса и проведите
индукцию по размерности.
7.9. Доказать, что матрица Грама линейно независимого се-
мейства векторов евклидова пространства положительно определена.
7.10. Пусть f базис евклидова пространства с матрицей
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Грама |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 , a оператор в этом пространстве, имею- |
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
3 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
щий в базисе f матрицу |
1 |
0 . Найти матрицу сопря- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −1 0 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
базисе f . |
|
|
|
|
|
|
|||
женного оператора a в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7.11. Пусть f базис евклидова пространства с матрицей |
|||||||||||||||||||
|
|
4 |
0 |
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
01 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Грама |
− |
2 |
1 |
0 |
|
|
a оператор в |
этом пространстве, |
|||||||||||
|
0 |
, |
|
||||||||||||||||
Ker(a) |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
h |
u, v |
, где [u] |
f |
= (1, 0, 1, 0)>, [v] |
f |
= (0, 1, 1, |
− |
1)>. Най- |
|||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ти базис образа оператора a .
7.12. Найти канонический базис и каноническую форму мат-
рицы ортогонального оператора, имеющего в ортонормированном базисе f заданную матрицу, проверив предварительно ее орто-
гональность; найти углы поворота плоскостей, вращаемых этим
оператором: |
−3 |
−5 1 ; |
2) |
1 |
|
|
−1 15 |
−7 5 |
; |
|
|||||||||||||||
1) 1 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
1 |
−1 |
−5 |
|
|
|
|
|
−15 |
−1 |
−5 |
−7 |
|
||||||||
|
|
5 |
|
1 1 |
−3 |
|
|
|
|
|
−7 |
|
5 1 |
15 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
|
1 |
5 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
5 |
7 |
15 |
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
10 |
3 |
− |
− |
|
|
− |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5√ |
|
|
|
−3 |
|
||||
|
|
|
1 |
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|||||||
|
1 |
−1 |
|
|
|
− |
5 ; |
|
1 |
−5√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
3) |
|
1 |
−3 |
4) |
2 |
5 |
|
−3 |
|
−4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6 |
|
|
|
53 |
−1 |
|
1 |
|
10 |
|
−3 |
−4 5 2 −√5 |
|
||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
5 |
5 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
− |
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
5) |
1 |
1 3 |
|
|
−2 2 |
|
; |
6) |
|
|
1 |
|
−15 −7 |
|
|
−5 |
|
|
1 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3√2 |
|
|
3 |
|
|
−1 |
|
|
−2 |
|
−2 |
|
|
|
10√3 |
|
−7 15 |
|
|
−1 |
−5 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 1 |
|
|
|
−3 |
|
|
|
−5 |
|
−1 |
|
|
15 |
−7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
15 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
−2 − |
√ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||
7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 + |
3 |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2(1 + |
√3) |
|
|
|
−√ |
|
|
2 + |
3 |
|
2 + |
3 |
|
|
|
|
1√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
−2 ; |
|||||||||||||||||||
8) |
1 |
|
−3 |
|
|
|
; |
|
|
|
9) |
|
1 |
−1 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2√3 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
−1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
−1 |
−2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 1 |
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
3√2 −2 |
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
−31 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
; |
||||||||||||
10) |
1 |
−9 |
|
|
1 |
|
|
−5 |
−1 ; |
|
11) |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
−0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
6√3 |
|
|
−1 |
|
|
−9 1 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 9 |
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
|
|
01 |
|
|
|
|
−2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
− |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
9 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
13√ |
|
−13 |
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
13√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
12) |
|
13 |
|
|
|
2 |
|
−5 |
|
|
−12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
12 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
13 |
|
2 |
|
|
− |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
13 |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
26 −5 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
−√ |
|
|
−13 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.13. Пусть a оператор в унитарном или евклидовом про-
странстве. Доказать:
а) Ker(a) = Im(a ) ; б) Ker(a a) = Ker(a); в) Im(aa ) = Im(a);
г) если a нормален, то Ker(a) = Ker(a2) = Ker(a ), Im(a) = Im(a2) = Im(a );
д) если пространство евклидово и a = −a, то rk(a) четен; е) если a самосопряжен и (a(x), x) = 0 для всех x, то a = 0.
7.14. Пусть a оператор в унитарном пространстве. Дока-
зать, что равносильны следующие утверждения:
1)a нормален;
2)|a(x)| = |a (x)| для каждого вектора x;
3)ортогональноедополнениекаждого a-инвариантного подпространства a-инвариантно.
39
7.15.Найти все самосопряженные квадратные корни из положительно определенного оператора.
7.16.Доказать, что существует единственный положительно определенный корень любой натуральной степени из положительно определенного оператора.
7.17.Доказать, что для любого оператора a в евклидовом или унитарном пространстве операторы aa и a a самосопряжены и
имеют одинаковые собственные числа.
7.18.Пусть a и b нормальные операторы. Доказать, что если ab = 0, то и ba = 0.
7.19.Доказать, что если оператор b коммутирует с нормальным оператором a, то он коммутирует и с оператором a .
7.20.Доказать, что обратимый оператор, сохраняющий длину хотя бы одного ненулевого вектора и переводящий каждую пару ортогональных векторов в ортогональную, изометричен, то есть сохраняет длину любого вектора.
7.21.Пусть b1, b2 положительно определенные, а c1, c2
ортогональные операторы в евклидовом пространстве такие, что
b1c1 = c2b2. Доказать:
а) c1 = c2;
б) оператор b1c1 нормален тогда и только тогда, когда b1 = b2.
8. Разные задачи о матрицах
В этом разделе K поле, и, если не оговорено иное, все матрицы конечные матрицы над полем.
8.1. Как меняются элементы матрицы над кольцом A с 1 при
умножении ее слева (справа) на матрицу a, где a это: |
|
|
||||
1) |
скалярная матрица λe = diag(λ, . . . , λ), λ A; |
|
0 |
|
||
2) |
перъединичная матрица sdiag(1, . . . , 1) = |
1 |
. . . |
; |
||
0... |
...... |
1... |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
40