_линейная алгебра

10)вырожденные матрицы: det(x) = 0;

11)невырожденные матрицы: det(x) 6= ;0

12)тёплицевы матрицы: xij = xhk при i − j = h − k;

13)ганкелевы матрицы: xij = xhk при i + j = h + k;

14)циркулянты, или циклические матрицы: xij = xhk при i − j ≡ h − k (mod n);

15)верхние хессенберговы матрицы: xij = 0 при i > j + 2;

16)трехдиагональные матрицы: xij = 0 при |i − j| > 2;

11

3.5. Пусть v1, . . . , vn V , D(v1, . . . , vn) = {(α1, . . . , αn) Kn |

α1v1 + . . . + αnvn = 0}. Доказать, что:

а) D(v1, . . . , vn) 6 Kn;

б) D(v1, . . . , vn) = Kn тогда и только тогда, когда v1 = . . . = vn = 0;

в) dim(D(v1, . . . , vn)) + dim(hv1, . . . , vni) = n.

3.6.Пусть K = Q, U аддитивно замкнутое подмножество пространства V . Доказать, что если для каждого u U и всякого n Z найдется v U такой, что u = nv, то U 6 V .

3.7.Пусть U собственное подпространство пространства V . Доказать, что существует базис пространства V , не содержащий

3.9.Сколько различных m-мерных подпространств пространства Fqn имеют нулевое пересечение с данным l-мерным подпро-

странством?

3.10.Доказать, что пространство V бесконечномерное тогда

итолько тогда, когда V содержит собственное подпространство, изоморфное V .

12

3.11.Пусть V1, V2 6 V . Доказать, что V1 V2 6 V тогда и только тогда, когда либо V1 V2, либо V2 V1.

3.12.Пусть V пространство над бесконечным полем. До-

казать, что объединение конечного числа собственных подпространств пространства V не совпадает с V . Справедливо ли это

утверждение для конечномерного пространства над конечным полем?

3.13.Пусть V1, V2, V3 6 V , V1 6 V3. Доказать, что (V1 + V2) ∩

V3 = V1 + V2 ∩ V3.

3.14.В пространстве R5 найти базисы подпространств U1 +U2

иU1 ∩ U2, где U1 = ha1, a2, a3i, U2 = hb1, b2, b3i:

13

3.15. Пусть U1, U2 6 V . Найти базисы подпространств U1 +U2 и U1 ∩ U2:

2)V = M(2, R),

U1 = {a | au = ua}, U2 = {b | bv = vb}, где u и v фиксированные элементы V ;

3)V = M(2, R),

½¯ µ ¶ ¾ ½ ¯ µ ¶ ¾

¯1 ¯ 2

¯a 2 = 0 b ¯ b 1 = 0 ;, U2 =U1 a=

14

9)V = F5[t],

U1 = {f | f 000 = 0}, U2 = {g | g + tg0 = 0};

10)V = M(2, K),

©>ª, U2 = ©b | b = −b>ª;U1 = a | a = a

11) V = M(2, Fp),

U1 = {(αe + βa)p | α, β Fp}, U2 = {(αe + βb)p | α, β Fp}, p простое, a и b фиксированные элементы V , e единич-

ная матрица.

3.19.Доказать, что пространство M(n, K) есть прямая сумма

трех подпространств: верхних строго треугольных, диагональных

инижних строго треугольных матриц.

3.20.Доказать, что если char(K) 6= ,2то M(n, K) есть пря-

мая сумма подпространств симметрических и кососимметрических матриц.

3.21.Доказать, что пространство M(n, C) есть прямая сумма

подпространств эрмитовых и антиэрмитовых матриц.

3.22.Пусть V1 6 V . Доказать, что найдется подпространство V2 такое, что V = V1 V2. В каком случае подпространство V2

определено однозначно?

3.23.Пусть V, V1, V2 пространства. Доказать, что если V ко-

15

сокращении). Верно ли это утверждение, если V бесконечномер-

но?

3.24. Пусть V = F2n, U 6 V , dim(U ) = m (в теории информации такое U называется двоичным линейным (n, m)-кодом, а его

элементы кодовыми словами). Доказать, что в двоичном линейном коде:

а) либо все кодовые слова имеют четный вес Хэмминга, либо ровно половина кодовых слов имеет четный вес, а вторая половина нечетный;

б) либо все кодовые слова начинаются с 0, либо ровно половина кодовых слов начинается с 0, а вторая половина с 1.

4.Линейные многообразия. Факторпространства

Вэтом разделе V векторное пространство.

4.1.Пусть P1, P2 линейные многообразия в V . Доказать, что P1 + P2 линейное многообразие.

4.2.Доказать, что если пересечение линейных многообразий непусто, то оно есть линейное многообразие.

4.3.Пусть P k-мерное линейное многообразие. Доказать,

что:

а) в P любое семейство длины k + 2 линейно зависимо;

б) если P не является подпространством, то в нем существует линейно независимое семейство длины k + 1.

4.4. Доказать, что непустое подмножество P векторного про-

странства является линейным многообразием тогда и только тогда, когда для любых векторов v1, v2, . . . , vm P и любых скаляров α1, α2, . . . , αm из α1 + α2 + . . . + αm = 1 следует α1v1 + α2v2 + . . . + αmvm P .

4.5.Пусть M 6 Fqn, dim M = m. Сколько существует линейных многообразий, параллельных подпространству M (т.е. подмножеств вида x + M , x Fqn)?

4.6.Перечислить все линейные многообразия пространства F33, параллельные подпространству h(1, −1, 0)i.

16

4.7.Сколько различных m-мерных линейных многообразий

впространстве Fqn не пересекаются с данным l-мерным подпро-

странством?

4.8.Пусть V1, V2 6 V . Доказать, что V = V1 V2 тогда и

только тогда, когда каждое линейное многообразие, параллельное V1, пересекает каждое линейное многообразие, параллельное V2,

водной точке.

4.9.Пусть U1 6 U2 6 V , причем любое семейство векторов пространства V , линейно независимое относительно U1, линейно независимо и относительно U2. Доказать, что U1 = U2.

4.10.Доказать, что в любом пространстве:

а) любые два вектора линейно зависимы относительно подпространства коразмерности 1;

б) любые k + 1 векторов линейно зависимы относительно подпространства коразмерности k.

4.11.Пусть U 6 V , W 6 V /U . Доказать, что {v V | (v+U )

W } 6 V .

4.12.Пусть U1, U2 6 V . Доказать, что пространства (U1 + U2)/U1 и U2/(U1 ∩ U2) изоморфны.

4.13.Пусть U1 6 U2 6 V . Доказать, что:

а) U2/U1 6 V /U1;

б) пространства (V /U1)/(U2/U1) и V /U2 изоморфны.

4.14. Пусть U1, U2 6 V , v1, v2 V . Доказать, что (v1 + U1) ∩ (v2 + U2) V /(U1 ∩ U2).

5. Линейные отображения

В этом разделе, если не оговорено иное, U, V векторные пространства над полем K.

5.1. В следующих ситуациях выяснить, линейно ли отображение вещественных пространств a : U → V , и в случае положи-

тельного ответа найти его матрицу относительно какой-нибудь пары базисов U и V , а также указать базисы ядра и образа a:

1) U = R4, V = R3, a((α, β, γ, δ)) = (α + β, γ − δ, 0);

17

2)U = R2, V = R3, a((α, β)) = (α + β, α − β, α + 1);

3)U = R2, V = R3, a((α, β)) = (α + β, αβ, 0);

µ¶

5.2. Пусть a Hom(U, V ), U1, U2 6 U , V1, V2 6 V . Какие из

следующих равенств справедливы, а какие должны быть заменены на подходящие включения (если W V , то a−1(W ) полный прообраз W ):

1)a(U1 + U2) = a(U1) + a(U2);

2)a(U1 ∩ U2) = a(U1) ∩ a(U2);

3)a−1(V1 + V2) = a−1(V1) + a−1(V2);

4)a−1(V1 ∩ V2) = a−1(V1) ∩ a−1(V2)?

5.3.Пусть a Hom(U, V ), y Im(a). Доказать, что a−1(y) линейное многообразие в пространстве U .

5.4.Пусть a Hom(U, V ). Доказать, что образ семейства, линейно независимого над Ker(a), линейно независим.

18

5.5. Пусть dim(U1)+dim(V1) = dim(U ) для некоторых подпространств U1 6 U, V1 6 V . Доказать, что существует отображение a Hom(U, V ) такое, что Im(a) = V1, Ker(a) = U1.

5.6. Доказать, что для любых a, b Hom(U, V ) справедливо

5.8.Пусть a Hom(R3, R4) такое линейное отображение, что a((1, 1, 1)) = (1, 2, 1, 1), a((1, 1, −1)) = (2, 1, 0, 0), a((−1, 2, 2)) = (1, 0, 1, 1). Найти его каноническую матрицу и соответствующую

пару базисов.

5.9.Для линейных отображений из задачи 5.1 найти матрицу сопряженного отображения относительно какой-нибудь пары базисов, а также указать базисы ядер и образов сопряженного отображения.

5.10.Доказать, что если ядра двух линейных функционалов на векторном пространстве совпадают, то эти функционалы линейно зависимы.

5.11.Пусть a и b линейные функционалы на пространстве V , причем a(v)b(v) = 0 для всех v V . Доказать, что хотя бы

один из этих функционалов нулевой.

5.12.Доказать, что для ненулевого линейного функционала a, действующего на n-мерном пространстве, dim(Ker(a)) = n − 1.

5.13.Доказать, что n линейных функционалов на n-мерном

пространстве образуют базис сопряженного пространства тогда

итолько тогда, когда пересечение их ядер состоит только из нулевого вектора.

5.14.Пусть dim(V ) = n, f1, . . . , fn V , отображение a : V → Kn определяется равенством a(v) = (f1(v), . . . , fn(v)). Доказать,

что:

а) a линейное отображение;

б) a есть изоморфизм тогда и только тогда, когда f1, . . . , fn базис пространства V .

5.15. Найти базис пространства (K[t]n) , сопряженный с базисом 1, t, . . . , tn.

19

5.16.Пусть V = M(m, n, K), a V . Доказать, что существует матрица p V такая, что x V a(x) = tr(p>x).

5.17.Пусть V пространство над бесконечным полем. Дока-

зать, что для любого семейства ненулевых векторов v1, . . . , vm V найдется функционал a V такой, что a(vi) 6= 0при всех i.

5.18.Пусть V = K[t]n. Для каждого κ K функционал aκ : V → K таков, что f V aκ (f ) = f (κ). Доказать, что:

5.21. Пусть для любой пары v V , a U отображение bv,a : U → V таково, что x U bv,a(x) = a(x)v. Доказать, что:

а) для любых v, a отображение bv,a линейно; б) h{bv,a | v V, a U }i = Hom(U, V ).

6. Линейные операторы

В этом разделе, если не оговорено иное, V векторное простран-

ство над полем K, a оператор в V .

¡ ¢

6.1. Cколько существует таких операторов a End Fp3 , что a((2, −1, 3)) = (1, 1, −1), a((1, 2, 3)) = (1, 0, 1), a((3, 1, −1)) = (2, 1, 0)?

20