_линейная алгебра
.pdf6.2.Найти матрицу оператора транспонирования в какомнибудь базисе пространства квадратных матриц второго порядка.
6.3.Пусть a, b End(R2), причем a((2, 1)) = (3, 2), a((1, 1)) = (1, −1), b((3, 2)) = (2, 1), b((2, 1)) = (−3, −2). Найти матрицу оператора a + b в каком-нибудь базисе пространства R2.
6.4.Пусть a End(R3), a(xi) = yi, i = 1, 2, 3, f базис R3. Найти матрицу [a]f , если:
1)x1 = (1, 2, 1), x2 = (1, 1, 1), x3 = (0, 1, 1),
y1 = (−3, −1, −1), y2 = (2, 1, 2), y3 = (3, 1, 3), f = ((1, 0, 1), (1, 1, 1), (2, 1, 1));
2)x1 = (1, 0, 1), x2 = (1, 1, 0), x3 = (0, 1, 1), y1 = (2, 0, 1), y2 = (0, 1, 0), y3 = (6, 5, 3), f = ((1, 1, 1), (2, 1, 1), (3, 2, 1));
3)x1 = (2, 1, 2), x2 = (1, 0, 2), x3 = (3, 1, 3),
y1 = (7, −4, 3), y2 = (0, 3, 5), y3 = (9, −4, 6), f = ((1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 3));
4)x1 = (1, 2, 1), x2 = (1, 1, 1), x3 = (2, 0, 1),
y1 = (−7, −5, 5), y2 = (−4, −3, 3), y3 = (1, 1, −1), f = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (2, 1, 0));
5)x1 = (1, 0, 1), x2 = (2, 1, 0), x3 = (1, 1, 0),
y1 = (−4, −2, −1), y2 = (7, 2, 2), y3 = (5, 2, 2), f = ((2, 0, 1), (1, 1, 0), (2, 1, 1));
6)x1 = (0, 1, 1), x2 = (1, 0, 2), x3 = (1, 1, 2), y1 = (2, 3, 4), y2 = (2, 5, 8), y3 = (2, 3, 5), f = ((1, 1, 2), (0, 1, 1), (1, 2, 2));
7)x1 = (1, 0, 1), x2 = (1, 1, 1), x3 = (2, 1, 1),
y1 = (2, 0, −1), y2 = (−1, 2, 1), y3 = (−3, 3, 0), f = ((2, 1, 2), (1, 1, 2), (1, 0, 1));
8)x1 = (0, 1, 1), x2 = (1, 0, 1), x3 = (0, 1, 2),
y1 = (3, 3, −2), y2 = (2, 1, 0), y3 = (6, 5, −3), f = ((2, 1, 1), (1, 0, 1), (3, 1, 1));
9)x1 = (1, 1, 2), x2 = (1, 0, 1), x3 = (0, 1, 1),
y1 = (−2, −2, 5), y2 = (−3, −4, 6), y3 = (1, 2, −1), f = ((1, 2, 2), (2, 3, 1), (1, 1, 0));
21
10)x1 = (1, 1, 0), x2 = (1, 1, 1), x3 = (1, 2, 1),
y1 = (1, −5, −2), y2 = (0, 2, 1), y3 = (1, 1, 1), f = ((1, 2, 1), (2, 1, 1), (2, 3, 2));
11)x1 = (1, 1, 2), x2 = (1, 0, 1), x3 = (0, 1, 1), y1 = (2, 7, 6), y2 = (1, 7, 5), y3 = (1, 0, 1), f = ((1, 1, 1), (1, 2, 1), (0, 1, 1));
12)x1 = (1, 0, 1), x2 = (1, 1, 1), x3 = (1, 1, 2), y1 = (0, 0, 1), y2 = (1, 1, 1), y3 = (−2, 0, 0), f = ((2, 1, 2), (1, 0, 1), (2, 1, 1)).
6.5.Пусть a End(R3), a(xi) = yi, i = 1, 2, 3. Выбрать какойнибудь базис f пространства R3 и найти матрицу [a]f , если:
1) |
x1 = (1, 2, 1), |
y1 = (3, 4, 6), |
2) x1 = (4, 1, 3), y1 = (3, 2, 3), |
||
|
x2 = (2, 1, 1), |
y2 = (5, 2, 4), |
|
x2 = (2, 3, 4), y2 = (2, 3, 4), |
|
|
x3 = (1, 1, 1), |
y3 = (3, 3, 3); |
|
x3 = (3, 2, 3), |
y3 = (4, 1, 3); |
3) |
x1 = (3, 5, 2), |
y1 = (4, 4, 5), |
4) x1 = (2, 2, 3), y1 = (3, 5, 3), |
||
|
x2 = (2, 3, 3), |
y2 = (8, 8, 5), |
|
x2 = (5, 4, 4), y2 = (4, 6, 5), |
|
|
x3 = (4, 7, 1), |
y3 = (0, 0, 5); |
|
x3 = (8, 6, 5), |
y3 = (5, 7, 6); |
5) |
x1 = (2, 1, 3), |
y1 = (1, 1, 5), |
6) |
x1 = (3, 4, 3), y1 = (1, 0, 1), |
|
|
x2 = (3, 2, 1), |
y2 = (6, 1, 1), |
|
x2 = (4, 3, 5), y2 = (0, 1, 1), |
|
|
x3 = (5, 3, 5), |
y3 = (6, 2, 8); |
|
x3 = (5, 2, 7), |
y3 = (1, 2, 1); |
7) |
x1 = (3, 3, 1), |
y1 = (2, 4, 5), |
8) |
x1 = (1, 3, 1), y1 = (9, 8, 6), |
|
|
x2 = (2, 5, 3), |
y2 = (3, 2, 4), |
|
x2 = (3, 1, 1), y2 = (5, 6, 4), |
|
|
x3 = (3, 4, 2), |
y3 = (3, 4, 5); |
|
x3 = (1, 1, 2), |
y3 = (2, 5, 1); |
9) |
x1 = (2, 2, 1), |
y1 = (1, 7, 4), |
10) |
x1 = (4, 5, 4), |
y1 = (3, 7, 6), |
|
x2 = (2, 3, 2), |
y2 = (1, 9, 7), |
|
x2 = (3, 3, 4), y2 = (4, 8, 1), |
|
|
x3 = (3, 2, 1), |
y3 = (2, 9, 4); |
|
x3 = (3, 4, 5), |
y3 = (4, 9, 1); |
11) |
x1 = (3, 2, 3), |
y1 = (4, 2, 2), |
12) |
x1 = (2, 3, 4), |
y1 = (1, 5, 6), |
|
x2 = (5, 1, 4), |
y2 = (8, 2, 0), |
|
x2 = (2, 4, 3), y2 = (3, 3, 5), |
|
|
x3 = (4, 1, 2), |
y3 = (5, 3, −1); |
|
x3 = (3, 4, 2), |
y3 = (5, 4, 5). |
6.6. Найти матрицу оператора поворота векторов плоскости вокруг начала координат на угол ϕ в базисе (5i + 3j, 8i + 5j), где i, j орты декартовой системы координат.
22
6.7.Найти матрицу оператора ортогонального проектирования геометрического трехмерного пространства на плоскость x + 2y + 2z = 0 в базисе (i + j − 2k, 2i + j − k, 3i + 2j − 2k), где i, j, k
орты декартовой системы координат.
6.8.Доказать, что если образы двух ненулевых операторов из End(V ) различны, то эти операторы линейно независимы.
6.9.Пусть char(K) 6= ,2a End(V ), причем a2 = idV . Доказать, что V = Im(a + idV ) Im(a − idV ).
6.10.Пусть dim(V ) = n, a End(V ). Доказать, что V = Im(an) Ker(an).
6.11.Пусть a, b End(V ), a2 = a, b2 = b, ab = ba. Доказать, что V = (Im(a) ∩ Im(b)) (Im(a) ∩ Ker(b)) (Ker(a) ∩ Im(b)) (Ker(a) ∩ Ker(b)) .
6.12.Доказать, что если a, b End(V ), то rk(a) + rk(b) − dim(V ) 6 rk(ab) 6 min(rk(a), rk(b)).
6.13.Доказать, что оператор обратим тогда и только тогда, когда 0 не является его собственным числом.
6.14.Пусть dim(V ) = n, a End(V ), и для некоторого вектора v V семейство векторов a(v), a2(v), . . . , an(v) линейно независимо. Доказать, что a обратим.
6.15.Пусть dim(V ) = n, a, b End(V ) и a обратим. Доказать, что оператор cλ = λa − b обратим для всех λ K, за исключением не более чем n значений.
6.16.Пусть dim(V ) = n, V1, V2 6 V , dim(V1) = 1, V1 ∩V2 = {0}, a End(V ) обратимый оператор. Доказать, что am(V1) ∩ V2 =
{0} для некоторого натурального m 6 n.
6.17. Пусть V1 6 V2 6 . . . 6 Vm 6 V и W1 6 W2 6 . . . 6 Wm 6
V . Когда существует обратимый оператор a End(V ) такой, что
i a(Vi) = Wi?
6.18. Пусть V = KN .
а) Привести пример оператора a End(V ), обратимого слева,
но не справа.
б) Привести пример инъективного (сюръективного) необратимого оператора в пространстве V .
23
6.19. Пусть V бесконечномерно. Доказать, что:
а) V V V ;
=
б) кольца End(V ) и M(2, End(V )) изоморфны.
6.20. Пусть a, b End(V ), Ker(b) Ker(a). Доказать, что a = cb для некоторого c End(V ).
6.21. Пусть char(K) = 0, a, b End(V ), c = ab − ba. Доказать, что оператор id −c не нильпотентен.
6.22. Пусть a M(n, K) нильпотентная матрица, c(x) = ax −xa для каждого x M(n, K). Доказать, что оператор c ниль-
потентен.
6.23. Пусть V вещественное пространство, a End(V ), f базис V . Найти все подпространства, инвариантные относительно оператора a, если матрица [a]f равна:
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1) |
0 |
2 0 ; |
|
|
2) |
0 4 1 ; |
|
|
|
|||||||
|
0 |
0 |
2 |
|
; |
|
0 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
3 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
3) |
−1 |
0 |
|
1 2 |
4) |
0 3 1 2 ; |
|
|
||||||||
|
|
0 |
0 |
|
0 |
−01 |
|
|
0 |
0 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
0 0 |
|
1 |
|
0 0 1 5 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
; |
||
5) |
0 |
0 1 |
0 ; |
6) |
−24 −5 2 |
1 |
||||||||||
|
|
01 |
−01 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
2 |
|
||
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
3 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|||
|
|
0 |
0 |
|
−01 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−1 |
|
−01 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7) |
|
1 |
2 |
|
0 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−2 0 |
−3 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
−2 |
|
0 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.24.Пусть a End(V ), где V комплексное n-мерное пространство. Доказать, что существует a-инвариантное (n − 1)-мер-
ное подпространство.
6.25.Существует ли оператор a End(R4), для которого име-
ется бесконечно много двумерных инвариантных подпространств, но нет трехмерных?
24
6.26.Пусть a обратимый оператор в пространстве V . Доказать, что a и a−1 имеют одни и те же инвариантные подпро-
странства. Привести пример пары коммутирующих операторов с разными множествами инвариантных подпространств.
6.27.Выяснить, инвариантно ли подпространство U пространства V относительно оператора a, и в случае положительного ответа найти матрицу сужения оператора a на U в каком-нибудь
базисе, если:
1)V = R[t], U = {f | f 000 = 0}, a(f ) = f 0;
2)V = {f R[t] | f 000 = 0}, U = {f | f 00 = 0}, a(f ) = f (1 − t);
3)V = {f R[t] | f 000 = 0}, U = {f | f (1) = 0}, a(f ) = f (1 − t);
4)V = {f R[t] | f 000 = 0}, U = {f | f (0) = f (1)},
6) |
a(f ) = f (1 − t); |
©x |
| |
x |
> |
= −ª |
|
> |
;> |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
V = M(2, |
|
|
), U = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5) |
V = M(2, R), U = |
x |
x> |
= x , a(x) = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7) |
V = M(2, R), U = |
©x |
| x> = x ,ªa(x) = x |
|
|
x>; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
©2 |
| |
|
|
x |
, a(x) = x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −ª |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||||
9) |
K = 5, V = 5[ξ], |
© 2 |
| |
x |
> |
ª |
|
− |
|
|
> |
|
|
|
5 |
||||||||
|
|
{ | |
|
2 |
5} |
|
|
||||||||||||||||
8) |
V = M(2, R), U = |
x |
|
|
x , a(x) = x |
|
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
F |
|
|
|
F |
ξ +ξ +1 = 0, U = αξ α F , a(x) = x ; |
||||||||||||||||
10) |
K = F5, V = F5[ξ], ξ |
+ ξ + 1 = 0, U = -ξ, ξ |
|
− 1®, a(x) = x . |
|||||||||||||||||||
6.28. |
Выяснить, является ли подпространство U = u |
, u |
, u |
3i |
|||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h 1 |
2 |
|
||||
пространства R |
|
|
инвариантным относительно оператора a, име- |
ющего в стандартном базисе матрицу [a], и в случае положительного ответа найти матрицу сужения оператора a на U в каком-
нибудь базисе, если: |
[a] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
u2 = ( 2, 2, 3, 1) |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
||||||
1) u1 = (4, 0, −1, 1) |
|
|
1 0 1 1 |
|
|
|
|
|
||||||
u3 = (0, 4, 5, 3), |
|
1 1 1 0 |
|
|
|
|
||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u2 = (1, 1, 3, 5), |
[a] = |
2 2 3 1 |
; |
|
|
|
||||||||
2) u1 = (1, 1, 1, 1), |
|
|
1 |
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
3 2 1 1 |
|
|
|
|
|||||||||
u3 = (3, 2, 4, 5), |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
||
u2 = (3, −5, 0, −2), |
[a] = |
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
|
1 |
; |
|||
3) u1 = (6, 1, −3, 1), |
|
|
3 |
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|||||
|
2 |
|
6 2 2 |
|
||||||||||
− |
|
|
1 |
|
2 |
1 |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u3 = ( 4, 3, 1, 1), |
|
|
− − |
|
|
|
− |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
25
4)u1 = (1, 2, 1, 1), u2 = (1, −1, 2, 3), u3 = (2, 7, 1, 0),
5)u1 = (5, 0, 0, −1), u2 = (1, −2, −4, 1), u3 = (−4, 3, 6, −1),
6)u1 = (3, −4, −3, 1), u2 = (5, 2, −1, −1), u3 = (−2, 7, 4, −2),
7)u1 = (−3, 4, 1, 1), u2 = (7, 2, −3, 1), u3 = (−8, 5, 3, 1),
8)u1 = (5, 1, 1, 1), u2 = (−3, 3, 5, 1), u3 = (−2, 5, 8, 2),
[a] = |
3 2 1 2 |
; |
|
|
|||||
|
|
1 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
0 |
4 |
1 |
5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
[a] = |
1 |
|
4 |
1 |
; |
||||
|
|
5 |
|
2 |
2 |
4 |
|
|
|
|
21 |
|
21 |
51 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
− |
− |
|
|
|
|
|
− |
|
4 |
|
|
||||
[a] = |
3 |
|
7 |
6 |
3 |
; |
|||
|
|
5 |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
11 |
|
11 |
62 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
− |
− |
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
|
|
||||
[a] = |
3 |
|
9 |
3 −3 |
; |
||||
|
|
5 |
|
4 |
2 |
−2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
−2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
||
[a] = |
|
2 |
3 |
4 |
4 |
|
. |
|
|
|
|
3 |
3 |
7 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.29. Пусть a End(V ), f базис V . Найти базисы ядра и образа оператора a и матрицу его сужения на его образ в найденном
базисе образа, если матрица [a]f равна: |
|
|
1 ; |
|
|||||||||||||
1) |
3 |
2 |
2 5 ; |
2) |
2 4 4 |
|
|||||||||||
|
|
2 |
3 |
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
2 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
5 1 4 |
|
1 3 5 |
0 |
|
||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
3 |
2 |
|
3 |
|
|
||
|
|
5 |
|
7 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
3) |
3 |
2 |
|
1 |
1 |
; |
4) |
3 4 |
2 |
|
; |
||||||
|
|
1 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
4 |
3 |
3 |
|
3 |
|
|
|
5 |
4 |
|
5 |
7 |
|
|
1 3 |
|
3 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
7 |
5 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|||||||
5) |
3 |
4 |
|
2 |
3 |
; |
6) |
4 3 |
3 |
|
5 |
; |
|||||
|
|
2 |
5 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
5 |
5 |
2 |
|
4 |
|
|
|
1 |
6 |
|
4 |
5 |
|
|
5 1 |
|
2 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
5 |
9 |
|
5 |
7 |
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
26
7) |
3 3 |
5 |
4 |
; |
8) |
2 2 |
4 |
3 . |
||||||
|
|
2 |
1 |
4 |
3 |
|
|
|
3 |
1 |
5 |
2 |
||
|
1 5 |
|
1 |
0 |
|
|
4 5 |
|
5 |
5 |
||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
|
||
|
|
7 |
5 |
|
|
|
3 |
4 |
6.30. Пусть a : K[t] → K[t], f K[t] a(f ) = f (t + 1) − f (t).
а) Доказать, что a End(K[t]).
б) Доказать, что пространства K[t]n a-инвариантны для всех n N.
в) Найти ядро и образ сужения оператора a на K[t]n.
г) Доказать, что при char(K) = 0 для каждого g K[t] уравнение f (t + 1) − f (t) = g(t) относительно f K[t] имеет
единственное решение с нулевым свободным членом.
6.31.Пусть g K[t], a : K[t] → K[t], f K[t] a(f ) = f 0g −f g0
для всех f K[t].
1)Доказать, что a End(K[t]).
2)Найти Ker(a).
3)Найти dim (a(K[t]n)).
6.32.Пусть a End(V ). Найти базис циклического подпространства, порожденного вектором v, и матрицу сужения a на это
подпространство в найденном базисе, если:
µ ¶
1) |
V = M(2, R), a(x) = x + x>, v = |
1 |
|
1 |
|||
−1 |
1 |
||||||
2) |
V = M(2, R), a(x) = x · |
µ0 |
|
||||
1¶, v = |
µ−1 |
||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
;
¶
1
;
1
3)V = R[t], a(f ) = f 0, v = t2 + t + 1;
4)V = R[t], a(f ) = f (1 − t), v = t2 + t + 1.
6.33.Пусть a End(V ), f базис V . Найти базис циклического подпространства, порожденного вектором v, и матрицу сужения оператора a на это подпространство в найденном бази-
се, если:
1) [a]f = |
1 −1 |
1 |
1 |
, v = f1 + f2 + f4; |
|
|
−1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
−1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
0 |
|
|
|
2 |
2 |
|
27
2) [a]f = |
2 |
|
−1 3 4 , v = 2f1 + 3f2 + f3 f4; |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
−1 |
|
1 |
3 |
|
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
4 |
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|||||
3) [a]f = |
−1 0 |
|
0 |
|
, v = f2 + f3; |
|
|||||||
|
|
1 |
|
−1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
||
|
|
1 |
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
2 |
|
−1 |
|
3 |
|
|
|
||
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
||||||
4) [a]f = |
3 −2 2 |
|
0 , v = f3 + f4; |
|
|||||||||
|
|
−3 |
1 |
|
−1 |
|
2 |
|
|
||||
|
1 |
|
−1 |
|
2 |
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
−1 |
|
|
||||
5) [a]f = |
1 |
|
0 1 −1 , v = 3f1 + f2 + f3 + 7f4; |
||||||||||
|
|
2 |
|
|
1 |
−1 |
2 |
|
|
|
|||
|
5 |
|
2 |
−1 |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6) [a]f = |
2 |
|
4 |
4 2 |
, v = f4. |
|
|||||||
|
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
||
|
−1 −1 |
|
0 |
−1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 6 1
6.34.Пусть a End(V ). Доказать, что следующие условия
равносильны:
1)a гомотетия, т.е. a = λ · id, λ K;
2)все ненулевые векторы пространства V суть собственные векторы оператора a;
3)все подпространства a-инвариантны;
4)[a]f = [a]g для любых базисов f, g пространства V .
6.35.Доказать, что для любого множества попарно коммутирующих операторов в конечномерном комплексном пространстве существует общий собственный вектор.
6.36.Пусть поле K бесконечно, V конечномерно, оператор a
диагонализуем. Доказать, что следующие условия равносильны:
1)оператор a не имеет кратных собственных чисел;
2)в пространстве V имеется лишь конечное число a-инвари-
антных подпространств.
28
6.37. Пусть u, v M(n, C), a End(M (n, C)), a(x) = ux − xv
для каждого x M(n, C), α и β собственные числа матриц u и v соответственно. Доказать, что α − β собственное число оператора a.
6.38. Пусть u M(n, C), a End(M (n, C)), a(x) = ux−xu для каждого x M(n, C). Доказать, что каждое собственное число оператора a есть разность некоторых собственных чисел матрицы u.
6.39. Пусть V конечномерное комплексное пространство и a End(V ). Доказать, что оператор a нильпотентен тогда и толь-
ко тогда, когда он не имеет собственных чисел, отличных от 0.
6.40.Доказать, что пересечение ядра и образа диагонализуемого оператора нулевое подпространство.
6.41.Привести пример оператора, сумма ядра и образа которого не есть прямая сумма.
6.42.Пусть V вещественное пространство, a End(V ), f базис V . Найти все собственные числа и собственные векторы оператора a и выяснить, диагонализуем ли этот оператор, если матрица [a]f равна:
1) |
1 2 1 1 ; |
2) |
−1 |
|
−1 |
|
0 0 ; |
|||||||||
|
|
2 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
0 |
|
0 |
|
|
1 1 1 2 |
|
2 |
|
1 2 |
|
−3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
3) |
0 2 2 1 ; |
4) |
−1 |
|
3 |
−2 −1 ; |
||||||||||
|
|
2 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
4 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
0 0 2 3 |
|
3 |
|
3 |
6 |
|
6 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
4 |
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
7 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5) |
0 3 1 2 ; |
6) |
−2 |
|
0 |
0 |
|
0 ; |
||||||||
|
|
3 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
3 |
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
0 0 1 2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
−2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
||||||||
7) |
2 9 4 2 ; |
8) |
0 5 −1 |
|
1 . |
|
||||||||||
|
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
5 |
3 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 3 2 4 |
|
0 0 |
|
1 6 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
7 |
2 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
29
6.43. Пусть V пространство квадратичных форм от переменных t1, t2 над полем K, u M(2, K), отображение a : V → V задано равенством (a(f ))(t) = f (tu), где t = (t1, t2).
а) Доказать, что a End(V ).
б) Для каких матриц u оператор a диагонализуем? в) Найти Im(a) и Ker(a).
6.44.Доказать, что оператор a диагонализуем тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен µa разлож´им над K на
линейные множители и не имеет кратных корней.
6.45.Доказать, что сужение диагонализуемого оператора в конечномерном пространстве на любое его инвариантное подпространство также диагонализуемо.
6.46.Пусть минимальный многочлен оператора a разлож´им
над K на линейные множители и имеет только простые корни
λ1, . . . , λk . Положим ci = fi(a), где fi = |
|
t−λj |
K[t], i = |
|
j6=i λi −λj |
||||
1, . . . , k (многочлены Лагранжа). Доказать,Qчто: |
|
|||
|
k |
|
|
|
а) |
ci = id; |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
P |
|
|
|
б) cicj = δij ci; |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
в) |
λici = a. |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
P |
|
|
|
6.47.Для каждого из следующих случаев:
1)V = R3, a((α, β, γ)) = (α, α + β + γ, 0);
2)V = R[t], a(f ) = f 0;
3)V = {f R[t] | f 000 = 0}, a(f ) = f (t + 1);
4)V = M(2, R), a(x) = x>;
5)V = M(2, R), a(x) = x + x>;
µ¶
1 2
6)V = M(2, R), a(x) = x 2 4 ;
7)K = F5, V = F5[ξ] при ξ2 + ξ + 1 = 0, a(x) = x5;
8)K = R, V = R[ξ] при ξ2 + ξ + 1 = 0, a(x) = ξx;
9)V геометрическое трехмерное пространство, a ортого-
нальное проектирование на фиксированную плоскость;
30