- •6. Сколярное произв. В лин. Простр. Евклидовы простр. Норма, примеры.
- •7.Ортогональность в эвклидовых пространствах…
- •9. Тригонометрич с-ма.
- •10.Многочлены Лежандра и их свойства.
- •12. Собственные значения и собственные функций оператора
- •13. Сопряжённые операторы, их свойства.
- •15. Дифференциальное уравнение Лежандра
- •16. Основные ур-ния мат физики.
- •19 Z-преобразование и его свойства
- •3. Опережение (формула опережения):
- •4. Дифференцирование изображения:
- •22. Уравнение Эйлера-Лагранжа
- •21.Основные задачи вариационного исчисления
- •11.Операторы
9. Тригонометрич с-ма.
Определение1:Система(множество,совокупность)функций,определенныхнаотрезке[a,b], называется ортогональной на этом отрезке, если приипри,то есть.
Определение 2. Система функций 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…, cosnx, sinnx называется тригонометрической.
Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом τ в виде ряда
Или используя комплексную запись, в виде ряда:.
Свойства тригонометрического ряда Фурье
Все утверждения этого параграфа верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в пространстве L2 ([-π,π], C).
Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией:
Справедливо равенство Парсеваля:
Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции:
коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются сверткойкоэффициентов Фурье сомножителей:
рассмотрим операцию свертки функций:
где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка [-π, π] на всю прямую. Тогда
10.Многочлены Лежандра и их свойства.
Свойства многочленов Лежандра:
1. Pn(1)=1
2. При чётном n многочлен Pn(x) содержит только чётные степени x, при нечётном- только нечётные степени x.
3. Pn(-x)=(-1)n Pn(x)
4. |Pn(x)|≤1 при |x| ≤1
5. Многочлены Лежандра ортогональны на отрезке [-1, +1], т.е.
6. Квадрат нормы многочлена Pn(x) равен, т.е.
Свойства 5, 6 позволяют найти коэффициенты разложения функции в ряд Фурье-Лежандра:
Формула Родрига для многочленов Лежандра
Разложение функции fна отрезке [-1;1] на многочлены Лежандра имеет вид:где
12. Собственные значения и собственные функций оператора
Собственной функций оператора Fˆ называется такая функция ψ (ξ), при действии на которую оператором Fˆ получается снова функция ψ (ξ) с точностью до численного множителя λ :
Численный множитель λ называется собственным значением оператора Fˆ . Собственное значение λ оператора Fˆ называется невырожденным, если существует единственная собственная функция оператора Fˆ с таким собственным значением. Собственное значение λ оператора Fˆ называется вырожденным, если у оператора Fˆ есть более чем одна собственная функция с собственным значением λ :
В силу линейности оператора Fˆ любая линейная комбинация функцийтакже является собственной функцией оператора Fˆ с собственным значением λ . Таким образом, все собственные функции оператора Fˆ , отвечающие данному вырожденному собственному значению λ , образуют линейное подпространство, которое мы будем обозначать Lλ. Пусть n – размерность Lλ. Тогда говорят, что собственное значение λ оператора Fˆ n-кратно вырожденно.
НЕПРЕРЫВНЫЙ ОПЕРАТОР
- непрерывное отображение множества топологического и, как правило, векторного пространства Xв такое же пространство Y, а именно: 1) отображение A:M→Y,MX непрерывно в точке x0 ϵM, если для любой окрестностиVY точки Ax0 найдется окрестность UX точки х0 такая, что A(M∩U) V; 2) отображение A:M→Y непрерывно на множестве М, если оно непрерывно в каждой точке этого множества.