3. Умножение матриц. Свойства.

Матрица А называется согласованной с матрицей В когда число столбцов А = числу строк В. Умножать можно только согласованные матрицы. Если матрица А согласована с матрицей В то не обязательно, что В согласована с А.

Произведением А_m*n=(a_ij) на В_n*k=(b_ij), наз-ся С_m*k=(с_ij) эл-ы кот. определяются равенством: с_ij=a_i1b_1j+ a_i2b_2j+ a_i3b_3j+…+ a_inb_nj. Даже когда А согласована с В и В согласована с А, результат умножения АВ будет отличаться от ВА. Когда АВ = ВА, то В и А наз-ся коммутативными.

Свойства:

1. А(ВС) = (АВ)С

2. α(АВ) = (αА) = А(αВ)

3. (А+В)С = АС + ВС

4. С(А+В) = СА=СВ

4. Транспонирование матриц. Свойства.

Транспонированием м-цы назыв замена каждой её строки столбцом с тем же номером.

Cвойства транспонирования матриц:

1) (А^Т)^Т=А

2) (αА)^Т=А^Т α.

3) (А+В)^Т=А^Т+В^Т.

4) (А*В)^Т=В^Т*А^Т.

5. Перестановки.

Перестановкой из чисел 1,2,…,n наз-ся их расположение в опред. порядке. Две перестановки считаются различными, Если они отличаются порядком расположения хотя бы 2х чисел. Подсчитаем число различных перестановок, кот. можно составить из n чисел. очевидно, что мы будем иметь n перестановок, отличающихся 1ым числом. Если 1ое число зафикс., то но втором месте может быть (n-1). Число перестановок, отлич-ся первыми 2мя эл-ми = n(n-1). Аналогично, число перестановок, отлич-ся первыми 3 числами будет равно n(n-1)(n-2) и т.д. n! – n-факториал – произведение всех целых чисел от 1 до n.

n! = 1*2*3*…*(n-2)*(n-1)*n

говорят, что два числа образуют инверсию в перестановке, если большее число стоит перед меньшим. Если все эл-ы расположены в порядке возрастания, то число инверсий (К) = 0. Число инверсий в производной перестановке может быть найдено по след. правилу: пр: К(2,1,3,4)=К₁+К₂+К₃+К₄=1+0+0+0=1

Транспозиция – перемена мест двух чисел в перестановке. ТЕОРЕМА: данная перестановка и перестановка, полученная из неё при помощи одной транспозиции имеют различный хар-р чётности.

6. Понятие определителя.

Понятие опред-ля вводится только для квадратной

матрицы.Рассмотрим квадратную м-цу:

составим произведение из n эл-ов

Этой м-цы взятых по одному и только по 1му из каждой Строки и каждого столбца. Такое произведение можем Записать следующим образом: α_1α, α_2α2... α_nαn. Для удобства Мы выбрали эл-ты по возрастанию,тогда 2ые индексы эл-тов будут образовывать некоторую перес-ку (α₁, α_2... α_n).Число различных произведений такого вида будет равно Числу различных перес-вок из 2ых индексов,котор. = n!Домножим теперь каждое из таких произведений на (-1) ^{к(α1, α2... αn)}.сумма всех различных произведений Такого вида называется определителем м-цы А. Обозначается ,|A| или detA.таким образом по определ:detA=сумма(-1) ^{к(α1, α2... αn)}* α_1α, α_2α2... α_nαn. Здесь сумм-ие производится по всем различн перес-кам 2ых индексов.Число слагаемых в правой части = n!