54. Обратная функция и её диффренциирование
Пусть
дана монотонная функция y=f(x)
(монотонно возрастающая или монотонно
убывающая). Для примера рассмотрим
монотонно возрастающую.Тогда различным
значениям аргумента
соответствуют различные значения
функции: y=f(
Т.е. для монотонной функции существует взаимно однозначное соответствие между значениями х и y.
Каждому значению y соответствует единственное соответствие х и в данном случае формально можно считать, то переменная х является функцией от y.
X=
Эта функция X= называется обратной по отношению к функции y=f(x) .
Теорема:
Если
для функции y=f(x)
существует обратная функция
производную
в соответствующей точке
’(X)=
Доказательство:
Дадим
приращение
тогда
переменная х получит приращение
Причём
в силу монотонности f(x)
,
то ∆х≠0.
Т.к.
в этом случае
.
Перейдём
в обеих частях этого равенства к пределу
∆х→0,
тогда
Тогда
имеем
⇒
=
.
55.Обратные тригонометрические функции и их производные
Функция y=sin x монотонно возрастающая на отрезке [-π;π]
Пусть y=arcsin x
X=sin y
=cos
y
=
=
=
(arcsin x)’=
Аналогично
можно ввести функцию y=cos
x
[0;
]
Рассуждая
можно показать, что
Y=tg
x
при x
и изменяется на отрезки (-
образованная функция, которая обозначается
y=arctg
x
(-
(arctg
x)’=
Y=arctg x –отрицательна по отношению к функции
Y=ctg
x
имеет производную, определённую
формулой
12. Ранг матрицы.
Рангом матрицы называется наибольший порядок её миноров, отличных от нуля.
Миноры 3 порядка этой матрицы = 0, т. к. они содержат нулевой столбец.
rA≤2. Все миноры 2 порядка будут содержать либо нулевой столбец, либо 2 пропорциональных столбца, и => тоже все = 0.
rA=1. Т. к. у этой матрицы есть миноры первого порядка, отличные от 0, то её ранг = 1.
Элементарные преобразования матрицы:
1. умножение любого ряда матрицы на число, отличное от нуля.
2. прибавление к элемента одного ряда матрицы элементов другого её параллельного ряда, умноженных на некоторое число.
3. перемена мест любых 2-х рядов матрицы.
Теорема. Ранг матрицы, полученной из данной путём элементарных преобразований, равен рангу данной матрицы.
Метод окаймляющих миноров нахождения рангов матрицы.
Пусть М – минор порядка k матріцы А. Окаймляющим его минором называется минор порядка k+1 этой матрицы, содержащий внутри себя минор М.
Теорема. Если матрица А имеет минор М порядка k, отличный от нуля, и все миноры, окаймляющие этот минор М, равны нулю, то ранг матрицы А=k.
Метод окаймляющих миноров нахождения ранга состоит в следующем: находят минор данной матрицы, отличный от 0 (1 или 2 порядка), затем вычисляют все окаймляющие миноры. Если они все = 0, то ранг матрицы = порядку этого ненулевого минора. Если среди окаймляющих находится один, отличный от нуля, то далее вычисляют все миноры, окаймляющие данный минор, у которых все окаймляющие миноры = 0. Ранг матрицы будет = порядку этого ненулевого минора.