Остаточный член формулы Лагранжа

(дополнительное рассмотрение)

Оценим разность , гдеt – любое фиксированное значение в промежутке , отличное от узлов интерполирования (таблицы).Предположим, что функция в этом промежутке имеет производные всех порядков до (n+1)-го включительно.

Введем в рассмотрение функцию - полином степениn.

Построим вспомогательную функцию ,

где C – const. также имеет производные всех порядков до (n+1)-го включительно.

Значение константы С выберем так, чтобы для какого-либо аргумента выполнялось:.

Поскольку не совпадает ни с одни узлом, то.

Вспомним теорему Ролля.

Если функцияопределена, непрерывна и дифференцируема на промежутке, а на концах этого промежутка функция принимает равные значения, то в промежуткенайдется такая точка с (a<c<b), что .

На промежутке в точкеи вn узлах вспомогательная функцияn+2 раза обращается в 0, то есть имеет n+1 корень. Эти корни делят промежуток наn отрезков, на концах которых значения равны между собой (). Согласно теореме Ролля на отрезке1-я производная n раз обращается в 0, то есть имеет n корней. Эти корни делят промежуток наn-1 отрезок, на концах которых значения равны между собой (). Поэтому, согласно теореме Ролля на отрезке2-я производная n-1 раз обращается в 0, то есть имеет n-1 корень. Эти корни делят промежуток наn-2 отрезка, на концах которых значения равны между собой (). Поэтому, согласно теореме Ролля на отрезке3-я производная n-2 раза обращается в 0, то есть имеет n-2 корня.

Продолжая, на n шаге получим один корень , где .

n производная от полиномаn-1 степени – ноль: .

n производная от полиномаn степени, легко проверить:

.

, откуда найдем

.

Вернемся к точке :,

,

,

или, поскольку принимает произвольное значение ,, перейдем к аргументуt

, . [9]

Это точное равенство – интерполяционная формула Лагранжа, здесь 2-е слагаемое и есть искомый остаточный член. Оценим его величину.

Пусть число на отрезке. Поскольку

, а , то,

. Отсюда следует, что величина остаточного члена

.

Интерполяционный полином Ньютона для таблицы с переменным шагом

Интерполирование по формуле Лагранжа подразумевает, что множество используемых узлов таблицы наперед известно. Но обычно известна лишь требуемая точность, а множество узлов, которые надо использовать зависит от вида табличной функции и способа интерполирования. Вычисления по формуле Лагранжа достаточно громоздки, и если потребуется увеличить количество используемых узлов таблицы для того же аргумента t, то придется повторить все вычисления заново.

Интерполяционная формула Ньютона, которая будет изложена ниже, представляет собой просто другой способ написания интерполяционного полинома (это так называемая разностная интерполяционная формула). В этом способе расчеты не так громоздки, а количество используемых узлов таблицы может быть легко увеличено или уменьшено без повторения всех вычислений.

Пусть так же как в предыдущем рассмотрении в виде дух столбцов дана таблица значений функции с произвольным шагом аргументаt. В этом случае разность между значениями ив соседних узлах таблицы не может служить для описания изменения функции. Для этого используются так называемые разделенные разности.

Разделенной разностью 1-го порядка двух табличных значений называется отношение разности значений функции к разности соответствующих значений аргумента.

Обозначения разделенных разностей строятся так, чтобы были указаны взятые табличные значения аргумента. Так

Разделенной разностью 2-го порядка трех табличных значений называется отношение разности двух разделенных разностей 1-го порядка к разности крайних значений аргумента.

Аналогично определяются разделенные разности любого порядка, например, разности 3-го порядка

Таблица 1

Таблица разделенных разностей

аргумент	функция	разности 1 порядка	разности 2 порядка	разности 3 порядка	разности 4 порядка
t1	x1
		x(t2,t1)
t2	x2		x(t3,t2,t1)
		x(t3,t2)		x(t4,t3,t2,t1)
t3	x3		x(t4,t3,t2)		x(t5,t4,t3,t2,t1)
		x(t4,t3)		x(t5,t4,t3,t2)
t4	x4		x(t5,t3,t2)		x(t6,t5,t4,t3,t2)
		x(t5,t4)		x(t6,t5,t4,t3)
t5	x5		x(t6,t4,t3)
		x(t6,t5)
t6	x6

Если имеется n значений узлов таблицы, то можно построить n-1 разность 1-го порядка, n-2 разности 2-го порядка, и только одну разность n-1 порядка.

Значения функции в узлах таблицы иногда называют разделенными разностями 0-го порядка.

Пример Построим таблицу разделенных разностей для функции для значений аргумента.

аргумент	функция	разности 1 порядка	разности 2 порядка	разности 3 порядка	разности 4 порядка
t1=0.000	x1=0.000
		x(t2,t1) = 0.954
t2=0.524	x2=0.500		x(t3,t2,t1) = -0.205
		x(t3,t2) = 0.793		x(t4,t3,t2,t1) = -0.1442
t3=0.785	x3=0.707		x(t4,t3,t2) = -0.356		x(t5,t4,t3,t2,t1) = 0.0365
		x(t4,t3) = 0.607		x(t5,t4,t3,t2) = -0.0869
t4=1.047	x4=0.866		x(t5,t3,t2) = -0.447
		x(t5,t4) = 0.256
t5=1.571	x5=1.000

По заданной таблице получим теперь выражение для интерполяционного полинома Ньютонаn-й степени.

Условие точечной интерполяции требует, чтобы искомый полином проходил через все узлы табличной функции

, [10]

а поскольку задано n узлов таблицы, то имеем n основных уравнений:

,

,

.

Если значения функции и искомого полиномав узлах совпадает, то должны совпадать и их разделенные разности:

Приравнивая эти 1-е разделенные разности, получим еще n-1 уравнение:

.

Вспомним из алгебры , поэтому дробь можно сократить на:

Разделенная разность 1-го порядка есть полином n-1 порядка. Аналогично можно показать, что разделенная разность i-го порядка есть полином n–i-го порядка. Разделенная разность n-го порядка есть полином 0-й степени, то есть постоянное число. Разделенные разности порядка большего, чем n, равны 0.

Это свойство полинома крайне важно в интерполировании. Табличная функция редко бывает полиномом, но если это так, то после составления таблицы разностей окажется, что разности некоторого порядка – постоянные числа. Но обычно табличная функция – не полином, и строго постоянных разностей не получится. Однако в большинстве задач табличные функции таковы, что они могут быть приближены полиномом некоторой степени. В этих задачах разности некоторого порядка будут почти постоянными, а следующие разности – очень малыми. Тогда можно уверенно применять точечную интерполяцию и строить полином, степень которого равна порядку почти постоянных разностей.

Построение таблицы разностей поэтому есть единственный способ выяснить нужную степень интерполяционного полинома, то есть число узлов, необходимое для удовлетворительного приближения.

Допустим, число узлов таблицы равно 3, ограничимся частным случаем, когда степень интерполяционного полинома равна n-1=2.

,

,

.

учитывая a²-b²=(a-b)(a+b)

,

и так далее.

Таблица 2

Таблица разделенных разностей

ti	полином	разности 1 порядка	разности 2 порядка
t1	x1=a0+a1t1+a2t12
		x(t2,t1)=a1+a2(t2 + t1)
t2	x2=a0+a1t2+a2t22		x(t3,t2,t1)=a2
		x(t3,t2)=a1+a2(t3 + t2)
t3	x3=a0+a1t3+a2t32

Из полученных 6 уравнений для определения коэффициентов а₀, а₁, а₂ надо выбрать любые 3. Выберем уравнения в верхней части таблицы:

,

,

Подставим эти коэффициенты в формулу [10] :

Полученный полином расположим не по степеням t, а по разностям последовательных порядков.

Рассмотрим коэффициент при 3-й разности

Окончательно

[11]

Аналогично строится полином при любом числе узлов. Для вычислений удобно представить в следующем виде (с учетом разностей 3-го порядка)

[11’]

В этом случае вычисления выполняются «с конца» : разность 3-го порядка умножается на , к произведению прибавляется разность 2-го порядка, сумма умножается на, к произведению прибавляется разность 1-го порядка, сумма умножается наи, наконец, к произведению прибавляется разность нулевого порядка.

Пример Требуется построить интерполяционную формулу и по ней вычислить значение синуса при .

Воспользуемся предыдущей таблицей разностей для значений синуса при .

аргумент	функция	разности 1 порядка	разности 2 порядка	разности 3 порядка
t1=0.000	x1=0.000
		0.954
t2=0.524	x2=0.500		-0.205
		0.793		-0.1442
t3=0.785	x3=0.707		-0.356
		0.607
t4=1.047	x4=0.866

В таблице подчеркнуты разности, используемые в формуле. Формула для произвольных аргументов t согласно [11’] имеет вид

,

по таблице значений синусов можно проверить .