9. Элементы квантовой механики
Уравнение Шредингера для стационарных состояний
,
где Ψ – волновая функция, ,
E – полная энергия частицы, U – ее потенциальная энергия, .
Собственная волновая функция частицы, находящейся в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике имеет вид
где ℓ - ширина потенциального ящика.
Собственное значение энергии частицы, находящейся на n-ом энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике определяется выражением
Вероятность обнаружения частицы в интервале от x до x+dx выражается формулой
,
где │Ψ(x)│2 – плотность вероятности.
Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера конечной ширины рассчитывается по формуле
,
где U – высота потенциального барьера, d – ширина барьера.
Состояние электрона в атоме определяется квантовыми числами n, ℓ, mℓ, ms. n – главное квантовое число, определяющее значение энергии атома; n=1, 2, 3… .
Собственные значения энергии электрона в атоме водорода
ℓ - орбитальное квантовое число, определяющее значение орбитального момента импульса электрона; ℓ=1, 2…(n-1)
mℓ - магнитное квантовое число, определяющее проекцию орбитального момента импульса электрона на направление внешнего магнитного поля; mℓ = -ℓ…0…+ℓ
LH=mℓħ
ms - магнитное спиновое квантовое число, определяющее проекцию спина на направление внешнего магнитного поля; ms = ±½
LS,H=msħ
Спин – собственный момент импульса электрона (и других элементарных частиц)
где S – спиновое квантовое число; S=½.
10. Строение ядра. Энергия связи. Радиоактивность
Ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом: , гдеZ – зарядовое число, определяющее число протонов в ядре, A – массовое число, определяющее число нуклонов (протонов и нейтронов) в ядре.
Закон радиоактивного распада
N=N0exp(-λt),
где N0 – число ядер в начальный момент времени (t=0), N – число ядер в момент времени t, λ – постоянная радиоактивного распада.
Количество атомов, распавшихся за время t
Период полураспада T – промежуток времени, за который число ядер уменьшается в два раза. Период полураспада и постоянная распада связаны соотношением
Закон радиоактивного распада можно представить в другом виде
В случае, когда промежуток времени Δt мал по сравнению с периодом полураспада Т (Δt<<T), то число распавшихся ядер можно определять по приближенной формуле
ΔN ≈ λ·N·Δt
Среднее время жизни τ радиоактивного изотопа – промежуток времени, за который число ядер уменьшается в e раз
Активность радиоактивного изотопа – число ядер, распавшихся в единицу времени
начальная активность (при t=0)
A0=λN0
Активность изменяется с течением времени по закону
Уравнения α- и β- распадов (правила смещения):
Закон поглощения γ-излучения веществом
I=I0e–μx,
где I0 – интенсивность γ-излучения, падающая на слой вещества толщиной x, I - интенсивность γ-лучей, прошедших слой x, μ – линейный коэффициент поглощения.
Энергия ядерной реакции (или тепловой эффект реакции)
,
где и - суммы масс покоя частиц, соответственно, до и после реакции,с – скорость света в вакууме. Если , то реакция идет с выделением энергии; если, то реакция идет с поглощением энергии.
Энергетический выход ядерной реакции чаще измеряют не в системе СИ (Дж), а в МэВ.
В этом случае массу частиц измеряют в атомных единицах массы (а.е.м.), а значение .
Все ядерные реакции идут в соответствии с законами сохранения заряда, массового числа (число нуклонов), полной энергии и импульса.
Под полной энергией подразумевается полная релятивистская энергия, определяемая по формуле
,
где - сумма энергий покоя частиц до реакции,- сумма их кинетических энергий. Справа стоят те же физические величины, относящиеся к частицам, образующимся в результате реакции.
Энергия связи ядра, т.е. энергия, которую необходимо затратить, чтобы разделить ядро на составляющие его частицы без сообщения им кинетической энергии, определяется формулой
где mp, mn и mя , соответственно, массы протона, нейтрона и ядра.
Так как в справочных таблицах приводятся значения масс атомов, а не ядер, надо перейти к соотношению, содержащему эти величины. Масса ядра mя= mа-Zme, где me – масса электрона, тогда
Учитывая, что
- масса атома водорода, можно записать