3.4 Закони Кірхгофа в диференціальній формі

Визначимо потік вектора густини струму (електричний струм ) через замкнену поверхню, яка включає в себе декілька відгалужень зі струмами, які сходяться в одному вузлі (рис.3.5).

Рисунок 3.5

Як показано раніше, в будь-якому місці кола не можуть постійно накопичуватися заряди при протіканні струму, тому сума вхідних струмів () в об’ємі, що обмежений поверхнею, повинна дорівнювати сумі вихідних струмів із даного об’єму ().

Розіб’ємо всю замкнену поверхню на поверхню , що не включає в себе поперечний переріз провідників, і на поверхні, які представляють собою поперечний переріз провідників

,

тоді

,

де – густина струму у відповідних перерізах.

В зв’язку з тим, що (– поверхня, що не включає провідники), а

,

то

.

Знак мінус біля струмів іпоставлено тому, що усі векторинаправлені із об’єму (позитивний напрямок), а вектори густини струмівінаправлені в об’єм, що розглядається.

В зв’язку з тим, що сума вхідних і вихідних струмів повинна бути рівною між собою (перший закон Кірхгофа), то

. (3.13)

Отже, інтеграл від густини струму по замкненій поверхні завжди дорівнює нулю. Рівняння (3.13) виражає перший закон Кірхгофа в інтегральній формі.

Якщо до (3.13) застосувати теорему Остроградського-Гаусса (В-27), то

. (3.14)

Останнє співвідношення називають першим законом Кірхгофа в диференціальній формі. Воно показує, що лінії густини постійного струму завжди замкнені, в них немає початку і вони ніколи не закінчуються. Дивергенція густини струму завжди дорівнює нулю, що виражає принцип неперервності електричного струму.

Запишемо диференціальну форму закону Ома (3.5) при наявності сторонньої напруги

або

. (3.15)

Візьмемо лінійний інтеграл від обох частин рівняння (3.15) по замкненому контуру електричного кола

. (3.16)

Перетворимо інтеграл в лівій частині останнього рівняння так. Помножимо і розділимо підінтегральний вираз на площу поперечного перерізу провідника . При постійному струмі густина струму по всьому перерізу постійна і збігається за напрямком з елементом довжини, тому

і

.

Якщо в контурі є відгалуження з різними за значенням струмами і опорами, то

,

де – опір окремих ділянок контуру.

В правій частині рівняння (3.16) другий інтеграл дорівнює нулю (замкнений інтеграл береться від напруженості електростатичного поля), а перший інтеграл представляє собою суму е.р.с. (3.8), що входять в досліджуваний контур. Отже,

, (3.17)

що відповідає рівнянню, яке отримують для другого закону Кірхгофа. Тому рівняння (3.15) називають другим законом Кірхгофа в диференціальній формі.

3.5 Диференціальна форма закону Джоуля-Лєнца

Нехай елементарний заряд , який зосереджено в паралелепіпеді (рис.3.2) рухається під дією сил електричного поля. Сила, яка переміщує заряд, дорівнює. Робота, що витрачається для переміщення заряду на відстань

.

Якщо заряд проходить відстань за проміжок часу, то потужність

.

Відношення є струм, що протікає по досліджуваному об’ємі, тому

.

В зв’язку з тим, що є елементом об’єму, то

.

Звідси потужність, віднесена до одиниці об’єму (питома потужність)

. (3.18)

Рівняння (3.18) називають законом Джоуля-Лєнца в диференціальній формі.

Потужність, яка поглинається в деякому провіднику з об’ємом

. (3.19)

Визначимо потужність через інтегральні характеристики (струм, напругу). Для паралелепіпеда (рис.3.2) напруга між його кінцями , а струм що в ньому протікає. Замінимо в (3.19)іна струм і напругу

або

.

Останній вираз можна назвати законом Джоуля-Лєнца в інтегральній формі.