3) Модели таблиц хода роста модальных насаждений

Из табл. 7 приложения выбираются пробные площади заданного (по варианту) класса бонитета и относительной полноты (не более 0,6). Затем, для каждого таксационного показателя строятся графики, где по оси абсцисс откладываются значения возраста, а по оси ординат значения таксационного признака. Графики строятся для высоты, диаметра, числа стволов, суммы площадей сечений (абсолютных значений). Возрастные изменения таксационных показателей выравнивают сначала графически, затем аналитически (см следующий раздел). Выровненные значения таксационных показателей заносят в таблицу хода роста, которая и будет характеризовать динамику модального насаждения. Недостающие показатели: запас, видовое число, средний прирост, текущий прирост находят по формулам (3.7) – (3.10). Они также заносятся в таблицу.

4. Функции аппроксимации динамики таксационных

показателей древостоев

Известно более 77 функций, применяющихся для описания лесообразовательных процессов. Нам важны те из них, которые путем преобразований можно свести к линейной функции и использовать непосредственно при расчетах. По литературным источникам такие функции были подобраны. Они рассмотрены ниже. В курсовой работе студенты, описывая расчетные данные, анализируют все указанные функции, затем выбирают из них ту, которая наилучшим образом описывает динамику таксационного признака.

1) Линейная регрессия имеет следующий вид:

у_t = а + bх. (4.1)

Параметры уравнения находят по методу наименьших квадратов.

Для того чтобы найти параметры модели, необходимо приравнять нулю первые производные по каждому из коэффициентов. Решая систему уравнений с k неизвестными, находим значения коэффициента a_i.

Параметры b и а вычисляются по формулам

; (4.2)

(4.3)

Параметр b называют коэффициентом регрессии. Он характеризует угол наклона линии регрессии над осью абсцисс. Параметр а является свободным коэффициентом линейного уравнения и указывает на начальную величину анализируемого признака, отсекаемую линией регрессии на оси ординат при значении аргумента, равном нулю.

В реальном мире большинство функций роста являются нелинейными по параметрам. При таких функциях для минимизации функционала необходимы методы нелинейного программирования. Однако понимание очень простых линейных связей способствует пониманию также и нелинейных отношений. Есть кривые, которые путем простейших преобразований левой или правой частей уравнения можно свести к линейному тренду. Такие функции являются внутренне линейными. К этому классу относится часть функций дробных и степенных преобразований. Расчеты с ними можно проводить при наличии калькулятора. В тал. 4.1 показан пример расчета хода роста в высоту лиственничников.

Таблица 4.1. Динамика высот лиственничников V класса бонитета

А	t	t2	yt / lnyt = Yt	yt 2 / Yt2	t yt / t Yt
20	1	1	5,60 1,722	31,36 / 2,96	5,60 / 1,72
40	2	4	6,08 1,805	36,97 / 3,26	12,16 / 3,61
60	3	9	6,85 1,924	46,92 / 3,70	20,55 / 5,77
80	4	16	8,07 2,088	65,12 / 4,36	32,28 / 8,35
100	5	25	8,39 2,127	70,39 / 4,52	41,95 / 10,64
120	6	36	9,14 2,212	83,54 / 4,90	54,84 / 13,27
140	7	49	11,00 2,398	121,00 / 5,75	77,00 / 16,79
160	8	64	11,96 2,481	143,04 / 6,16	95,68 / 19,85
180	9	81	14,90 2,701	224,70 / 7,30	134,91 / 24,31
200	10	100	15,74 2,756	247,75 / 7,60	157,40 / 27,56
220	11	121	15,13 2,717	228,92 / 7,38	166,43 / 29,89
	66	506	112,95 24,931	1299,71 / 57,89	798,80 / 161,76

Примечание: А – возраст, лет; t – нормированный возраст; y_t^" – высота древостоя лиственницы, м.

Подставляя в уравнения (4.2) и (4.3) итоговые данные табл. 4.1, находим параметры b и a:

b = 11  798,80  66  112,95 / 11  506  (66)².

b = 8786,8  7454,7 / 1210 = 1332,1 / 1210 = 1,1009.

a = 112,95 / 11  1,1009  66 / 11 = 10,268  6,605 = 3,663.

Подобранное уравнение можно использовать для прогноза высоты древостоя лиственницы. Расчеты показывают, что анализируемое насаждение, при отсутствии пожаров, к 240 летнему возрасту будет иметь высоту 16,9 м:

y₁₂  = 3,663 + 1,1009  12 = 16,87 м.

Конечно, эти данные отличаются от фактической высоты, однако их можно использовать как ориентир при расчетах продуктивности древостоев.

2) Простая экспоненциальная кривая. Для описания биологических и лесохозяйственных процессов широко применяют простую экспоненциальную кривую. Она описывается уравнением вида

у_t = аe^вt, (4.4)

или y_t = e^a+bt, где а = ln a, или y_t  = a(b)t, где b = e^b.

Чтобы перейти к линейному виду регрессии, от обеих частей уравнения (4.4) надо взять натуральный логарифм

ln y_t = ln a + b t lnе, при этом ln e = 1.

Переобозначим зависимую переменную ln y_t = Y_t , и уравнение (4.4) можно записать в новом виде:

Y_t = a + b t.

В этом уравнении a (= ln a) и b могут быть найдены с помощью стандартной процедуры линейного регрессионного анализа, которая рассмотрена в табл. 4.2.

Таблица 4.2. Подгонка экспоненты

Переменная	Зависимая	Независимая
Вид преобразования	Yt = ln yt	T
n = 11	Yt = 24,93; Yt2 = 57,89	t = 66; t2 = 506; tYt = 161,76

Примечание: по данным, приведенным в табл. 4.1.

b = 11  161,76 – 66  24,931 / 11  506  66² = 1779,36  1645,45 / 1210 =

133,91 / 1210 = 0,1105;

а = 24,931  0,1105  66 / 11 = 24,931 – 7,293 / 11 = 1,6034

а = antiln 1,603 = 4,970;

y_t  = 4,970e ^{0,1105 t}.

С помощью уравнения (4.4) можно прогнозировать рост древостоев в высоту. Например, для t, равного 12, значение зависимой переменной будет равно y₁₂ = 4,97e^1,326 = 18,7 м.

Важное свойство простой экспоненты − темп роста. При b > 0 он постоянен для любого отрезка времени на этой кривой. В экономических расчетах ее используют для оценки темпов инфляции, в биологических исследованиях − темпов роста.

3) Степенная кривая. Уравнение степенной кривой передается следующими параметрами:

у_t^ = аt^b. (4.5)

Если взять натуральный логарифм от обеих частей уравнения, оно примет следующий вид: ln y_t^" = ln a + b ln t. Обозначим зависимую переменную ln y_t как Y_t, а независимую переменную t как T = ln t. Тогда степенное уравнение можно записать следующим образом:

Y_t = a + bT.

Для вычисления значений а (= antiln a) и b применяется стандартная процедура линейной регрессии, итоговые данные которой приведены в табл. 4.3.

Таблица 4.3. Подгонка степенной кривой

Переменная	Зависимая	Независимая
Вид преобразования	Yt = ln yt	T = ln t
n = 11	Yt = 24,93, Yt2 = 57,89	T = 17,50 T2 = 33,40 TYt = 42,28

Примечание: по данным, приведенным в табл. 5.1.

b = 11  42,28 - 17,50  24,93 / 11  33,40  (17,5)2 = 468,08  436,28 / 60,15 =

= 31,8 / 60,15 = 0,529.

a = 24,93  0,529  17,5 / 11 = 1,425.

y_t = 4,549 t ^0,529.

Степенная кривая при b = 1 имеет вид y_t = a/t. Это уравнение задает гиперболу, асимптотами которой являются оси координат, а произведение (y_t t = a) постоянно. В экономике этому условию удовлетворяет кривая спроса с единичной эластичностью: процент увеличения единицы времени t приводит к такому же проценту уменьшения зависимой переменной y_t. Прогноз на 2001 г. составил: y₁₂= 4,549  12 ^0,529 = 15,79 м .

4) Гиперболическая функция I типа. Гипербола I типа задается уравнением

y_t  = a+b/t. (4.6)

К линейному виду ее приводят простым преобразованием независимой переменной t, заменяя ее на выражение 1/t = T. Тогда уравнение (4.6) перепишется в следующем виде

y_t = a + bT .

Значения параметров a и b находятся стандартными методами регрессионного анализа. Результаты расчетов сведены в табл. 4.4.

Таблица 4.4. Подгонка гиперболической кривой I типа

Переменная	Зависимая	Независимая
Вид преобразования	уt	T = 1/t
n = 11	yt = 112,95; yt2 = 1299,71	T = 3,02; T2 = 1,56; T yt" = 23,82

Примечание: по данным, приведенным в табл. 4.1.

Параметр b = (n Ty_t  T y_t ) / [nT²  (T)²];

b = 11  23,82  3,02  112,95 / 11  1,56  (3,02)²;

b = 262,02  341,11 / 8,04 = 78,91 / 8,04 =  9,82.

Параметр a = (y_t - b T) / n = (112,95 + 9,82  3,02) / 11 = 12,97.

Уравнение гиперболы имеет следующий вид: y_t = 12,97  9,82 / t.

При значениях b > 0 значение y_t уменьшается, с увеличением t − асимптотически приближается к a. При значении b < 0 зависимая переменная положительна при условии, если t > b/a. Увеличение t в этом случае приводит к увеличению y_t” с асимптотической границей, равной а. Прогноз роста в высоту с помощью уравнения гиперболы I типа составил

y₁₂ = 12,97  9,82 / 12 = 12,16 м.

По сравнению с другими уравнениями гипербола I типа дала самый минимальную высоту. Но это еще не говорит о том, что ее нельзя использовать для прогноза. Прогностические возможности функций определяются доверительными интервалами.

5) Гиперболическая кривая II типа. Гиперболическая кривая II типа имеет выражение

y_t = 1/(a + bt). (4.7)

К линейному виду, в отличие от гиперболы I типа, уравнение (4.7) приводят с помощью обратного преобразования зависимой переменной y_t^.. Таким образом, если Y_t = 1/ y_t , то уравнение (4.7) можно переписать в таком виде:

Y _t = a + bt.

Дальнейшие расчеты с новым уравнением проводятся согласно стандартной процедуре линейной регрессии. Итоговые данные приведены в табл. 4.5.

Таблица 4.5. Подгонка гиперболической кривой II типа

Переменная	Зависимая	Независимая
Вид преобразования	Yt = 1/yt	T = t
n = 11	Yt = 1,212; Yt2 = 0,0015	t = 66; t2 = 506;  tYt = 5,96

Примечание: по данным, приведенным в табл. 4.1.

Параметр b = ( n tY_t  tYt ) / [ (nt²  (t)² ];

b = ( 11  5,96 – 66  1,212 ) / ( 5566 – 4356 ) = ( 65,56 - 79,99 ) / 1210 =

 14,43 / 1210 =  0, 01193.

a = ( Y_t  bt ) / n = ( 1,212 + 0,01193  66 ) / 11 = 1,999 / 11 = 0,1818.

y_t = 1/(0, 1818  0,01193 t). Прогноз на 2001 г. составил:

y₁₂ = 1 / ( 0,1818  0,01193  12 ) = 25,91 м.

Для этого типа гиперболы при b>0 значения зависимой переменной стремятся к нулю. При b<0 y_t стремится к бесконечности.

6) Гиперболическая кривая III типа. Гиперболическая кривая задается уравнением вида:

y_t = t/(a + bt ) (4.8)

Ее часто называют простой рациональной зависимостью. К линейному уравнению гипербола III типа сводится путем перехода к обратным величинам преобразования зависимой (Y_t = 1/y_t" ) и независимой (T = 1/t ) переменных. Новое уравнение записывается в виде

Y_t = aT + b.

Значения a и b находятся стандартным способом с помощью линейной регрессии методом наименьших квадратов. Но следует помнить, что смысл коэффициентов уравнения изменился. Они как бы поменялись местами. Для уравнения (4.8) параметр a = b и b = a. Итоговые данные подгонки гиперболы III типа приведены в табл. 4.6.

Таблица 4.6. Подгонка гиперболической кривой III типа

Переменная	Зависимая	Независимая
Вид преобразования	Yt =1/yt	T =1/t
n = 11	Yt = 1,212; Yt2 = 0,0015	T = 3,02 T2 = 1,56  T yt = 0,426

Примечание: по данным, приведенным в табл. 4.1.

b = ( n T y_t  TY_t )/[ ( nT²  (T)²] =

= (11  0,426  3,02  1,212 )/(17,16  9,12) = 0,128.

a = (Y_t  bT)/n = (1,212  0,128  3,02)/11 = 0,825/11 = 0,075.

Уравнение гиперболы III типа имеет следующие конкретные параметры: y_t= t/(0,128 + 0, 075t ).

Но для выполнения расчетов надо помнить, что параметр a = b = 0,128 и b = a = 0,075. Прогноз для t = 12 будет равен:

y₁₂ = 12/( 0,128 + 0,075  12 ) = 12/1,028 = 11,67 м.

Для этого типа гиперболы при t, равном 0, y_t = 0 независимо от значений параметра b. Если b  величина положительная, значение y_t возрастает и асимптотически стремится к величине 1/b при неограниченном увеличении t. При отрицательных значениях параметра b эта кривая становится неустойчивой при t = a/b.

7) Логарифмическая кривая. Этот тип кривой задается следующим уравнением:

y_t = a + b ln t. (4.9)

Заменяя в уравнении (4.9) ln t на T, мы приводим его к линейному виду

y_t = a + b T.

Теперь, используя данные табл. 4.1, параметры нового уравнения можно найти по стандартной процедуре линейной регрессии.

b = (nTy_t   Ty_t)/[nT²  (T)² = (11  203,43  17,5  112,95)/[11  33,4 –

(17,5)²] = 261,11/60,15 = 4,341.

a = (y_t  b T)/n = (112,95  4,341  17,5)/11 = 36,98/11 = 3,362.

Таблица 4.7. Подгонка логарифмической кривой

Переменная	Зависимая	Независимая
Вид преобразования	yt	T = ln t
n = 11	yt = 112,95; yt2 = 1299,71	T = 17,50 T2 = 33,40  T yt = 203,43

Параметры логарифмического уравнения определены. Оно принимает следующий вид: y_t = 3,362 + 4,341lnt.

Прогноз составил: y₁₂ = 3,362 + 4,341 ln 12 = 14,15 м.

8. S-образная кривая. S-образная кривая определяется выражением:

y_t = e^a+b/t. (4.10)

Если от обеих частей уравнения (4.10) взять натуральный логарифм, оно примет следующий вид:

ln y_t = a + b/t.

После логарифмического преобразования зависимой переменной (Y_t = ln y_t) и обратного преобразования независимой переменной (T= 1/t) уравнение трансформируется в линейную функцию:

Y_t = a + b T.

Коэффициенты a и b вычисляются стандартным способом (табл. 4.8)

Таблица 4.8. Подгонка S-образной кривой

Переменная	Зависимая	Независимая
Вид преобразования	Yt = ln yt	T = 1/t
n = 11	Yt = 24,93 Yt2 = 0,0015	T = 3,02 T2 = 1,56  T Yt = 6,03

b = (n T Y_t  TY_t )/[ nT²  (T)²] = (11  6,03  3,02  24,93)/[11  1,56 –

(3,02)²] = 8,86/8,04 =  1,10;

a = (Y_t  b T )/ n = (24,93 + 1,10  3,02) / 11 = 28,25/11 = 2,568.

Уравнение (4.10) имеет следующий вид:

y_t = e^{2,568  1,10/t}.

По этому уравнению можно находить выровненные значения зависимой переменной и прогноз на перспективу: y₁₂ = e^{2,568  1,10/12} = 11,9 м.

S-образную форму эта кривая имеет при двух условиях: отрицательном значении параметра b и его абсолютном превышении над параметром а. В нашем примере соблюдено только одно условие, поэтому кривая не имеет точки перегиба. Надо отметить, что S-образные кривые широко используются в научных исследованиях при описании динамических процессов. Для них характерен замедленный рост в начальный период, затем наступает стадия активного роста, которая в завершении асимптотически приближается к некоторому уровню, близкому значению e^а. Для S-образной кривой точкой перегиба (время, в котором рост коэффициента наклона касательной сменяется падением) будет точка

t =  b/2. Более формально точка перегиба характеризуется скоростью роста анализируемого признака, и там, где он достигает своей максимальной величины, будет точка перегиба. Математически она находится решением уравнения f (t) = 0, где f − вторая производная по t кривой f. Решая дифференциальное уравнение для S-образной кривой, получаем, что t = –b/2. Отсюда, меняя параметр b, можно подобрать для S-образной кривой свои точки перегиба. Например, при b = 10 точка перегиба t будет равна 5. А это соответствует 100-летнему возрасту. На практике подобные зависимости не часто описывают S-образной кривой. Для этой цели используют кривую Гомперца и логистическую функцию.

9) Обратнологарифмическая кривая. Это уравнение записывается в следующем виде:

y_t = 1/(a + blnt). (4.11)

Для зависимой переменной y_t выполним обратное преобразование (Yt = 1/ y_t), а для независимой t – логарифмирование (T = ln t). После этого уравнение (4.11) можно записать как линейное:

Y_t = a + bT.

Параметры а и b теперь можно найти с помощью стандартной процедуры линейной регрессии. Итоговые данные расчетов помещены в табл. 4.9.

Таблица 4.9. Подгонка обратнологарифмической кривой

Переменная	Зависимая	Независимая
Вид преобразования	Yt = 1/yt	T = ln t
n = 11	Yt = 1,22 Yt2 = 0,0015	T = 17,50 T2 = 33,23  T Yt = 1,64

Примечание: по данным, приведенным в табл. 4.1.

b = (nTY_t  TY_t)/[nT²  (T)²] = (11  1,64  17,5  1,22)/[11  33,23  (17,5)² = (18,04  21,35)/365,5  306,25] =  3,31/59,25 =  0,05586.

a = (Y_t  bT)/ n = (1,22 + 0,05586  17,5)/11 = 2,1976/11 = 0,1999.

Уравнение (4.11) запишем в следующем виде: y_t = 1/(0,1999  0,05586 ln t).

Прогноз на следующее десятилетие равен: y₁₂ = 1/(0,1999  0,05586 ln12) = 1/0,0611 = 16,36 м.

Применение обратнологарифмической кривой в практике прогнозирования обусловлено в первую очередь возможностью перехода к линейному уравнению через логарифмирование и обратное преобразование. Для описания биологических процессов это наименее удачная функция. Иногда ее привлекают для описания коротковосстановительных стадий лесообразовательного процесса.

10) Оценка подобранных уравнений регрессии. Чтобы выбрать из подобранных уравнений регрессии лучшее, осуществляют их оценку. Для этого вычисляют дисперсию зависимой переменной в зависимости от t и сравнивают ее с общей дисперсией, которая не зависит от t. Любая линия регрессии, включая и подобранные, проходит через среднюю точку. Для линейного уравнения средние значения будут следующие: y = 10,26 и t = 6.

Общая дисперсия ряда наблюдений измеряется суммой квадратов разностей (отклонений) между фактическими значениями признака y_t и их средним значением у. Таким образом, общая дисперсия _общ может быть вычислена по формуле

 _общ =  (y_t  y)², (4.12)

где y = 1/n  y_t .

При вычислении лучше пользоваться формулой

 _общ = y_t²  ( y_t)²/n.

Для данных, помещенных в табл. 4.1, общая дисперсия составила  _общ= 1299,71  112,95²/11 = 139,92.

Подобранные уравнения регрессии связывают определенную часть дисперсии. Естественно, чем теснее связь между зависимой и независимой переменными, тем большая доля дисперсии будет объясняться регрессией. Эту часть дисперсии называют объясняемой (_объяс). Она измеряется суммой квадратов отклонений между выравненными экспериментальными данными y_t и их средним значением y. Последнее вычисляется по формуле y = 1/ n y_t.

Итак, формула для вычисления объясняемой дисперсии имеет вид

_объяс=  (y_t  y)². (4.13)

Для облегчения расчетов ее лучше переписать в другом виде

_объяс = b² [ t²  (t)² /n],

или

_объяс = a y_t + bt y_t  1/n(t)².

Для примера с ростом древостоев объясняемая дисперсия линейного уравнения равна

_объяс = 1,10² [506  66² / 11] = 1,21/110 = 133,32,

или

_объяс = 3,7  112,9 + 1,10  798,8 – 1/ 11  112,95² = 134,61.

Дисперсию, которую нельзя объяснить с помощью подобранного уравнения, называют остаточной (_ост). Она вычисляется как сумма квадратов разностей между фактическими значениями y_t и выравненными по уравнению регрессии y_t:

_ост =  (y_t  y_t)². (4.14)

Иногда ее находят как разность между общей и объясняемой дисперсией:

_ост = _общ  _объяс = 139,92  134,61 = 5,31.

Ее можно найти по следующему уравнению:

_ост = y_t²  ay_t  bt y_t. (4.15) (5.15)

Подставим значения сумм из табл. 4.1 в уравнение (4.15)

_ост = 1299,71 3,663  112,95  1,1009  798,8 = 7,22.

Некоторое несовпадение данных остаточной дисперсии, рассчитанной по разным формулам (26 %), объясняется округлением значений а и b.

Все виды дисперсии сведены в табл. 4.10.

Таблица 4.10. Виды дисперсии в регрессионном анализе

Вид дисперсии	Краткое описание	Формулы расчета
Объясняемая	Варьирование значений анализируемого признака, которые объясняются регрессией	b2(t2  (t)2/n или ayt + bt yt  yt2/n
Остаточная	Разброс значений анализируемого признака, которые не могут быть объяснены регрессией, т. е. варьирование отклонений фактических значений признака от выровненных	yt2  ayt  bt yt
Общая	Общее поле варьирования зависимой переменной	yt2  (yt)2/n

Виды дисперсии косвенно характеризуют тесноту связи между анализируемыми признаками. Количественным выражением этой связи являются коэффициент корреляции  и корреляционное отношение или коэффициент детерминации ²:

при  = 0 связи между y и t нет;

при  +1 связь тесная положительная;

при 1 связь тесная отрицательная.

Коэффициент детерминации (квадрат коэффициента корреляции) определяется как доля общей дисперсии к объясняемой:

² = _объяс/ _общ (4.16)

С помощью формул из табл. 4.10 можно получить формулу для расчета коэффициента детерминации (коэффициент корреляции, возведенный в квадрат):

²= b²t2  (t)²/n/y_t²  (y_t)²/n (4.17)

Для нашего примера коэффициент детерминации равен

² = 134,61/139,92 = 0,962.

Извлекая корень квадратный, получаем коэффициент корреляции  = 0,926.

Коэффициент детерминации всегда величина положительная, в отличие от коэффициента корреляции.

Важным аспектом анализируемых функций является возможность их использования для прогноза изучаемого процесса. Прогноз должен быть реальным. Для этого определяют доверительный интервал или конкретные границы, в которых с определенной степенью уверенности можно ожидать появления прогнозируемого признака. Например, значение прогноза, равное 200, с доверительным интервалом, равным 30, означает, что с 95 %-й степенью уверенности можно ожидать, что будущее значение признака будет находиться в пределах от 170 до 230. Естественно, чем больше доверительный интервал, тем выше степень уверенности при прогнозе. Минимальная величина доверительного интервала равна средней величине наблюдаемого признака y и t.

Чтобы определить доверительный интервал, необходимо найти стандартную ошибку уравнения. Ее часто называют среднеквадратическим отклонением. Она определяется как корень квадратный из суммы квадратов отклонений выравненных значений y_t и их фактических значений y_t, деленной на n без 2 степеней свободы. Размерность степеней свободы зависит от количества оцениваемых параметров уравнения. Таким образом,

, (4.18)

где - стандартная ошибка уравнения (среднекавдратическое отклонение).

Сумму (y_t  y_t)² можно вычислить как разность между общей суммой квадратов и суммой квадратов выравненных значений.

Стандартная ошибка прогноза находится по формуле:

. (4.19)

Она зависит от числа наблюдений n и расстояния от середины периода до момента прогноза (t  t). При большом количестве n отношение 1/n стремится к нулю. И чем дальше прогнозируемый период от середины наблюдения, тем больше ошибка.

Для вычисления стандартной ошибки прогноза отсчет лучше делать от последнего года наблюдения t. Тогда, если период упреждения принять равным r, то в уравнении (4.19) выражение (t  t) необходимо заменить на выражение r + (n  1)/2. Такая процедура переобозначения переменной называется стандартным прогностическим переобозначением. С учетом этих преобразований уравнение (5.19) можно записать как

. (4.20)

Подставляя значения вычисленных сумм, находим ошибку прогноза и его доверительные интервалы. Для получения прогноза с точностью не ниже 99 % его доверительные границы равны 3S_yt+r , 95 % - 2S_yt+r и 68 % - S_yt+r соответственно.

Для линейного уравнения стандартная ошибка прогноза в 220 лет составила:

= 0,87  1,19 = 1,02 м.

Следовательно, с 95 %-й точностью можем быть уверены, что рост лиственничников в 220 лет не будет больше 18,89 (16,87  2  1,02) и меньше 14,85 (16,87  2  1,02) м.

Выбор лучшей кривой при подгонке теоретических данных к экспериментальным, как правило, осуществляют по величине коэффициента корреляции. Для наших кривых вместе с параметрами подобранных уравнений регрессии он помещен в табл. 4.11.

Таблица 4.11. Параметры уравнений регрессии и коэффициенты корреляции

Вид регрессии	Параметр а	Параметр b	Коэффициент корреляции
Линейная	3,663	1,1009	0,926 (4)
Экспонента простая	4,968	1,326	0,963 (1)
Cтепенная	4,549	0,529	0,892 (5)
Гиперболическая I типа	12,973	- 9,820	0,597 (9)
Гиперболическая IIтипа	0,1818	- 0,01193	0,956 (2)
Гиперболическая III типа	0,128	0, 075	0,784 (7)
Логарифмическая	3,362	4,341	0,810 (6)
S-образная	2,568	-1,106	0,704 (8)
Обратнологарифмическая	0,1999	-0,05586	0,930 (3)

По коэффициентам корреляции лучше всех исходные данные описывает простая экспонента, затем гипербола II типа и обратнологарифмическая функции. При подгонке (аппроксимации) аналогичных исходных данных им следует отдавать предпочтение перед другими кривыми. В лесоводственных исследованиях возраст обычно не нормируется. При отсутствии вычислительной техники для облегчения и ускорения расчетов к этому преобразованию можно прибегать. Суть регрессии от этого не меняется. Не снижается и точность описания исходных данных.

11) Модифицированная экспонента. Характеризуя рассмотренные выше функции, следует отметить, что все они описывают ситуации, когда коэффициент наклона касательной имеет либо отрицательный, либо положительный знак. Однако чаще всего в природе, особенно лесных биогеоценозах, встречаются случаи, когда изучаемый признак изменяется неравномерно. Другими словами, кривая, описывающая этот процесс, имеет точку перегиба или на кривой есть точка, где рост наклона касательной сменяется ее падением или наоборот: падение заменяется ростом. Такой рост характерен для экономических и биологических процессов. При их описании чаще всего используют логистическую и кривую Гомперца. Обе эти кривые могут быть получены из модифицированной экспоненты

Модифицированная экспонента занимает особое место при описании различных биологических и экономических процессов. Сама по себе кривая не имеет точки перегиба. Ее уравнение выглядит следующим образом:

y_t^ = a + b c^t. (4.21)

Но на ее основе путем определенных преобразований зависимой переменной можно будет получить другие S-образные кривые: логистическую и кривую Гомперца, которые уже имеют точки перегиба и широко используются при изучении динамических процессов в биологии, экологии, экономике. Они будут рассмотрены ниже. Кривые, построенные на базе модифицированной экспоненты, задаются тремя параметрами (ранее мы рассматривали два). В этой связи они более точно описывают исследуемый процесс, но требуют больших вычислительных работ.

Модифицированная экспонента задается тремя параметрами: а, b и с. При их нахождении процедура метода наименьших квадратов неприложима. Для их определения используют метод, описанный Бриантом. Следуя этому методу, первоначально находят параметр c, затем b и a:

(4.22)

(4.23)

(4.24)

Для сравнения точности подгонки исходные данные для вычисления параметров модифицированной экспоненты взяты из табл. 4.1. Данные расчетов сведены в табл. 4.12.

Обозначения зависимой и независимой переменных остались прежними. Напомним, что первое наблюдение соответствует моменту времени t = 1, а Эти условия сохранились и для других функций – логистической и кривой Гомперца.

a = (112,95 + 46,049  9,32312) / 11 = 542,27 / 11 = 49,30.

Уравнение модифицированной экспоненты можно записать в виде

y_t = 49,3  46,049(0,97216) ^t.

Выполненный на его базе прогноз на 220 лет составил 16,3 м.

Модифицированная экспонента не имеет точки перегиба. Но это не означает, что ее нельзя использовать для подгонки к исходным данным и прогнозирования. В природе встречаются такие явления, когда рост в начальный период имеет высокий темп, потом он стабилизируется и длительное время находится на одном уровне. Как показывает практика, этот процесс лучше всех описывает модифицированная экспонента.

Таблица 4.12. Подгонка модифицированной экспоненты

t	yt	yt+1	yt yt+1	Yt2	ct	ct yt	c2t	yt 
1	5,60	6,08	34,048	31,36	0,97216	5,44409	0,94500	4,53
2	6,08	6,85	41,648	36,97	0,94509	5,74682	0,89320	5,80
3	6,85	8,07	55,280	46,92	0,91889	6,29440	0,84416	6,99
4	8,07	8,39	67,707	65,12	089320	7,20901	0,79781	8,17
5	8,39	9,14	76,686	70,39	0,86844	7,28662	0,75401	9,31
6	9,14	11,00	10,540	83,54	0,84416	7,71653	0,71261	10,40
7	11,00	11,96	131,560	121,00	0,82066	9,02825	0,67348	11,51
8	11,96	14,99	179,280	143,04	0,79781	9,54288	0,63651	12,56
9	14,99	15,74	235,943	224,70	0,77560	11,62759	0,60156	13,59
10	15,74	15,13	238,146	247,75	0,75401	11,86938	0,56853	14,57
11	15,13	-	-	-	0,73302	11,09180	0,53732	15,54
n-1  t=1	97,82	107,35	1160,838	1070,79	-	-	-	-
	112,95	-	-	-	9,32312	92,85746	7,96428	-

Примечание: по данным, приведенным в табл. 5.1.

12) Кривая Гомперца. Преобразуя модифицированную экспоненту, получают кривую Гомперца и логистическую кривую. Уравнение Гомперца имеет следующий вид

(4.25)

Возьмем от обеих частей уравнения натуральные логарифмы

ln y_t = ln a + c^t ln b

и вынесем их за его пределы, подставляя вместо них другие обозначения:

Y_t = ln y_t; a = ln a; b = ln b . В итоге получим уравнение Y_t = a + b c^t.

Оно имеет вид модифицированной экспоненты, поэтому для определения его параметров можно использовать формулы (5.22) – (5.24). Подстановку параметров в уравнение (5.25) осуществляют после нахождения антилогарифмов а (= antiln a’) и b (= antiln b’), и только после этого его можно привлекать для вычисления зависимой переменной и прогноза (табл. 4.12.).

b = ;

a = 24,931 + 2,1376 7,04415 / 11 = 3,63532.

Уравнение кривой Гомперца будет иметь следующие параметры

.

Прогноз на 220 г. с помощью уравнения Гомперца составил 16,17 м.

Таблица 4.12. Подгонка кривой Гомперца к модифицированной экспоненте

t	yt	yt+1	yt yt+1	Yt2	ct	ct yt	c2t	yt 
1	1,722	1,805	3,1082	2,966	0,92362	1,59047	0,85307	4,50
2	1,805	1,924	3,4728	3,26	0,85307	1,53979	0,72774	5,77
3	1,924	2,088	4,0173	3,70	0,78792	1,51596	0,62081	6,99
4	2,088	2,127	4,4412	4,36	0,72774	1,51952	0,52960	8.26
5	2,127	2,212	4,7049	4,52	0,67215	1,42966	0,45179	9,34
6	2,212	2,398	5,3043	4,90	0,62081	1,37323	0,38541	10,42
7	2,398	2,481	5,9494	5,75	0,57339	1,37499	0,32878	11,48
8	2,481	2,701	6,7012	6,61	0,52960	1,31394	0,28047	12,52
9	2,701	2,756	7,4440	7,30	0,48915	1,32119	0,23926	13,61
10	2,756	2,717	7,4881	7,60	0,45179	1,24513	0,20411	14,60
11	2,717	-	-	-	0,41728	1,13375	0,17412	15,58
n-1  t=1	22,214	23,209	52,6314	50,51	-	-	-	-
	24,931	-	-	-	7,04415	15,35763	4,79516	-

Примечание: по данным, приведенным в табл. 5.1.

Кривая Гомперца имеет S-образную форму, поэтому ее часто привлекают для описания полного цикла какого-либо биологического процесса или явления. Для определения точек перегиба на этой кривой используют формулы

t_p = 1/ ln c  ln(1/ ln b);

y_{t p} = a / e.

Для нашего примера значения t_p и y_tp составили соответственно

t_p= 1 / 0,079455  ln (1/3,8297) = 10,75 и y_tp =39,914/2,71828 = 13,95 м.

13) Логистическая кривая. Логистическая кривая задается следующим уравнением регрессии:

y_t = 1/(a + bc^t). (4.26)

После выполнения обратного преобразования левой и правой частей уравнения (4.26) оно принимает вид модифицированной экспоненты

Y_t = a + bc^t

где Y_t = 1/ y_t.

Теперь для определения его параметров можно использовать формулы (4.22) – (4.24). Алгоритм их расчета приведен в табл. 4.13. Исходные данные взяты из табл. 4.1.

а = 1,2124 - 0,17572  4,54261/11 = 0,037652.

Итак, логистическая кривая имеет следующие параметры: с = 0,84273; b = 0,17572; а = 0,037652. В общем виде уравнение записывается следующим образом: y_t" = 1/[0,0376652+ 0,17572∙ (0,84273)^t].

Прогнозные значения высот в 220 лет составили:

y_t" = 1/[0,037652+0,17572(0,84273)¹²]=1/0,03765+0,022547=16,62 м.

Таблица 4.13. Подгонка логистической кривой к модифицированной экспоненте

T	Yt=1/yt	Yt+1	Yt Yt+1	Y t 2	ct	ct Yt	c2t	yt 
1	0,1786	0,1645	0,02941	0,031898	0,84273	0,15051	0,71019	4,50
2	0,1645	0,1460	0,02402	0,027060	0,71019	0,11683	0,50437	5,77
3	0,1460	0,1239	0,01809	0,021316	0,59850	0,08746	0,35820	6,99
4	0,1239	0,1192	0,01477	0,015351	0,50437	0,06251	0,25439	8.26
5	0,1192	0,1094	0,01304	0,014208	0,42505	0,05072	0,18067	9,34
6	0,1094	0,0909	0,00994	0,011968	0,35820	0,03919	0,12831	10,42
7	0,0909	0,0836	0,00760	0,008263	0,30187	0,02744	0,09112	11,48
8	0,0836	0,0667	0,00558	0,006989	0,25439	0,02127	0,06472	12,52
9	0,0667	0,0635	0,00424	0,004449	0,21438	0,01430	0,04596	13,61
10	0,0635	0,0661	0,00420	0,004032	0,18067	0,01147	0,03264	14,60
11	0,0661	-	-	-	0,15226	0,01006	0,02318	15,58
n-1  t=1	1,1463	1,0338	0,13087	0,146073	-	-	-	-
	1,2124	-	-	-	4,54261	0,591674	2,393754	-

Для логистической кривой точка перегиба равна

=; y_tp = 1/2a = 1/ 0,0753 = 13,28 м.

Точки перегиба принадлежат анализируемой кривой. Прирост в высоту в этом году достиг максимума 2,94 м.

Заключение

В заключении кратко подводятся итоги моделирования хода роста древостоев. Дается анализ регрессионным уравнениям, использовавшимся для описания динамики таксационных показателей. Указывается наиболее приемлемая функция достаточно хорошо описывающая изучаемый процесс. Дается рекомендация разработанным нормативам для решения теоретических и практических вопросов лесного дела.

Список литературы

1. ОБЩЕСОЮЗНЫЕ нормативы для таксации лесов / В.В.Загреев и др. Колос. 1992. 495 с.

2. АНТАНАЙТИС В.В., ТЯБЕРА А.П., ШЯПЯТЕНЕ Я.А. Законы, закономерности роста и строение древостоя: Методическое пособие. Каунас, 1986. 60 с.

3. АТРОЩЕНКО О.А. Математические модели в лесоустройстве // Лесоведение. 1990. № 1. С.13-20.

4. ЛОСИЦКИЙ К.Б., ЧУЕНКОВ В.С. Эталонные леса. 2-е изд. перераб. М., 1980. 192 с.

5. СПРАВОЧНИК для учета лесных ресурсов Дальнего Востока. / Справочное издание. Состав. В.Н.Корякин. Хабаровск. 2010. 527 с.

П р и л о ж е н и е

Таблица 1. Индексы типов роста в высоту

Возраст, лет	Типы роста
	1	2	3	4	5	6	7
10	217	188	159	130	101	72	43
20	431	373	315	257	199	141	82
30	620	545	470	395	320	245	170
40	748	678	598	518	438	358	278
50	859	782	705	628	551	474	397
50	919	854	789	724	659	594	530
60	919	854	789	724	659	594	530
70	953	905	867	809	761	713	665
80	973	943	913	889	853	823	793
90	989	975	961	947	933	919	905
100	1000	1000	1000	1000	1000	1000	1000
110	1009	1023	1037	1051	1065	1079	1093
120	1012	1039	1066	1093	1121	1148	1175
130	1024	1059	1094	1129	1164	1199	1234
140	1029	1073	1117	1161	1205	1249	1293
150	1034	1086	1138	1190	1242	1294	1346
160	1039	1098	1157	1216	1275	1334	1393
170	1046	1111	1176	1241	1306	1371	1436
180	1050	1123	1194	1265	1336	1407	1478
190	1052	1128	1204	1280	1356	1432	1508
200	1059	1139	1219	1299	1379	1459	1539
210	1063	1146	1229	1312	1395	1478	1561
220	1067	1153	1239	1325	1411	1497	1583

Таблица 2. Индексы типов роста по среднему диаметру

Возраст, лет	Типы роста
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
20	308	294	284	272	260	248	234	224	212	200	188	176
30	457	442	426	410	392	374	357	338	319	299	279	257
40	596	574	551	528	504	479	455	431	406	380	354	326
50	709	686	663	638	612	586	560	532	503	474	443	411
60	820	793	765	736	706	675	645	614	583	552	520	488
70	892	870	847	823	798	772	747	720	692	664	634	603
80	944	930	914	896	878	859	840	820	798	775	760	723
90	970	963	956	948	941	933	925	917	908	900	891	881
100	1000	1000	1000	1000	1000	1000	1000	1000	1000	1000	1000	1000
110	1026	1032	1039	1045	1052	1060	1067	1074	1082	1090	1098	1107
120	1034	1047	1060	1074	1088	1104	1120	1136	1153	1170	1187	1207
130	1046	1067	1088	1110	1133	1157	1180	1205	1231	1257	1284	1313
140	1054	1082	1110	1139	1167	1198	1220	1254	1289	1325	1362	1400
150	1074	1096	1128	1162	1198	1234	1270	1308	1348	1388	1430	1474
160	1075	1110	1146	1184	1224	1226	1310	1354	1339	1445	1493	1543
170	1088	1127	1167	1208	1251	1295	1341	1391	1451	1502	1554	1608
180	1098	1141	1185	1230	1277	1325	1375	1428	1484	1542	1602	1664
190	1109	1156	1204	1253	1305	1358	1412	1467	1525	1584	1646	1710
200	1121	1170	1220	1273	1328	1384	1441	1499	1560	1621	1684	1750
210	1131	1182	1236	1292	1353	1412	1466	1526	1589	1653	1716	1783
220	1143	1194	1253	1313	1376	1433	1489	1553	1620	1679	1743	1805

Таблица 3. Индексы типов роста по видовому числу

Возраст, лет	Типы роста
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
20	1220	1308	1390	1470	1566	1674	1788	1918	2058
30	1150	1225	1302	1381	1461	1543	1626	1710	1796
40	1102	1160	1220	1280	1341	1403	1466	1532	1603
50	1701	1115	1160	1205	1250	1296	1342	1387	1434
60	1043	1074	1105	1136	1168	1200	1232	1264	1298
70	1024	1043	1063	1082	1102	1122	1142	1161	1181
80	1012	1024	1036	1049	1061	1072	1083	1094	1105
90	1005	1010	1015	1020	1025	1030	1035	1040	1045
100	1000	1000	1000	1000	1000	1000	1000	1000	1000
110	993	987	981	975	970	965	960	955	950
120	993	983	973	964	955	946	937	928	920
130	993	979	966	953	940	927	914	901	889
140	991	973	955	938	921	905	890	875	860
150	990	970	951	932	913	895	877	860	843
160	990	969	948	927	906	885	865	847	829
170	989	966	943	921	898	876	855	834	814
180	985	961	939	916	894	871	851	830	810
190	981	956	933	911	889	867	846	826	806
200	979	954	930	906	883	862	842	822	801
210	978	953	929	905	880	860	840	820	800
220	976	952	928	904	879	857	838	819	798

Таблица 4. Индексы типов роста по сумме площадей сечений

Возраст, лет	Типы роста
	1	2	3	4	5	6	7
20	603	510	417	323	235	151	80
30	716	622	528	433	339	246	151
40	809	713	617	521	425	329	233
50	884	793	702	611	519	428	337
60	942	861	780	699	618	537	456
70	981	916	851	786	721	655	590
80	999	953	907	861	815	769	723
90	1006	981	957	932	908	883	853
100	1000	1000	1000	1000	1000	1000	1000
110	979	1003	1030	1057	1081	1105	1129
120	960	1007	1056	1109	1155	1202	1249
130	930	1003	1084	1156	1228	1300	1372
140	899	1000	1099	1199	1290	1390	1490
150	879	992	1119	1239	1359	1479	1599
160	843	986	1127	1269	1411	1552	1694
170	828	979	1140	1296	1452	1609	1765
180	807	976	1145	1315	1484	1653	1822
190	786	965	1149	1324	1503	1682	1861
200	769	963	1154	1329	1515	1701	1887
210	753	959	1154	1332	1524	1715	1907
220	738	956	1154	1332	1530	1728	1926

Таблица 5. Индексы типов роста по запасу

Возраст, лет	Типы роста
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
20	355	280	230	185	145	106	66	40	15
30	481	406	334	272	219	164	110	66	26
40	597	523	440	365	295	236	174	119	64
50	692	622	552	482	412	342	272	202	132
60	780	721	662	602	543	484	424	365	306
70	869	820	772	723	674	626	677	528	480
80	920	886	853	819	785	752	718	684	650
90	972	953	934	915	896	877	858	839	820
100	1000	1000	1000	1000	1000	1000	1000	1000	1000
110	1018	1038	1057	1076	1096	1115	1134	1154	1173
120	1023	1062	1104	1141	1179	1218	1256	1295	1335
130	1035	1092	1149	1206	1263	1320	1377	1435	1492
140	1022	1100	1176	1254	1332	1410	1488	1566	1644
150	1000	1100	1200	1300	1400	0500	0600	0700	1800
160	991	1107	1225	1341	1456	1573	1687	1804	1922
170	980	1110	1251	1382	1512	1642	1772	1902	2032
180	971	1115	1270	1413	1555	1699	1842	1985	2128
190	949	1116	1284	1439	1593	1747	1901	2055	2209
200	937	1120	1297	1463	1629	1795	1962	2127	2290
210	930	1123	1307	1495	1669	1842	2015	2184	2353
220	922	1119	1317	1515	1702	1887	2071	2242	2414

Таблица 6. Индексы типов роста по текущему приросту запаса

Возраст, лет	Типы роста
	1	2	3	4	5	6	7
10	730	680	580	450	300	170	120
20	1660	1300	1050	840	650	440	270
30	2406	1696	1376	1106	856	626	411
40	2588	1966	1601	1301	1026	766	516
50	2473	1986	1664	1380	1114	878	642
60	2158	1853	1613	1387	1170	960	735
70	1825	1647	1487	1337	1176	1026	843
80	1525	1409	1322	1245	1165	1054	948
90	1006	981	957	932	908	883	853
100	1000	1000	1000	1000	1000	1000	1000
110	725	787	840	883	913	949	988
120	579	658	721	777	830	882	932
130	463	549	621	686	753	821	886
140	388	468	543	614	683	751	822
150	311	399	479	554	622	687	760
160	267	351	428	500	567	631	703
170	224	304	379	449	514	574	649
180	189	264	336	403	466	524	583
190	162	229	296	360	420	500	529
200	140	205	266	323	376	424	473
210	136	188	242	290	335	377	426
220	132	184	229	269	305	338	402

Таблица 7. Пробные площади

Номер пробной площади	Возраст, лет	Диаметр, см	Высота, м	Число стволов лиственницы, шт./га	Сумма площадей сечений, м2/га	Запас общий, м3/га	Наличный текущий прирост, м3/га	Класс бонитета	Полнота	Состав
14	200	17,7	12,2	790	20,72	158,2	2,837	Va	0,95	9Л1Е
6	310	20,0	15,5	620	19,20	154,0	0,873	Va	0,61	10Л
2	105	30,0	27,0	268	36,45	373,0	2,746	II	0,89	6Л2Е1П1Бб
26	80	30,5	23,3	304	35,96	371,5	3,244	II	1,00	6Л2Е1Ос1Бк
29	60	16,0	18,9	410	21,48	177,5	1,470	III	0,67	6Л3Е1Бб
16	133	23,7	27,0	730	32,93	404,0	4,223	II	0,89	10Л
3	155	29,7	2,0	164	36,53	357,0	2,015	III	1,00	4Л3Бб2П1Е
11	40	14,0	13,0	534	12,21	85,0	2,498	II	0,48	7Л2Бб1Ол
51	100	18,3	19,0	1084	37,12	337,7	5,732	III	1,10	8Л1Е1П
55	60	24,0	19,5	200	32,87	192,3	1,541	II	0,97	5Л2Е2Бб1Ос
18	120	29,6	22,0	240	38,60	342,1	1,546	III	0,93	4Л4Е2П
20	230	24,0	18,8	552	36,21	289,7	1,594	V	0,90	6Л3Е1Бб
29а	140	19,0	16,0	530	15,22	109,3	0,523	V	0,46	10Л
15	100	20,0	22,0	978	22,44	238,8	3,414	III	0,63	8Л2Бб
5	70	16,3	19,0	586	21,00	170,0	2,658	II	0,58	9Л1Бб
25	80	18,5	18,5	788	24,95	214,0	2,110	III	0,75	9Л1Бб
8б	100	24,5	23,0	501	20,90	220,0	2,068	II	0,60	10Л
6	90	19,0	20,0	634	19,57	188,0	1,292	III	0,59	10Л
22	150	28,0	26,0	275	17,60	197,0	1,558	III	0,49	10Л
17	220	25,4	24,0	326	19,1	173,6	1,187	III	0,60	9Л1Е
11а	130	22,0	22,0	349	20,30	222,0	0,747	III	0,60	10Л
22	66	19,7	23,0	892	27,10	319,0	5,470	I	0,80	10Л
6	182	30,5	24,0	105	27,20	268,0	3,582	III	0,90	6Л4Е
24	170	28,4	27,8	163	19,20	247,0	1,582	II	0,52	10Л
8а	80	20,0	20,0	331	14,10	139,0	2,055	II	0,41	9Л1Бб

Продолжение табл.7

Номер пробной площади	Возраст, лет	Диаметр, см	Высота, м	Число стволов лиственницы, шт./га	Сумма площадей сечений, м2/га	Запас общий, м3/га	Наличный текущий прирост, м3/га	Класс бонитета	Полнота	Состав
2	140	41,6	27,0	18	10,24	102,7	0,524	II	0,26	5Л3Ос1Д1Бб
8	220	28,6	16,7	145	18,42	127,0	0,673	V	0,56	7Л2Е1П
15	80	25,5	23,4	290	27,54	224,7	2,629	II	1,00	6Л1Е1П2Бб
23	110	25,0	29,0	342	20,90	406,0	3,413	I	1,00	8Л1Е1П
18	80	23,0	25,1	604	30,96	335,0	4,322	I	0,83	8Л1Бб1Ос
4	80	12,0	18,0	1420	14,62	142,0	3,245	III	0,52	10Л
33	110	20,0	21,0	358	23,50	227,0	2,803	III	0,68	10Л
8б	90	21,2	20,0	18	14,54	139,9	0,648	III	0,41	9Л1Бб
8	140	32,3	25,5	332	33,36	375,8	3,066	III	0,90	8Л2Е
10	180	33,0	27,0	313	24,60	283,0	2,144	II	0,67	10Л
10	180	26,0	25,0	386	27,70	283,0	1,574	III	0,76	8Л2Е
11	235	35,0	27,0	286	2760	330,0	3,136	II	0,66	6Л3Е1П
3	110	18,8	21,2	620	18,50	196,0	2,118	III	0,79	9Л1Е
5	128	2834	24,7	351	24,00	252,0	2,355	III	0,68	9Л1Е
2	120	34,0	31,0	246	22,70	300,0	2,343	I	0,59	10Л
2	90	16,8	15,8	536	12,00	80,0	1,278	IV	0,40	10Л
1	168	25,6	22,0	360	17,97	168,5	0,541	IV	0,54	10Л
1а	150	26,0	25,0	280	14,80	170,0	1,338	III	0,42	10Л
1/9	150	29,0	22,0	104	13,60	110,0	0,831	IV	0,40	6Л2Ос1Д1Бб
22	120	27,2	25,0	364	22,00	253,4	2,617	II	0,60	10Л
1	160	32,0	25,0	208	16,40	180,0	3,675	III	0,45	10Л
7	184	33,7	26,0	318	34,60	401,0	1,940	III	1,10	8Л2Е
8	110	23,4	27,5	456	19,60	360,0	3,626	II	0,80	10Л
2	80	22,5	24,5	250	3,00	244,0	2,012	I	0,65	6Л3Е1П
7	90	21,0	23,0	191	23,80	254,0	2,222	II	0,66	7Л3Бб
8	126	21,2	23,0	857	30,40	362,0	0,793	III	0,85	10Л

Продолжение табл. 7

Номер пробной площади	Возраст, лет	Диаметр, см	Высота, м	Число стволов лиственницы, шт./га	Сумма площадей сечений, м2/га	Запас общий, м3/га	Наличный текущий прирост, м3/га	Класс бонитета	Полнота	Состав
17	100	22,7	24,8	376	21,50	259,0	3,119	II	0,61	9Л1Бб
1	110	20,0	19,4	442	17,90	180,0	3,558	III	0,60	10Л
13	82	17,0	17,0	792	18,90	184,0	2,706	III	0,66	10Л
11б	150	26,0	26,0	219	21,60	250,0	2,136	III	0,59	10Л
10а	180	21,0	21,0	446	28,20	282,0	2,890	IV	0,85	10Л
2	130	21,0	19,0	348	17,42	174,0	0,500	IV	0,60	10Л
34	90	17,0	19,0	522	17,80	164,0	1,542	III	0,54	8Л1Бб1Е
11	165	30,0	28,0	186	25,80	305,0	2,549	II	0,70	10Л
4	170	23,0	20,0	199	15,20	142,0	1,116	IV	0,45	10Л
33	109	19,0	20,3	508	23,80	217,0	1,493	IV	0,70	9Л1Е
7	100	23,0	23,0	404	21,70	265,0	3,832	III	0,70	9Л1Бб
3	130	34,0	23,0	53	14,80	140,0	1,679	III	0,40	6Л4Бб
19	124	19,8	22,0	1133	34,89	367,0	3,376	III	1,00	10Л
11	170	25,0	25,0	450	22,08	335,0	1,561	III	0,85	8Л2Е
4	100	28,0	24,3	532	32,40	340,3	6,201	II	0,90	10Л
22	90	18,3	17,2	582	19,54	135,7	1,408	IV	0,60	7Л2Бб1Е
45	140	24,0	21,0	516	29,20	321,0	3,949	IV	0,90	8Л2Бб
22	70	19,7	23,0	892	27,10	319,0	4,000	I	0,80	10Л
12	60	10,0	15,0	1780	14,00	130,0	2,182	III	0,70	10Л
69а	90	24,0	25,0	592	29,80	334,0	3,411	II	0,80	9Л1Бб
109	170	3,0	27,0	216	21,70	235,0	1,012	II	0,60	10Л
157	130	18,0	18,0	205	13,50	119,0	0,704	IV	0,41	7Л3С
120	110	17,0	17,0	314	12,90	116,0	0,597	IV	0,40	7Л3С
-	120	23,5	20,5	369	16,00	184,0	1,108	IV	0,50	10Л
-	25	8,0	9,0	1141	5,80	71,0	1,185	III	-	8Л2Бб
184	130	28,0	24,0	183	28,10	293,0	2,491	III	0,81	7Л2Бб1Е

Продолжение табл. 7

Номер пробной площади	Возраст, лет	Диаметр, см	Высота, м	Число стволов лиственницы, шт./га	Сумма площадей сечений, м2/га	Запас общий, м3/га	Наличный текущий прирост, м3/га	Класс бонитета	Полнота	Состав
7	110	32,0	22,3	81	10,20	107,0	2,078	III	0,58	9Л1Бб
1	110	24,9	19,0	123	6,00	98,0	0,786	IV	0,31	10Л
129	128	26,8	26,7	261	14,70	299,0	3,592	II	0,74	10Л
96	95	24,5	25,0	215	1,90	254,0	1,985	II	0,74	6Л4Бб
158	100	16,0	15,0	519	13,10	97,0	1,478	V	0,41	10Л
63	80	20,0	21,5	221,	11,40	112,0	1,583	III	0,31	8Л2С
68	40	16,9	14,0	301	11,90	105,0	1,492	III	0,40	9Л1С
181	90	16,5	16,5	379	10,00	78,0	1,780	IV	0,57	10Л
100	90	30,0	20,0	92	9,30	108,0	0,708	III	0,45	7Л3Бб
123	230	38,	28,0	80	9,30	234,0	1,255	III	0,58	10Л
23	110	24,8	25,0	34	16,70	391,0	3,027	II	0,90	10Л
27	85	24,5	24,2	313	24,50	268,0	2,143	II	0,69	8Л2Бб
65	90	20,0	21,0	646	20,30	214,0	2,550	III	0,60	10Л
1а	100	21,0	19,6	684	23,70	238,0	2,240	III	0,70	10Л
163	110	19,0	20,3	234	12,90	100,0	0,483	IV	0,37	9Л1С
4	120	23,0	17,0	158	11,00	89,0	0,623	IV	0,33	9Л1Бб
68	70	18,0	15,8	829	21,10	162,0	2,540	III	0,64	10Л
3	110	20,0	22,0	681	21,40	227,0	1,767	III	0,60	10Л
64	100	20,0	20,0	404	12,70	115,0	1,878	III	0,37	10Л
154	130	23,0	20,0	505	21,00	193,0	1,468	IV	0,61	10Л
159	100	16,0	15,0	547	11,00	80,0	0,951	V	0,33	10Л
2	115	29,0	25,0	421	27,80	290,0	2,00	III	0,76	10Л
50	90	20,1	20,8	832	26,40	258,0	3,844	III	0,80	10Л
161	55	19,0	18,5	173	16,20	145,0	1,545	III	0,50	5Л5С
167	100	24,5	23,1	218	23,00	244,0	2,011	III	0,65	6Л4С
168	80	22,0	21,5	369	14,00	227,0	1,612	III	0,59	10Л
46	100	17,0	17,0	340	12,90	116,0	0,597	IV	0,41	7Л3С

Окончание табл. 7

Номер пробной площади	Возраст, лет	Диаметр, см	Высота, м	Число стволов лиственницы, шт./га	Сумма площадей сечений, м2/га	Запас общий, м3/га	Наличный текущий прирост, м3/га	Класс бонитета	Полнота	Состав
112	95	23,7	20,6	282	15,60	192,0	1,501	III	0,71	8Л2Бб
153	110	22,3	19,5	186	28,00	236,0	0,446	IV	0,81	4Л6С
69	25	8,0	9,0	925	5,80	57,0	1,185	III	0,90	8Л2Бб
6	90	19,0	18,0	367	10,40	88,0	0,689	IV	0,30	10Л
162	110	22,0	18,0	167	12,70	153,0	0,354	IV	0,35	5Л5С
163	110	19,0	20,0	238	13,00	100,0	0,483	IV	0,37	9Л1С
182	140	19,0	21,0	846	24,00	249,0	2,808	IV	0,70	10Л
130	175	27,7	26,5	358	21,60	251,0	2,101	III	0,61	10Л
7	145	30,9	22,5	304	35,49	346,0	1,354	IV	0,89	7Л2Е1П
14а	50	4,9	4,7	4160	7,25	17,90	1,598	V	0,30	10Л
16а	120	17,5	16,8	1192	29,31	244,2	3,021	IV	0,89	10Л
2в	120	18,0	16,0	731	20,70	180,0	1,520	V	0,70	9Л1Е

Таблица 8. Динамика таксационных показателей оптимальных насаждений лиственницы

Воз- раст, лет	Высо- та, м	Диа- метр, см	Видо- вое число, 10-3	Число ство- лов, шт./га	Сумма площа- дей се- чений, м2/га	Запас, м3/га	Запас древесины по категориям крупности, м3/га				Средний прирост, м3/га
							круп- ная	сред- няя	Крупная + средняя	мелкая	Крупная + средняя	круп- ная	сред- няя
40	6,2	3,8	700	2189	2,5	11,0	-	-	-	-	-	-	-
	7,9	5,9	652	1897	5,2	26,7	-	-	-	-	-	-	-
	9,5	8,0	604	1605	8,1	46,4	-	-	-	-	-	-	-
	11,2	10,1	556	1314	10,5	65,1	-	11,1	11,1	30,6	0,3	-	0,3
	12,9	12,2	508	1022	11,9	77,4	-	13,1	13,1	36.4	0.3	-	0,3
50	7,0	6,4	662	1928	6,2	28,4	-	-	-	-	-	-	-
	8,9	8,5	618	1667	9,4	52,1	-	-	-	-	-	-	-
	10,9	10,6	575	1405	12,4	77,7	-	13,2	13,2	36,5	0,3	-	0,3
	12,9	12,7	531	1144	14,5	99,2	-	16,9	16,9	46,6	0,3	-	0,3
	14,8	14,8	488	883	15,2	110,1	1,1	37,4	38,5	31,9	0,8	-	9,7
60	7,3	8,0	632	1693	8,6	39,9	-	-	-	-	-	-	-
	9,6	10,3	592	1460	12,2	69,7	-	11,8	11,8	32,8	0,2	-	0,2
	12,0	12,6	552	1228	15,3	100,9	-	17,1	17,1	47,4	0,3	-	0,3
	14,3	14,9	512	995	17,3	126,1	1,3	42,9	44,1	36,6	0,7	-	0,8
	16,6	17,1	472	763	17,6	137,5	1,4	46,8	48,1	39,9	0,8	-	0,8
70	7,5	9,2	610	1483	9,9	45,6	-	-	-	-	-	-	-
	10,2	11,7	572	1277	13,8	80,7	-	13,7	13,7	37,9	0,2	-	0,2
	12,9	14,2	534	1071	17,0	117,7	1,2	40,0	41,2	34,1	0,6	-	0,6
	15,6	16,7	497	865	19,0	147,6	1,5	50,2	51,7	42,8	0,7	-	0,7
	18,3	19,2	459	659	19,1	161,0	11,3	66,0	77,3	27,4	1,1	0,2	0,9
80	7,8	10,2	592	1297	10,6	48,9	-	8,3	8,3	23,0	0,1	-	0,1
	10,9	13,0	556	1116	14,7	88,9	-	15,1	15,1	41,8	0,2	-	0,2
	13,9	15,7	520	934	18,2	131,4	1,3	44,7	46,0	38,1	0,6	-	0,7
	17,0	18,5	484	743	20,2	166,3	11,6	68,2	79,8	28,3	1,0	0,1	0,8
	20,0	21,2	449	572	20,3	182,3	12,8	74,8	87,5	31,0	1,1	0,2	0,9

Продолжение табл. 8

Воз- раст, лет	Высо- та, м	Диа- метр, см	Видо- вое число, 10-3	Число ство- лов, шт./га	Сумма площа- дей се- чений, м2/га	Запас, м3/га	Запас древесины по категориям крупности, м3/га				Средний прирост, м3/га
							круп- ная	сред- няя	крупная+ средняя	мелкая	крупная+ средняя	круп- ная	сред- няя
90	8,2	11,2	577	1134	11,1	52,8	-	9,0	9,0	24,8	0,1	-	0,1
	11,6	14,2	543	975	15,4	97,3	1,0	33,1	34,0	28,2	0,4	-	0,4
	15,0	17,2	508	816	19,0	145,0	1,4	49,3	50,7	42,0	0,6	-	0,5
	18,4	20,2	474	658	21,1	184,4	12,9	75,6	88,5	31,3	1,0	0,1	0,8
	21,8	23,2	440	499	21,1	203,0	32,5	79,2	111,6	20,3	1,2	0,4	0,9
100	8,9	12,2	564	993	11,7	58,6	-	9,9	9,9	27,5	0,1	-	0,1
	12,6	15,5	531	855	16,1	107,3	1,1	36,5	37,6	31,1	0,4	-	0,4
	16,2	18,7	498	716	19,7	159,5	11,2	65,4	76,6	27,1	0,8	0,1	0,6
	19,9	22,0	465	578	21,9	202,9	14,2	83,2	97,4	34,5	1,0	0,1	0,8
	23,6	25,2	432	440	22,0	223,8	35,8	87,3	123,1	22,4	1,2	0,4	0,9
110	9,8	13,4	553	873	12,3	66,6	-	11,3	11,3	31,3	0,1	-	0,1
	13,6	16,9	521	753	16,8	119,3	1,2	40,6	41,7	34,6	0,4	-	0,4
	17,5	20,3	489	634	20,5	175,3	12,3	71,	84,1	29,8	0,8	0,1	0,6
	21,4	23,7	457	514	22,7	221,9	35,5	86,5	122,0	22,2	1,1	0,3	0,8
	25,3	27,2	425	394	22,8	245,0	63,7	80,9	144,6	17,2	1,3	0,6	0,7
120	10,8	14,7	542	773	13,1	76,3	0,8	25,9	26,7	22,1	0,2	-	0,2
	14,8	18,3	512	669	17,6	132,7	9,3	54,4	63,7	22,6	0,5	0,1	0,4
	18,8	21,9	481	566	21,2	191,9	13,4	78,7	92,1	32,6	0,8	0,1	0,7
	22,8	25,4	450	462	23,5	241,3	38,6	94,1	132,7	24,1	1,1	0,3	0,8
	26,9	29,0	519	358	23,7	266,9	69,4	88,1	157,4	18,7	1,3	0,6	0,7
130	11,8	16,0	534	691	13,8	86,9	0,9	29,5	30,4	25,2	0,2	-	0,2
	15,9	19,7	504	601	18,3	146,2	10,2	60,0	70,2	24,9	0,5	0,1	0,5
	20,0	23,4	474	511	21,9	208,1	33,3	81,2	114,4	20,8	0,9	0,2	0,6
	24,1	27,1	444	422	24,3	260,1	67,6	85,8	153,5	18,2	1,2	0,5	0,7
	28,3	30,8	414	332	24,7	288,8	98,2	75,1	173,3	14,4	1,3	0,8	0,6

Окончание табл. 12

Воз- раст, лет	Высо- та, м	Диа- метр, см	Видо- вое число, 10-3	Число ство- лов, шт./га	Сумма площа- дей се- чений, м2/га	Запас, м3/га	Запас древесины по категориям крупности, м3/га				Средний прирост, м3/га
							Круп- Ная	сред- няя	крупная+ средняя	мелкая	крупная+ средняя	круп- ная	сред- няя
140	12,5	17,1	527	628	14,4	94,7	1,0	32,2	33,1	27,5	0,2	-	0,2
	16,7	20,9	498	550	18,8	156,4	11,0	64,2	75,1	26,6	0,5	0,1	0,5
	20,9	24,7	469	472	22,5	220,9	35,4	86,2	121,5	22,1	0,9	0,2	0,6
	25,1	28,5	440	393	25,0	276,4	71,9	91,2	163,1	19,3	1,2	0,5	0,6
	29,4	32,3	410	315	25,8	310,0	105,4	80,6	186,0	15,5	1,3	0,8	0,6
150	12,9	17,8	524	581	14,5	97,8	1,0	33,2	34,2	28,3	0,2	-	0,2
	17,2	21,7	495	512	19,0	161,4	11,3	66,2	77,5	27,4	0,5	0,1	0,4
	21,5	25,6	466	443	22,9	228,8	36,6	89,2	125,8	22,9	0,8	0,2	0,6
	25,8	29,5	437	374	25,6	288,8	75,1	95,3	170,4	20,2	1,1	0,5	0,6
	30,1	33,3	408	305	26,8	329,0	111,8	85,5	197,4	16,4	1,3	0,8	0,6
160	12,5	18,0	525	550	14,0	91,8	0,9	31,2	32,2	26,6	0,2	-	0,2
	17,0	22,0	496	488	18,6	156,5	11,0	64,1	75,1	26,6	0,5	0,1	0,4
	21,4	26,1	467	426	22,8	227,3	59,1	75,0	134,1	15,9	0,8	0,4	0,5
	25,8	30,1	438	364	26,0	293,5	99,8	76,3	176,1	14,7	1,1	0,6	0,5
	30,2	34,2	409	302	27,7	342,9	140,6	72,0	212,6	10,3	1,3	0,9	0,4
170	11,1	17,2	532	535	12,4	73,3	0,7	24,9	25,6	21,2	0,2	-	0,2
	15,8	21,5	502	477	17,3	137,7	9,6	56,5	66,1	23,4	0,4	0,1	0,3
	20,5	25,9	472	419	22,0	213,1	34,1	83,1	117,2	21,3	0,7	0,2	0,5
	25,2	30,2	441	361	25,9	288,1	98,0	74,9	172,9	14,4	1,0	0,6	0,4
	29,9	34,5	411	303	28,4	349,7	143,4	73,4	216,8	10,5	1,3	0,8	0,4
180	8,5	15,3	545	532	9,8	45,7	0,5	15,5	16,0	13,3	0,1	-	0,1
	13,7	20,1	513	476	15,1	105,9	7,4	43,4	50,8	18,0	0,3	-	0,2
	18,8	24,9	481	420	20,4	184,2	29,5	71,8	101,3	18,4	0,6	0,2	0,4
	23,9	29,6	448	364	25,1	269,1	70,0	88,8	158,8	18,8	0,9	0,4	0,5
	29,1	34,4	416	308	28,6	345,7	141,7	72,6	214,3	10,5	1,2	0,8	0,4

Таблица 9. Классы роста таксационных показателей (верхняя и нижняя границы абсолютного значения класса роста в 100 лет)

Номера классов роста	Таксационные показатели
	Высота, м	Диаметр, см	Видовое число (0,001)	Сумма пло-щадей сече-ний, м2	Отношение d:h	Число стволов, шт./га	Наличный запас, м3/га	Текущий прирост запаса, м3/га
1	34,631,4	33,731,3	576565	5551	1,591,50	17441660	800750	14,513,6
2	31,328,1	31,228,8	564552	5046	1,491,40	16591575	749700	13,512,6
3	28,025,4	28,726,3	551540	4541	1,391,30	15741490	694650	12,511,6
4	25,322,7	26,223,8	539527	4036	1,291,20	14891405	649600	11,510,6
5	22,620,6	23,721,3	526515	3531	1,191,10	14041320	599550	10,59,6
6	20,518,3	21,218,8	514502	30-26	1,091,00	13191235	549500	9,58,6
7	18,216,8	18,716,3	501490	2521	0,990,90	12341150	499450	8,57,6
8	16,714,7	16,213,8	489477	2016	0,890,80	11491065	449400	7,56,6
9	14,613,6	13,711,3	476465	1511	-	1164980	399350	6,55,6
10	13,511,9	11,28,8	464452	-	-	979895	349300	5,54,6
11	11,811,0	8,76,7	451440	-	-	894810	299250	4,53,6
12	10,99,5	-	439427	-	-	809725	249200	3,52,6
13	9,48,7	-	426415	-	-	724640	199150	2,51,6
14	8,67,6	-	414402	-	-	639555	149100	1,50,6
15	-	-	401388	-	-	554-470	9950	-
16	-	-	-	-	-	469385	-	-
17	-	-	-	-	-	384300	-	-

ОГЛАВЛЕНИЕ

Содержание и последовательность выполнения курсовой работы . . . . . . . 3 1. Природно-климатические условия района исследования и биоэкологические свойства древесной породы . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5 2. Объем экспериментального материала и методика исследования. . . . . . . 5 3. Моделирование продуктивности модальных, нормальных и оптимальных древостоев . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4. Функции аппроксимации динамики таксационных показателей древостоев . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .29 Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . .30

32