- •Кафедра информатики и вычислительной техники
- •Оглавление
- •Элементы теории погрешностей абсолютная и относительная погрешности
- •Контрольные вопросы
- •Численные методы решения нелинейных уравнений Способы отделения корней уравнений
- •Контрольные вопросы
- •Решение нелинейных уравнений методами бисекций и хорд
- •Контрольные вопросы
- •Решение нелинейных уравнений методом ньютона и комбинированным методом
- •Контрольные вопросы
- •Решение нелинейных уравнений методом простых итераций
- •Контрольные вопросы
- •Численные методы решения системлинейных уравнений Решение систем линейных уравнений методом простых итераций методом зейделя
- •Контрольные вопросы
- •Аппроксимация экспериментальных данных аппроксимация методом наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы
- •Численное интегрирование приближенное решение определенных интегралов
- •Контрольные вопросы
- •Численное решение дифференциальных уравнений приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Контрольные вопросы
- •Линейное программирование
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Приложения
Контрольные вопросы
Как записать основные математические функции в Excel.
Сформулируйте определение абсолютной и относительной погрешностей.
Запишите формулы для вычисления предельной абсолютной и предельной относительной погрешностей.
Основные правила вычисления абсолютной и относительной погрешностей.
Численные методы решения нелинейных уравнений Способы отделения корней уравнений
Рассмотрим приближенные методы решения нелинейных уравнений на примере уравнения.
При использовании некоторых методов в качестве исходных данных необходимо указать отрезок, содержащий только один корень данного уравнения Поиск такого отрезка называетсяотделением корней уравнения. Отделение корней можно проводить двумя способами: графическим и аналитическим.
Графический метод. Действительным корням уравнения соответствуют точки пересечения графика функциис осьюОх. Для нахождения отрезка, содержащего только один корень уравнения, достаточно построить график функции и визуально определить на каких отрезках находятся корни. Точность отделения отрезков зависит от точности построения графиков.
Пример 1: Выполнить отделение корней уравнения графическим методом.
Для решения данной задачи требуется построить график функции Протабулируем данную функцию. Сначала определимся с областью построения, например, выберем , с шагом 0,25 будем вычислять значение функции(см. рис. 2)
Далее с помощью мастера диаграмм, выбрав тип диаграммы точечная, постоим график функции, представленной таблично. (см. рис. 3)
На рисунке 3 видно, что точки пересечения графика функции с осьюОх попадают в отрезкии.
Аналитический метод. В основе данного метода лежат теоремы математического анализа.
Рис. 2. Таблица функции
Рис. 3. График функции
Теорема 1 (Теорема Больцано-Коши). Если непрерывная на отрезке функцияна концах указанного отрезка принимает значения разных знаков, т.е. то на интервале она хотя бы один раз обращается в нуль.
Теорема 2.Непрерывная монотонно возрастающая или монотонно убывающая функция имеет единственный нуль на отрезке тогда и только тогда, когда на концах указанного отрезка она принимает значения разных знаков, т.е.
Пример 2: Выполнить отделение корней уравнения аналитическим методом.
Для решения данной задачи требуется протабулировать функциюна некотором отрезке, например,и определить «соседние» точки, в которых функция принимает значения разных знаков.
Шаг табулирования выбираем произвольно, т.о. заполняем ячейки А1:С2 (рис. 4). Далее в ячейку А5 записываем ссылку на ячейку А1, в ячейку А6 записываем формулу, см. рисунок 5. С помощью маркера автозаполнения в первом столбце производим дальнейшие вычисления.
Заполняем столбец B5:B17, для этого в ячейку B5 записываем формулу вычисления функции и протягиваем ее вниз.
Рис. 4. Вид экрана для аналитического метода отделения корней
Рис. 5. Формула для заполнения ячейки А6
В ячейку С6 вводится комментарий (ячейка С5 остается пустой), он поможет определить отрезки, на концах которых функция принимает значения разных знаков (рис. 6).
В столбцах Dи Eзаписываются формулы для вычисления первой и второй производных данной функции.
Рис. 6. Формула для заполнения ячейки С6
В итоге видим, что найдены два отрезка, содержащие только один корень. Убедитесь в справедливости теоремы 2 для данных отрезков самостоятельно.
Задания для самостоятельного выполнения.
Из таблицы 2 приложения взять исходные данные своего варианта. Вариант определяется по порядковому номеру в списке группы. Выполнить отделение корней для функции своего варианта двумя способами графическим методом и аналитически. Начальные данные и шаг подобрать в зависимости от вида уравнения и области его определения.