sopromat

Определим нормальные напряжения:

Эпюры нормальных напряжений σВ(Мx) и σВ(Мy) представлены на рисунке 9.3,а,б; пространственная эпюра – на рисунке 9.4.

Суммарные нормальные напряжения σ в точках 1, 2, 3 и 4:

σ1 = – 2,23 + 5,92 = + 3,69 МПа; σ2 = – 2,23 – 5,92 = – 8,15 МПа; σ3 = + 2,23 – 5,92 = – 3,69 МПа; σ4 = + 2,23 + 5,92 = + 8,15 МПа.

5) Определяем положение нейтральной оси в опасном сечении по формуле

где n – заданное по условию соотношение сторон.

Знак «–» показывает, что нейтральная ось и силовая линия проходят через разные квадранты сечения (рисунок 9.4).

71

Угол α отсчитывается от оси X.

Нейтральная ось отделяет зону сжатых волокон от зоны растянутых.

Рисунок 9.4

6)Определяем полные линейные перемещения в сечениях А и

В(т.е. прогибы fA и fB):

где xA, yA и xB, yB – составляющие прогиба в поперечных сечениях А и В в направлениях осей координат X и Y соответственно.

Для нахождения составляющих прогибов используем метод начальных параметров.

Вданной задаче необходимо составить два уравнения прогибов

вплоскостях XCZ и YCZ для нахождения составляющих прогибов fA

иfB.

Так как балка в плоскостях XCZ и YCZ нагружена по-разному, начальные параметры EJx 0 и EJ y 0 в каждой плоскости имеют

свое значение: в плоскости XCZ поперечное сечение в начале координат поворачивается относительно оси Y на угол 0y , в плоскости

YCZ – относительно оси X на угол 0x . Предварительно вычислим осевые моменты инерции площади поперечного сечения Jx и J y :

72

Уравнение прогибов для схемы балки на рисунке 9.2,б имеет

вид

Определяем EJx 0x из условия на опоре D:

при z = l прогиб yD = 0. Тогда

Подставив это выражение в уравнение прогибов, определим перемещение центров тяжести сечений:

Уравнение прогибов для схемы балки на рис. 9.2,г имеет вид

Определяем 0 y из граничного условия на опоре D:

73

Подставим это выражение в уравнение прогибов и определим перемещения сечений:

xВ при z = l/3

Определим направление полного прогиба в рассматриваемых сечениях.

Изображаем поперечное сечение балки и в масштабе откладываем на осях X и Y составляющие прогибов xА, yA и xB, yB , а затем их векторно суммируем (рисунки 9.5 и 9.6).

Направление прогиба определяется соответственно углами βА

74

Углы βА и βВ имеют разную величину. Это говорит о том, что изогнутая ось балки является пространственной кривой.

Задача 10

На вал насажены два шкива, через которые перекинуты ремни (рисунок 10.1). Ветви ремней параллельны друг другу и наклонены к горизонту под углами 1 и 2. От первого шкива ремень идет к электродвигателю; в этом ремне усилие в сбегающей ветви вдвое больше, чем в набегающей. От второго шкива ремень идет к станку; в этом ремне усилие в набегающей ветви вдвое больше, чем в сбегающей. Станок имеет мощность N (кВт); частоту вращения вала n (об/мин). Материал вала – сталь 20 с пределом текучести σт = = 240 МПа; нормативный коэффициент запаса прочности n = 1,5.

Используя четвертую теорию прочности, определить необходимый диаметр вала.

75

Рисунок 10.1

76

Пример. Выполнить проектировочный расчет трансмиссионного вала (рисунок 10.2,а).

Дано: a1 = a2 = а = 0,1 м, а3 = 2а = 0,2 м; D1 = 2D = 0,2 м; D2 = 3D = 0,3 м;

1 = 0, 2 = 30 ;

N = 20 кВт; n = 100 об/мин.

Решение.

В местах посадки шкивов возникают равнодействующие усилия от натяжений ремней и скручивающие пары от разности натяжений сбегающей и набегающей ветвей ремней. Следовательно, вал работает на изгиб и кручение (рисунок 10.2,б).

1) Определяем внешний скручивающий момент: m 9,736 Nn 9,73610020 1,947 кН м.

2)Строим эпюру крутящих моментов. Из условия равновесия

заключаем, что m1 = m2 = m = 1,947 кН м (рисунок 10.2,в). Крутящий момент на участке BK Mк m 1,947 кН м.

3)Определяем усилия натяжения ремней t1 и t2:

4) Определяем равнодействующие усилия натяжения ремней, действующих на вал в местах посадки шкивов:

Для удобства построения эпюр изгибающих моментов разложим силу Р2 на вертикальную P2 у и горизонтальную P2х состав-

ляющие:

P2 у = P2sin30º = 38,94 0,5 = 19,17 кН.

P2х = P2cos30º = 38,94 0,8667 = 33,75 кН.

Составим расчетные схемы в горизонтальной плоскости (рисунок 10.2,г) и в вертикальной (рисунок 10.2,д).

77

Рисунок 10.2

78

5) Строим эпюру изгибающих моментов Мх в вертикальной плоскости YAZ (см. рисунок 10.2,г).

Опорные реакции:

Σ mom A = 0; CY2a P2 у 4a = 0,

CY = 2 P2 у = 2 19,47 = 38,94 кН; Σ mom C = 0; AY2a P2 у 2a = 0,

AY = P2 у = 19,47 кН.

Уравнения изгибающих моментов:

6) Строим эпюру изгибающих моментов My в горизонтальной плоскости XAZ (рисунок 10.2,д):

Σ mom A = 0; P1x a Cx2a + P2x 4a = 0, Cx = 0,5(4 P2x P1),

Cx = 0,5(4 33,75 58,41) = 38,30 кН;

Σ mom C = 0; Ax2a + P1x a + P2x 2a = 0,

Ax = 0,5( P1x + 2 P2x );

Ax = 0,5(58,41 + 33,75 2) = 62,96 кН.

Методика построения эпюры My аналогична приведенной в п. 5.

79

7) Строим эпюру результирующего изгибающего момента Mрез (рисунок 10.2,е), складывая геометрически эпюры Mх и My:

M рез M y2 M x2 .

В характерных точках В и С они равны соответственно

Mрез(B) 1,9472 6,2962 6,590 кН м;

Mрез(C) 3,8942 6,752 7,793 кН м.

Следовательно, опасным сечением будет сечение С, для кото-

рого

Мрез(С) = 7,793 кН·м и Мк(С) = 1,947 кН·м.

8)Определяем по четвертой теории прочности эквивалентный момент MЭIV в опасном сечении С:

МэIV Мрез2 (С) 0,75 Мк2(С) ,

МэIV 7,7932 0,75 1,9472 7,973 кН м.

9)Определяем необходимый диаметр d вала. Допускаемое на-

Принимаем d = 80 мм.

Задача 11 (общий случай сложного сопротивления).

Стальной коленчатый стержень постоянного круглого поперечного сечения нагружен внешними силами Рi и парами m.

Выполнить проектировочный расчет, если дано:

длины участков стержня ai; пределы текучести на растяжение и сжатие σтр = σтс = 420 МПа; коэффициент запаса прочности nт = 1,5. Использовать третью теорию прочности.

Расчетную схему выбрать по рисунку 11.1, данные для расчета – по таблице 11.1.

Принять Р = 0,1 кН; а = 0,4 м.

80