sopromat

4 N4 10 103 100 МПа.

F4 102

По полученным значениям строим эпюру σ (рисунок 1.2,в).

Из эпюры σ следует, что наиболее нагружен IV участок стержня (опасный участок). При центральном растяжении условие прочности имеет вид σmax [σ].

Так как σmax = 100 МПа < [σ] = 160 МПа – условие прочности выполняется.

4) Вычисляем полную деформацию стержня как алгебраическую сумму абсолютных деформаций его участков:

n

l li ,

1

Таким образом, l E1 ( 1l1 2 l2 3 l3 4 l4 )

2 101 5 50 500 18,75 1000 50 500 100 1000 40,625 10 2 мм.

Задача 2

Стержень постоянного поперечного сечения (рисунок 2.1) защемлен обоими торцами и нагружен продольными силами.

Раскрыть статическую неопределимость, построить эпюру нормальных усилий N и эпюру линейных перемещений .

Расчетную схему принять по рисунку 2.1. Данные для расчета принять по таблице 2.1.

11

Таблица 2.1

Пример. Раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры нормальных усилий N и линейных перемещений для стержня, изображенного на рисунке 2.2,а. Принять l1 = l2 = l3 = l4 = l.

Решение (задача решается в алгебраическом виде). 1) Составляем уравнения равновесия:

RA RB .

Получено одно уравнение с двумя неизвестными, т.е. система один раз статически неопределима.

2) Выбираем основную систему. Она получается из заданной путем освобождения от лишней связи. Принимаем за лишнюю связь защемление в опоре В. Нагружаем основную систему заданными силами и накладываем условие эквивалентности ее заданной системе: перемещение сечения В в заданной и основной системах должно быть одинаковым, т.е. В = 0.

В сечении B приложим активную силу Х, величина которой должна быть такой, чтобы условие эквивалентности выполнялось

(рисунок 2.2,б).

3) Раскрываем условие эквивалентности.

Перемещение В сечения В выразим через приложенные нагрузки, применяя принцип независимости действия сил (нагрузки, вызывающие сжатие, считаем отрицательными):

B B (Pi ) B (Х) ,

где B (Pi ) – перемещение сечения В от каждой из приложенных известных сил Pi; B (Х) – перемещение сечения В от неизвестной силы Х.

13

Запишем данное выражение, используя 2-е выражение закона

Гука:

В EPlF .

Врезультате получим уравнение совместности деформаций в

виде

14

Подставляя найденную RB в (2.1), получаем

RА 34 P.

Таким образом, статическая неопределимость раскрыта, т.е. выявлены все неизвестные в уравнении (2.1).

4) Определяем нормальные усилия Ni методом сечений (см. пример 1). Разбиваем стержень на участки I, II, III, IV (см. рису-

нок 2.2,а):

на I участке N1 RA 34 P ;

на II участке N2 RA 2P 34 P 2P 54 P ;

на III участке N3 RA 2P P 34 P 2P P 14 P ;

на IV участке N4 RA 2P P P 34 P 2P P P

34 P .

По полученным значениям строим эпюру нормальных усилий N (рисунок 2.2,в).

5) Строим эпюру перемещений сечений (0, 1, 2, 3, 4), используя следующее правило их подсчета:

перемещение сечения в конце участка равно перемещению сечения в начале этого участка плюс его абсолютная «деформация», т.е.

i i 1 ( NFili) .

E i

Перемещение сечения 0: 0 = 0. Перемещение сечения 1: 1 0 NEF1l1 43EFPl .

Перемещение сечения 2: 2 1 NE2Fl2 43EFPl 45EFPl 42EFPl . Перемещение сечения 3: 3 2 NEF3l3 42EFPl 4PlEF 43EFPl . Перемещение сечения 4: 4 3 NE4Fl4 43EPlF 43EPlF 0 .

15

Эпюра перемещений изображена на рисунке 2.2,г.

П р и м е ч а н и е. Построение эпюры перемещений является также деформационной проверкой. Равенство нулю перемещения концевого сечения 4 показывает, что статическая неопределимость раскрыта верно.

Задача 3

Абсолютно жесткая балка (рисунок 3.1) удерживается в горизонтальном положении шарнирной опорой и двумя стальными стержнями одинакового диаметра d, соединенными шарнирно с балкой и опорами. Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q и сосредоточенной силой P = qa.

Выполнить проектировочный расчет, т.е. определить площади поперечных сечений стержней F и их диаметры.

Данные для расчета принять по таблице 3.1. Характеристики стержней:

F1 = F, F2 = 2F;

допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа;

модуль упругости Е1 = Е2 = Е = 2·105 МПа.

Таблица 3.1

16

17

Пример. В соответствии с условиями задачи 3 выполнить проектировочный расчет стержней системы, приведенной на рисун-

ке 3.2,а, при а = 0,5 м = 500 мм; в = 0,4 м = 400 мм; q = 10 кН/м = = 10 Н/мм.

Решение.

1) Применяя метод сечений к заданной конструкции (см. рисунок 3.2,а), мысленно рассечем стержни и действие отброшенных частей заменим усилиями N1 и N2.

В шарнирно-неподвижной опоре возникают опорные реакции AZ и AY. Схема усилий изображена на рисунке 3.2,б.

Составим возможные уравнения равновесия:

Получили три уравнения с четырьмя неизвестными N1, N2, AZ, AY. Следовательно, рассматриваемая система один раз статически неопределима и для решения задачи требуется составить еще одно дополнительное уравнение – уравнение совместности деформаций. Оно получается при рассмотрении конструкции после деформации от нагрузок.

В проектировочном расчете реактивные силы AZ и AY не потребуются, нужно знать только усилия в стержнях N1 и N2. Поэтому достаточно составить одно уравнение равновесия (3.3), которое содержит только эти неизвестные и в дальнейшем будет использоваться.

2) Составляем схему перемещений, изобразив начальное и конечное состояния конструкции до и после приложения нагрузок (ри-

сунок 3.2,в).

Ввиду малости деформаций и перемещений считаем, что точка В переместится в положение В1 по нормали к исходному положению радиуса вращения АВ (ВВ1 АВ). При совмещении концов стержней с точкой В1 описываемые ими при повороте относительно шарниров С и D дуги заменим прямыми В1К и В1М, перпендикулярными к первоначальным положениям стержней 1 и 2. Отрезки ВК = l1 и ВМ = l2 являются абсолютными удлинениями стержней 1 и 2.

При составлении схемы перемещений (см. рисунок 3.2,в) нужно, чтобы знаки деформаций стержней соответствовали принятому направлению внутренних усилий N1 и N2 на схеме усилий (см. рису-

нок 3.2,б).

18

Так, в рассматриваемом примере растягивающие усилия N1 и N2 соответствуют тому, что на схеме перемещений стержни 1 и 2 изображены удлиняющимися на величины l1 и l2.

19

3) Составляем уравнение совместности деформаций. Рассмотрим прямоугольные треугольники ВВ1М и ВВ1К с общей гипотенузой ВВ1.

Выразив отрезок ВВ1 (перемещение точки В) через удлинения стержней l1 и l2, получим

Учитывая, что по условию задачи F1 = F; F2 = 2F; l1 sinа ; l2 sinа (см. рисунок 3.2,а), полученное выражение (3.5) преобра-

зуем к виду

Выражение (3.6) является дополнительным уравнением и совместно с уравнением (3.3) образует систему уравнений для определения усилий N1 и N2.

4) Определяем внутренние усилия N1 и N2, решая совместно систему уравнений (3.3) и (3.6).

В результате получим

20