Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

лінійна алгебра та аналітична геометрія

.pdf

Скачиваний:

302

Добавлен:

17.03.2016

Размер:

10.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 239 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

9. Скалярне множення геометричних векторів

Числа

, i )

cos cos(a, i )

)

(9.1)

cos cos(a, j )

(

)

cos cos(a,k )

називають напрямними косинусами вектора Орт a 0 вектора a має координати:


cos



cos .


cos

Ураховуючи формули (9.1), одержимо співвідношення

	(a )2	(a )2				(a )2
cos2 cos2 cos2	x			y		z	1.
cos2 cos2 cos2					2		1.
					2
			a

Приклад 9.3. Для вектора a i 2j k знайдімо напрямні косину-

си і координати його орту.


	1




				a	2	(	2	2	2;
a 2			,	a	1	(	2)	( 1)	2;


		1
		1

			1 2
			1 2		cos

		1
	0
a		a	2	2	cos	.
		2
		2	1	2	cos
			1	2	cos

82	Розділ 2. Методи й моделі векторної алгебри

9.4. Застосування скалярного добутку

Довжина вектора

a (a,a ).

Довжина відрізка

AB (xB xA)2 (yB yA)2 (zB zA)2 .

Кут між ненульовими векторами

(

)

cos(a,b )

;

(

)

(a,b ) arccos

Проекція вектора

(a,b ) pra b a .

Критерій перпендикулярності векторів

Скалярний добуток векторів дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли вектори перпендикулярні.



(a,b ) 0 (a,b )					2 .

Робота сталої сили

Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно з положення B у положення C під дією сталої сили F, що утворює кут з вектором перемі-

щенням s BC (рис. 9.8).

Роботу сили F

під час переміщення

обчис-

люють за формулою

cos

(F,s ).

B F

Рис. 9.8

10. Векторне множення векторів

10.1. Орієнтація в геометричних просторах

Щоб запровадити орієнтацію на прямій, площині, просторі треба скористатись певними фізичними міркуваннями.

Приміром, на прямій, зображеній на рисунку горизонтальною лінією, можна вибрати напрям «зліва направо» і назвати його додатним напрямом («додатною орієнтацією»). Однак, треба розуміти, що фіксація цього напряму залежить від того, з якого боку дивитись на рисунок, якщо перевернути його «догори ногами», то додатний напрям перейде у від’ємний. На вертикальних прямих за додатний вважають зазвичай напрям знизу догори (рис. 10.1).

Орієнтацію площини вважаємо додатною, якщо «найкоротший поворот» від першого вектора до другого відбувається проти руху годинникової стрілки, у противному разі — від’ємною (рис. 10.2).

 e1



Рис. 10.1

Рис. 10.2

Надалі, розглядаючи системи координат, припускатимемо, що базисні вектори задають додатну орієнтацію.

1.				У просторі 1		— на прямій			— фіксують який-небудь базис
		,				{		}, 0,	вважаємо додатними, а базиси
					0. Усі базиси
	e		e
							e

{ e }, 0, — від’ємними. Якщо цей простір зображуємо горизонтальною прямою, то додатним напрямом на ній вважатимемо напрям зліва направо

(див. рис. 10.1).

2. У просторі 2 — на площині — базис {e1,e2} задає додатну орієнта-

цію, якщо найкоротший перехід від e1 до e2 відбувається проти руху годинни-

кової стрілки, і ліву (від’ємну), коли за рухом годинникової стрілки (лише тому, що ми так домовились) (див. рис. 10.2).

3. У просторі 3 базис {e1,e2,e3} задає праву орієнтацією, яку вважа-

тимемо додатною, якщо найкоротший перехід від вектора e1 до вектора e2

відбувається проти руху годинникової стрілки, коли дивитись на них з кінця вектора e3, а від’ємною — ліву, де найкоротший перехід відбувається за ру-

хом годинникової стрілки (рис. 10.3). Вектори e1,e2,e3 правого базису утворюють праву трійку, а вектори лівого базису — ліву трійку (на рис. 10.4 вектори e1,e2,e3 лівої руки утворюють ліву трійку, а вектори e1,e2,e3 правої руки — праву трійку).

84							Розділ 2. Методи й моделі векторної алгебри


	e					e											e
		3			3							e2				b2
		3														b2		ae1



			e					e			e


		2					1			1
		2					1			1
															e3

														e
													3


									e2
				e1					e2

Рис. 10.3 Рис. 10.4

10.2. Векторний добуток векторів

Означення 10.1. Векторним добутком векторів a та b називають век-

тор c, який:

1)перпендикулярний до векторів a та b ;

2)завдовжки дорівнює добуткові довжин векторів на синус кута між ними:

sin(a,b );

3) напрямлений так,

що вектори

та

утворюють

праву трійку

(рис. 10.5).

Векторний добуток векторів

та

позначають

[

] або

Векторний добуток колінеарних векторів вважа-

ють рівним нульовому вектору, зокрема

[

]

Рис. 10.5

Зауваження 10.1.

1. Векторний добуток [

] неколінеарних векторів

та

перпендику-

лярний до площини, що визначається векторами

та

2. Довжина вектора [

] чисельно дорівнює площі паралелограма, побу-

дованого на векторах

та

(рис. 10.5).

властивості векторного множення

). Для будь-

Твердження 10.1

яких трьох векторів

та

і дійсних чисел та :

[a

] (антикомутативність векторного множення);

] [b,

[

, b

] [

,b ] (однорідність векторного множення);

[a b,c ] [a,c ] [b,c ],



(дистрибутивність векторного множення).

]

[

,b ] [

]

10. Векторне множення векторів

Приклад 10.1.

Знайдімо довжину вектора [2

, 3

], якщо

5, (a,b )

6 .

Скористаймося властивостями дистрибутивності, однорідності та

антикомутативності векторного добутку:

, 3

4b ]

, 3

] [ 3b, 3

] [2

, 4b ] [ 3b, 4b ]

] 8[

]

] 8[

]

17[

]

9[b

[a,b]

sin(a,b ) 17 2 5 sin 6 85.

Зауваження 10.2.

1.На відміну від скалярного добутку векторів векторний добуток — антикомутативний.

2.Рівняння [a,x ] b,a 0, або не має розв’язків, або має їх нескінченно багато. А рівняння [a, x ] a розв’язків не має.

3.Рівність [x,y ] 0 виконується не лише для нульових векторів, а й для ненульових колінеарних векторів.

4.Оскільки [a,a ] 0, то векторний степінь не розглядають.

5.Векторний добуток, взагалі кажучи, не асоціативний, тобто

[[x,y ], z ] [x,[y, z ]].

Векторний добуток в ортонормованому базисі

Нехай задано правий ортонормований базис {i , j ,k }. Із властивостей векторного добутку випливає, що таблиця векторного множення координатних ортів виглядає так (першим вибирається рядок):

[, ]

Нехай задано вектори

a axi ay j azk та b bxi by j bzk .

Перемножмо їх векторно, враховуючи властивості векторного добутку та ортонормованість базису:

86	Розділ 2. Методи й моделі векторної алгебри

[a,b ] [axi ay j azk ,bxi by j bzk ]axbx [i , i ] axby[i , j ] axbz[i ,k ]aybx [j , i ] ayby[j , j ] aybz[j ,k ]

azbx[k , i ] azby[k , j ] azbz[k,k ]

0 axbyk axbz j aybxk 0 aybzi azbx j azbyi 0(aybz azby )i (axbz azbx )j (axby aybx )k .

Далі врахуємо вирази для визначників 2-го порядку та означення визначника:

]

a a a

Обчислімо векторний добуток векторів

Приклад 10.2.

та b

6k .

[

,b ]

2 3

3i 6j 3k .

5 6

4 5

10.3. Застосування векторного добутку

Площа паралелограма

Розгляньмо паралелограм і трикутник, побудований на неколінеарних векторах a та b, і висоту на сторону, що збігається з вектором a.

S [a,b ] .

Площа трикутника

[

]

Висота паралелограма (трикутника)

[

]

[a,b ]

Площу паралелограма, побудованого на плоских векторах a

та b

знаходять за формулою S

| .

10. Векторне множення векторів

Критерій колінеарності векторів

Два вектори a та b колінеарні тоді й лише тоді, коли їхній векторний добуток є нульовим вектором, тобто

a b [a,b ] 0.

Момент інерції сили щодо точки

Нехай F AB — вектор сили, прикладеної до точки

A (рис. 10.6). Моментом M

сили F щодо точки O

C A

називають вектор

O(F) [OA, F ].

Довжина моменту

не залежить від точки A

прикладання сили F на її лінії дії L. Справді,

Рис. 10.6

[OA,F]

де h OC — перпендикуляр до L. Величина h від точки A не залежить.

10.4. Мішаний добуток трьох векторів

Означення 10.2. Мішаним (векторно-скалярним) добутком векторів a,b

та c називають число — скалярний добуток векторного добутку векторів a та b на вектор c і позначають:

def

(a,b ,c ) ([a,b ],c ).

У просторі 3 кожна трійка некомпланарних векторів a,b та c, прикладених до однієї точки, визначає паралелепіпед (рис. 10.7), ребрами якого є ці вектори.

Твердження 10.2.

[a,b ]

h b

Рис. 10.7

Модуль мішаного добутку (a,b,c ) дорівнює об’єму паралелепіпеда,

побудованого на векторах

та

Мішаний добуток (

)

додатний,

якщо трійка

права, і

від’ємний, якщо вона ліва.

Мішаний добуток векторів

та

дорівнює нулю, якщо вектори

та

компланарні.

Приклади інших фізичних застосувань векторного добутку подано в п. 12.8.

88	Розділ 2. Методи й моделі векторної алгебри

З означення мішаного добутку випливає, що

(a,b,c ) [a,b ]c cos a b sin c cos .

Проте, об’єм паралелепіпеда дорівнює добуткові площі основи a b sin на висоту c cos .

Знак мішаного добутку збігається зі знаком cos , і тому мішаний добуток додатний, якщо трійка a,b ,c права, і від’ємний, якщо ліва.

Якщо хоча б один з векторів нульовий, то властивість очевидна.

Нехай тепер жоден з векторів-співмножників не нульовий. Тоді (a,b ,c ) 0 ,

коли (а, отже,

вектор

лежить у площині векторів a

та

) або [a

,b ] 0,

— компланарні).

(а, отже, вектори a

та

— колінеарні, тобто вектори a

,b та

властивості мішаного добутку

Для будь-яких

Твердження 10.3

(

векторів

,b та

дійсних чисел та правдиві тотожності:

([a,b ],c ) (a,[b,c ]), тобто у мішаному добутку знаки векторного та скалярного добутків можна міняти місцями, що дозволяє позначати мішаний добуток як (a,b,c );

([

), тобто

циклічне

переставляння

) ([

],b ) ([b,

співмножників не змінює мішаного добутку;

(

) (

тобто

переставляння

) (b

двох співмножників змінює знак мішаного добутку:

( a1 a2,b ,c ) (a1,b ,c ) (a2,b ,c ), тобто мішаний добуток лінійний за будь-яким множником.

Властивість очевидна, якщо вектори a,b та c — компланарні. Нехай вони не компланарні. Тоді із симетричності скалярного добутку випливає, що

(a,[b,c ]) ([b ,c ],a).

Трійки a,b,c та b,c,a однойменні (обидві праві або обидві ліві); а із твер-

дження 10.2 випливає, що

([a,b ],c ) (a,[b,c ]).

Випливає із властивості 1) та симетричності скалярного добутку:

(a,b,c ) ([a,b ],c ) (c,[a,b ])

(c,a,b ) ([c,a ],b ]) (b,[c,a ])

(b,c,a ).

Випливає із властивостей 1), 2) та антикомутативності векторного добутку:

(a,b ,c ) ([a,b ],c ) ([b ,a ],c )

(b ,a,c ) (c,b ,a ) (a,c,b ).

Випливає із властивостей лінійності та однорідності скалярного добутку:

10. Векторне множення векторів

( a1 a2,b ,c ) ( a1 a2,[b ,c ]) (a1,[b ,c ]) (a2,[b ,c ])(a1,b ,c ) (a2,b ,c ).

Лінійність за другим і третім співмножником випливає із властивості 2 мішаного добутку.

Мішаний добуток в ортонормованому базисі

Нехай задано вектори

a ax i ay j azk ,b bxi by j bzk та c cx i cy j czk .

Знайдімо їх мішаний добуток, використовуючи вираз через координати векторів для векторного та скалярного добутків:

ayby

ay by

Отже,

(

) ([a

)

,b],

ay	az
by	bz	.
cy	cz

(					)	ax	ay	az
						ax	ay	az
		,b	,			bx	by	bz	.
	a	,b	,	c		bx	by	bz	.
						cx	cy	cz

10.5. Застосування мішаного добутку

Об’єм паралелепіпеда

Розгляньмо паралелепіпед (трикутну піраміду), побудований на векторах a,b,c і висоту, опущену на грань, яку утворено векторами a та b .

Vпар (a,b ,c ) .

Об’єм трикутної піраміди

	V 1				.
	V 1		(a	,b ,c )	.
	пір	6
		6
Висота паралелепіпеда (трикутної піраміди)

(

)

[a,b ]

90	Розділ 2. Методи й моделі векторної алгебри

Критерій компланарності векторів

Мішаний добуток векторів a,b та c дорівнює нулю, тоді й лише тоді, коли вектори a,b та c компланарні:

(a,b,c ) 0 a,b,c компланарні.

Взаємна орієнтація векторів

Для будь-яких некомпланарних векторів a,b та c :

1)якщо (a,b,c ) 0, то вектори a,b,c утворюють праву трійку;

2)якщо (a,b,c ) 0, то вектори a,b,c утворюють ліву трійку.

11.Комплексні числа

11.1. Основні поняття

Означення 11.1. Комплексним числом z називають упорядковану пару


	x
		і y, тобто
	дійсних чисел x	і y, тобто
y


			x		,y .
			z	, x	,y .

			y

Перший елемент пари x

називають дійсною частиною, а другий еле-

мент — уявною частиною комплексного числа z і позначають

x Rez,

y Im z.

Дії над комплексними числами

Розгляньмо два комплексні числа z1

та z2

Означення 11.2.

Два комплексні числа z1

і z2 називають рівними, якщо

рівні їхні дійсні та

уявні частини, тобто

def

Означення 11.3.

Сумою двох комплексних чисел z1 і z2 називають

комплексне число

def

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 239 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.05.2019190.46 Кб4Л1.doc
#
18.07.2019895.49 Кб52Л10 Напр микр ЛАСР.doc
#
12.05.2015549.04 Кб8Л4 метрология.pdf
#
18.09.201960.93 Кб3Л6 Створення ТЗИ на ОИД.doc
#
18.09.2019194.05 Кб5Л7 Створення ТЗИ на ОІД передпроектн роботи.doc
#
17.03.201610.08 Mб302лінійна алгебра та аналітична геометрія.pdf
#
14.08.2019490.5 Кб2Лаб 1-5-IEE.doc
#
16.11.2019169.98 Кб1лаб 2 ПАХВ.doc
#
28.04.2019226.3 Кб3лаб 7.doc
#
14.11.20191.36 Mб4лаб работы анализ.docx
#
10.11.2019153.09 Кб4Лаб роб 6 Обчислення арифметичних виразів.doc