Мат. анализ (2 семестр)

Составьте уравнения касательной и нормали к

графику функции y f х

в точке с абсциссой x0 .

258.

y 4 х2 ,

x0 2 .

260. y

8

,

x0 2 .

4 x2

1

259.

y

x3 4x 1, x

3.

3

0

262*. Составьте уравнение нормали к линии y 2

x в точке ее пересечения

с биссектрисой первого координатного угла.

263**. Покажите, что касательные, проведенные к гиперболе y

х 4

в точках

х 2

ее пересечения с координатными осями, параллельны между собой.

264**. Докажите,

что касательные к линии y

1 3x2

, проведенные в точках,

3 x2

для которых y 1, пересекаются в начале координат.

Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции.

265.

y 2x3 9x2

12x 9 .

273.

y xе3x .

266.

y x

2

x 2

2

.

x2

274*. y

е

.

267**. y 1 3

x2 2x .

x

275*. y x ех x2 .

268**. y 1 3

x 2 2 .

276.

y x

ln x .

y 2x3

3x2

269.

4 .

277.

y

ln x

.

y x 1 2 x 1 2 .

270.

x

1

278*. y

x4

.

271.

y х x 1 .

x3

1

280.

y 3 2x2 8x4,

2;

0 .

283.

y x

1

,

0,01;

100 .

281.

y x 2ln x,

1; e .

x

2; 4 .

284.

y 2x2

x

, 0;

4 .

282.

y x 2 x,

285. y 2x ,

1; 5 .

286.

y

x2

,

3;

5 .

288. y x2e x ,

1;

4 .

3x 6

287*. y x sin x,

; .

2

Найдите точки перегиба и промежутки выпуклости графика функции.

289.

y 6x x3 .

295. y 1 2x2 ex .

290.

y x3 6x2 2x 1.

296*. y 3

1 x .

x

291.

y х4 2x3 12x2

5x 2 .

297**. y

3 1 x2 .

292.

y х4 8x3 18x2

4x .

298*. y x2 ln x .

293*. y 2х2 ln x .

294.

y x

6

.

x

сти и продать, чтобы прибыль была максимальной?

310*. Функция спроса на товар имеет вид Р 7

Q 5 , функция издержек

ТС 4,25Q 0,0125 . Найдите:

а) объем производства Q , максимизирующий

выручку ТR , соответствующие цену товара и величину выручки; б) цену и ко-

личество товара, максимизирующие прибыль .

Вычислите пределы, используя правило Лопиталя.

ln x 5

311.

lim

1 cos x

.

318*. lim

.

e

x

x

x 5 ln e

x

5

312.

lim

x3

3x2

2

.

ln x

x 1 x3

4x2 5

319. lim

.

еx е x

x 0 ln sin x

313. lim

.

ln sin 2x

320*. lim

.

x 0 ln 1 x

ln sin x

x 0

еx

x3

x2

x 1

321*. lim

ctg x 1

.

314*. lim

6

2

.

x 1 ln 1 x

2

log2

3x 1

x 0

x

cos x

1

322. lim

.

2

3

х

x

315*.

lim

2 arctg x .

2х 3х

x

3

323*. lim

.

e x

1

x 0

х arctg x

316.

lim

еx

.

324*. lim xе x .

x

x x2

325*. lim

arcsin x ctg x .

317.

lim

ln x

.

x 0

x x3

348.

y 3x x3 .

355*. y x2 ln x .

349.

y x 1 2 x 3 2 .

356*. y x 4 ex 1 .

y 2х2

2 x3 .

x 1 2 .

350.

357**. y 3 x2

3

351.

y 2x 1 2 2x 1 2 .

358*. y

4x

2

.

x3

3x2

3 x2

352*. y

5 .

x3

4

359*. y

.

353*.

y

x3

4

.

2 x 1 2

x2

360*. y

1 x3

y

3 2x

.

354*.

.

x2

x 2 2

361**. y x

1 x .

еx

363**. y ln

x 1

.

362*. y x .

x

Функции нескольких переменных

Найдите

область

определения

функции

двух

переменных

и изобразите ее

на координатной плоскости.

ln x

364.

z

.

369.

z

x y

.

4 x2 y2

3 x2 y2

365.

z ln x y .

1

370.

z

x y2 .

x

366.

z

1 x2

y2 1 .

367.

z ln x ln sin y .

371.

z

y2 1 x 1

.

ln y2

1 .

368.

z

1 x 3

Найдите частные производные первого порядка функций.

372.

z 3x3 5ху2

4х2 у 2х 3у2 .

376.

z xsin y y cos x 2 .

373.

z

x 2 у

.

z

cos x

2

377.

.

3х

2

4ху

x y

378*. z x y .

374.

z

7ху2 4х 2 у .

375.

z

8x3

3

.

379*. z arctg

x y .

9ху2

4х у

Найдите частные производные второго порядка функций.

380.

z 7x4 у 3ху3 2х 3у 7 .

385.

z ln

y2

.

x

381.

z у5

3x4 3ху 2х 3 .

386.

z ln 1 x ln 1 y3 .

x

382.

z ln

.

387*. z x y .

y

383*. z arctg

х

388.

u

x

.

.

x y

2

у

u e3x2 2 y2 ху .

384*. z

2

у sin х

.

389.