Мат.анализ Экзамен 1 семестр

Вопросы к экзамену (1 семестр)

Пределы и непрерывность.

1. Определение предела последовательности. Сходящаяся последовательность.

2. Два определения предела функции в точке. Правый и левый пределы функции в точке. Предел функции в бесконечности.

3. Теоремы о пределах функции (арифметические операции над пределами, предельный переход в неравенствах).

4. Первый и второй замечательные пределы.

5. Бесконечно малые функции, их свойства.

6. Бесконечно большие функции, их свойства, связь с бесконечно малыми функциями.

7. Сравнение бесконечно малых функций.

8. Понятие непрерывности функции в точке (3 определения). Непрерывность функции в интервале и на отрезке.

9. Определение точек разрыва функции и их классификация.

10. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных в точке (арифметические операции над непрерывными функциями; непрерывность сложной функции).

11. Свойства функций, непрерывных на отрезке (ограниченность функции, существование нулей функции, о промежуточных значениях функции).

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

12. Производная, её геометрический, механический смыслы.

13. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного 2-х функций.

14. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности функций.

15. Правило дифференцирования сложной функции.

16. Теорема о производной обратной функции.

17. Вывод производных основных элементарных функций.

18. Логарифмическая производная.

19. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

20. Понятие производной n-го порядка.

21. Формулы Тейлора и Маклорена.

22. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала функции.

23. Дифференциалы высших порядков.

24. Теорема Ферма. Теорема Ролля.

25. Теорема Лагранджа. Теорема Коши.

26. Раскрытие неопределенности вида (0/0) и (∞/∞) по правилу Лопиталя.

27. Монотонности функции на интервале. Критерий постоянства функции на интервале.

28. Критерий монотонности функции на интервале.

29. Максимум и минимум функции. Необходимый признак экстремума функции.

30. Достаточные признаки экстремума функции.

31. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные признаки выпуклости (вогнутости) графика функции.

32. Понятие точки перегиба. Необходимый признак существования точки перегиба.

33. Асимптоты графика функции.