3. Решение систем линейных уравнений.

3.1 Решение систем линейных уравнений методом крамера

Пусть задана система линейных уравнений

Неизвестные x₁, x₂, … , x_n вычисляются по формулам:

 – определитель матрицы А,

_i – определитель матрица, полученный из матрицы А путем замены i-го столбца вектором b.

, , , ,

Запишем в табличном процессоре Microsoft Office Excel 2007 матрицы, которые понадобятся нам при вычислениях.

Найдем определители , ₁, ₂, и ₃, используя математическую функцию МОПРЕД. В поле МАССИВ выбираем матрицу, определитель которой нам нужно посчитать.

Корни уравнения найдем по формулам: .

В результате всех вычислений получились следующие данные:

3.2 Решение систем линейных уравнений матричным методом.

Пусть дана система линейных уравнений

Эту систему можно представить в матричном виде: А·Х=В, где

, , .

Умножим систему линейных алгебраических уравнений А·Х=В слева на матрицу, обратную к А. Тогда система уравнений примет вид:

А^-1·А·Х=А^-1·В.

Так как А^-1·А=Е (единичная матрица), то получим Е·Х=А^-1·В.

Таким образом, вектор неизвестных вычисляется по формуле: Х=А^-1·В.

Запишем матрицы, которые понадобятся для вычисления.

Для нахождения обратной матрицы делаем следующие шаги:

1. Выделяем диапазон ячеек V27 : X29.

2. Вызываем функцию МОБР

3. Выделяем диапазон ячеек матрицы a (V22:X24), закрываем скобку и нажимаем на Ctrl+Shift+Enter, появляется обратная матрица.

Теперь найдем вектор неизвестных по формуле Х=А^-1·B:

1. Выбираем диапазон ячеек Z27:Z29.

2. Вызываем функцию МУМНОЖ;

3. В поле для МАССИВА1 указываем диапазон V27:X29;

4. В поле для МАССИВА 2 указываем диапазон AA22:AA24, закрываем скобку, нажимаем на Ctrl+Shift+Enter ;

3.3 Проверка матрицы с помощью Крамера.

Провел проверку, решив систему уравнения самостоятельно методом Крамера.

Заменяем столбцы коэффициентов матрицы А, столбцами свободных членов матрицы В, получаются 3 новые матрицы.

Найдем определитель каждой матрицы:

Корни уравнения найдем по формулам:

Следовательно, посчитанные корни равны корням, вычисленных с помощью Excel.

4. Построение графика системы уравнений.

Табулируем систему уравнений. В ячейку А3 пишем АРГУМЕНТ, в В3 вводим ФУНКЦИЯ; в А4 записываем -2, в А5 -1,9 и заполняем до А25 авто заполнением.

В ячейку B4 вводим систему уравнений в виде, в котором Excel сможет ее прочесть:

=ЕСЛИ(A4<=1;((1+(ABS(A4)))/((КОРЕНЬ(1+A4+(A4*A4)))^(3)));ЕСЛИ(A4>=0;(1+A4)^(3/5);2*LN(1+(A4^2))+((1+(COS(A4)*COS(A4)*COS(A4)*COS(A4))/(2+A4))))), и растягиваем ее до В25 с авто заполнением.

По полученным данным строим график.

4.1Построение графика с помощью математической подстановки.

Берем значения х такие, что бы подходили нашему промежутку , и выбираем, какому из 3 интервалов принадлежит число.

Из вычислений видно, что точки получились такие же, как и в Excel, но с меньшей точностью. Так же эти точки совпадают и на графике.