13.6. Математическое обеспечение предосторожного подхода

13.6.1. Важнейшее место в предосторожном подходе к оценке общего допустимого улова занимает математическое обеспечение.

В.К Бабаян различает три группы математических методов при таком подходе:

• методы анализа продуктивности запаса в равновесных условиях:

• методы оценки и прогнозирования параметров запаса в условиях динамики запаса;

• вероятностно-статистические методы анализа промежуточных и конечных результатов расчетов.

Первые две группы методов рассмотрены в главах 7 и 8 этой книги. Более подробно с пояснениями они описаны в монографии В.К. Бабаяна (2000), которая положена в основу материалов этой главы.

13.6.2. Методы учета неопределенности, вероятностно-статистические методы в теории и практике рыболовства имеют важнейшее значение и в основном изложены в главе 9 учебного пособия. Здесь же рассмотрим коротко те из них, которые описаны в литературе по предосторожному подходу.

13.6.3. В общем случае при предосторожном подходе различают следующие виды неопределенности.

1. Неопределенность, связанная с ошибками измерений показателей запаса и промысла.

2. Неопределенность, обусловленная стохастическим характером динамики составляющих биомассы запаса, например, пополнения.

3. Неопределенность, связанная с неточностью моделей описывающих процессы управления рыболовством.

4. Неточность определения биомассы и промысловой смертности в результате влияния первых трех видов неопределенности.

5. Неопределенность, связанная с погрешностями стратегии управления рыболовством.

Как отмечает В.К. Бабаян, виды неопределенностей имеют различное значение как с учетом рекомендаций по регулированию промысла, так и борьбы с вредным влиянием неопределенностей. Важно, например, учитывать, что можно снизить влияние неопределенностей, обусловленных сбором и обработкой измеряемых показателей запаса и промысла, погрешностями моделей и управления процессом управления рыболовством. В то же время сложно уменьшить, а иногда и охарактеризовать неопределенность в результате влияния различных факторов естественного происхождения.

При изучении запасов и управлении запасами протекающие процессы в системах управления рыболовством часто считают случайными стационарными процессами, когда случайность оценивают известными способами теории вероятностей и математической статистики. Так при решении задач методами предосторожного подхода наиболее часто определяют распределение случайной величины, математическое ожидание, среднеквадратичное отклонение, коэффициент вариации, доверительные интервалы.

13.6.4. При предосторожном подходе используют метод статистических испытаний и бутстрепа.

Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) применяют для приближенной оценки случайных факторов, чаще случайных величин, при отсутствии или сложности алгоритма точной оценки этих величин. В общем случае метод заключается в следующем. Сначала получают некоторую формальную функциональную зависимость, которая отражает физическую или биологическую сущность задачи управления рыболовством. Затем с помощью полученной модели проводят случайные многократные испытания, выбирая независимые переменные из таблицы случайных чисел. Каждый из полученных результатов рассматривают как случайную реализацию принятой функциональной зависимости. Далее реализацию представляют в виде вариационного ряда и известными методами математической статистики определяют вид и параметры исследуемой функции. Количество реализаций выбирают из условия получения ошибки не больше заданной. При этом ошибка, как правило, уменьшается обратно пропорциональнои числообычно не превышает 100-200.

Во всех случаях статистического моделирования случайных величин используют таблицы случайных чисел с условно равномерным распределением на интервале [0;1].

При использовании метода Монте-Карло различают моделирование случайных событий, случайных дискретных и случайных непрерывных величин.

Для моделирования одного случайного события с вероятностью достаточно одного равномерно распределенного на интервале [0;1] некоторого числа. При попадании этого числа в интервалсчитают, что событие наступило, в противном случае не наступило.

Более сложным является моделирование полной группы несовместимых событий с различными вероятностями . При этом также достаточно одного числа, которое попадает или не попадает в область, ограниченную вероятностями.

При моделировании случайных дискретных величин наиболее часто используют метод последовательных сравнений. В этом методе случайное число , равномерно распределенное на интервале, последовательно сравнивают с вероятностью появления наименьшего из возможных значений моделируемой случайной величины. Далее это число сравнивают с суммой вероятностей появления наименьшего и следующего за ним значений, с суммой вероятностей наименьшего и двух следующих за ним значений и т.д. При первом выполнении условия процесс прекращают, и случайная дискретная величина считается принявшей значение .

Величину рассчитывают по функциям вероятности, соответствующим моделируемому закону.

В задачах управления рыболовством наиболее часто моделируют случайные непрерывные величины с заданными законами распределения - равномерным, экспоненциальным, логистическим, нормальным, Вейбулла.

Для моделирования случайных непрерывных величин в основном применяют методы нелинейных преобразований, исключения (метод Неймана) и композиций. Все методы, а также основные статистические распределения случайных непрерывных величин и алгоритмы их имитации подробно рассмотрены в литературе.

Выбор конкретного метода моделирования зависит от закона распределения моделируемой величины. При этом один и тот же метод может быть эффективен при одних значениях параметров распределения и неэффективен при других.

В теории рыболовства метод статистических испытаний наиболее часто применяют для оценки ошибок и других статистических характеристик запаса и эффективности управления параметрами рыболовства. Рассмотрим особенности решения одной из подобных задач.

При оценке ошибок некоторой случайной величины методом Монте-Карло задачу можно сформулировать следующим образом. Известна модель величины как функция нескольких переменных.Модель получена по результатам экспериментальной оценки значений переменных как случайных входных величин.Необходимо определить точность оценки величины , если известны законы распределения случайных величин.

Задачу можно решить аналитическим методом и методом процентилей.

При аналитическом методе решения задачи считают, что случайная величина распределена по нормальному закону. В этом случае интервальную оценку величины определяют известными способами по стандартной ошибкеэтой величины при заданной доверительной вероятности.

По В.К. Бабаяну, доверительные интервалы оценки случайной величины при заданной доверительной вероятностиопределяют в следующей последовательности.

1. Находят или задают законы распределения параметров модели как случайных величин.

2. Из таблиц случайных чисел для известных законов распределения параметров или с помощью генератора случайных чисел формируют набор входных данных для одного случайного значения ошибки.

3. Набор входных параметров подставляют в модель и рассчитывают оценку величины .

4. Операции п. 2 и 3 повторяют для наборов данных.

5. Рассчитывают оценку стандартной ошибки

.(13.17)

где - -я реализация оценки параметра ; - среднее значение оценки .

По заданной доверительной вероятности из таблиц находят критерий Стьюдента.

6. С применением значений , и находят интервальную оценку :

. (13.18)

Метод процентилей применяют для приближенной интервальной оценки величины с учетом заданной доверительной вероятности, но без предварительной оценки стандартной ошибки. Метод можно использовать при любом законе распределения случайной величины .

13.6.5. Рассмотренный метод статистических испытаний Монте-Карло служит для планирования численных экспериментов для оценки неопределенности, которая содержится в любой модели.

Иногда для уточнения результата исследований перед применением этого метода применяют метод бутстрепа. Этот метод служит для регулирования случайной выборки, которую применяют в численных экспериментах.

Как и в самом методе Монте-Карло, в методе бутстрепа используют искусственное внесение случайности в эксперимент для преобразования некоторых систематических ошибок в случайные.

Как отмечает В.К. Бабаян, ранее метод бутстрепа использовали в основном для уменьшения смещения различия между фактической и расчетной оценкой неопределенности. Однако при использовании совместно с методом Монте-Карло, его используют в настоящее время для оценки выборочной дисперсии, границ доверительных интервалов и проверки гипотез. Таким образом, он может служить достаточно универсальным методом определения статистических характеристик при недостатке исходной информации.

Общие особенности решения задач с использованием метода бутстрепа рассмотрены в книге В.К. Бабаяна (2000).