- •Введение.
- •Глава 1. Уравнения максвелла - основные уравнения электромагнитного поля
- •1.1. Основные вектора, характеризующие электромагнитное поле
- •1.2. Первое уравнение Максвелла
- •1.3. Второе уравнение Максвелла
- •1.4. Система уравнений Максвелла
- •Интегральная форма записи уравнений Максвелла:
- •Дифференциальная форма записи уравнений Максвелла:
- •1.5. Векторы электромагнитного поля на поверхности раздела двух сред (граничные условия) Постановка задачи.
- •Граничные условия для нормальных составляющих векторов электрического поля.
- •Граничное условие для, нормальных составляющих, векторов магнитного поля.
- •Граничные условия для тангенциальных составляющих векторов электрического поля.
- •Граничные условия для тангенциальных составляющих векторов магнитного поля.
- •1.6. Вопросы для самопроверки
- •Глава 2. Энергия и энергетические преобразования в электромагнитном поле
- •2.1. Закон Джоуля - Ленца. Энергия электромагнитного поля
- •2.2. Теорема Умова - Пойнтинга
- •2.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 3. Электродинамические потенциалы и классификация полей
- •3.1. Формальное введение магнитного векторного и электрического скалярного потенциалов
- •3.2. Запись системы уравнений Максвелла через скалярный электрический и векторный магнитный потенциалы
- •3.3. Классификация электромагнитных полей
- •3.4. Вопросы для самопроверки
- •Глава 4. Статические поля
- •4.1. Основные уравнения электростатического поля
- •4.2. Применение принципа симметрии для расчета простейших полей
- •1. Поле точечного заряда в однородной среде
- •2. Поле заряженной оси
- •3. Поле заряженного цилиндра
- •4. Поле и емкость коаксиального кабеля
- •5. Поле бесконечно протяженной заряженной плоскости
- •4.3. Применение принципа суперпозиции для расчета полей
- •1. Поле диполя
- •2. Поле двух заряженных осей
- •4.4 Метод зеркальных изображений
- •4.4.1. Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости
- •4.4.2. Поле заряженной оси, расположенной вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями
- •4.4.3. Электростатическое поле системы заряженных тел, расположенных вблизи проводящей плоскости.
- •4.4.4. Потенциальные коэффициенты. Первая группа формул Максвелла.
- •4.4.5. Емкостные коэффициенты. Вторая группа формул Максвелла.
- •4.4.6. Частичные емкости. Третья группа формул Максвелла.
- •4.5. Поле двух заряженных цилиндров
- •4.6. Поле двойного электрического слоя
- •4.7. Интегрирование уравнений Пуассона и Лапласа
- •4.8. Поле Цилиндра, помещенного в однородное электрическое поле
- •4.9. Статические магнитные поля
- •4.10. Вопросы для самопроверки
- •Глава 5. Стационарные поля
- •5.1. Основные определения и уравнения
- •5.2. Стационарное электрическое поле
- •5.3. Аналогия между полем в проводящей среде и электростатическим полем. Моделирование полей
- •5.4. Стационарное магнитное поле
- •5.5. Расчет стационарных полей при помощи скалярного магнитного потенциала
- •1. Поле контура с током
- •2. Магнитный диполь
- •3. Поле на оси кольцевого тока
- •5.6. Вычисление индуктивностей. Принцип взаимности
- •5.7. Вопросы для самопроверки
- •Глава 6. Уравнения максвелла в комплексной форме
- •6.1. Символический метод расчета синусоидально-изменяющихся полей
- •6.2. Теорема Умова-Пойнтинга в комплексной, форме записи
- •6.3. Вопросы для самопроверки
- •Глава 7. Электромагнитные волны
- •7.1. Волновое уравнение
- •7.2. Плоская волна
- •7.3. Гармонические волны
- •7.4. Уравнение плоской волны, движущейся в произвольном направлении. Фазовая скорость и скорость распространения энергии
- •7.5. Электромагнитные волны в коаксиальном кабеле без потерь
- •7.6. Отражение плоской волны от плоской границы
- •7.7. Волноводы и резонаторы
- •7.8. Излучение
- •7.9. Вопросы для самопроверки
- •Глава 8. Переменные поля в проводящих средах
- •8.1. Основные уравнения. Плоская гармоническая волна
- •8.2. Электрический поверхностный эффект в плоской шине
- •8.3 Поверхностный эффект в цилиндрических проводниках
- •8.4. Расчет сопротивлений при переменном токе
- •8.5. Магнитный поверхностный эффект в плоских листах. Средняя магнитная проницаемость. Потери на вихревые токи
- •8.6. Вопросы для самопроверки
- •Список литературы
- •Содержание
1.2. Первое уравнение Максвелла
В семидесятых годах прошлого столетия выдающийся английский физик Джеймс Клерк Максвелл сформулировал уравнения, совокупность которых описывает любое электромагнитное явление в макроскопическом масштабе. Эти уравнения обобщали теоретические и экспериментальные результаты, полученные к тому времени Эрстедом, Ампером, Фарадеем и другими физиками.
В интегральной форме первое. уравнение Максвелла записывается так:
где - напряженность магнитного поля;
- плотность тока проводимости;
l- контур, ограничивающий поверхностьs; обход контураlпри интегрировании согласуется с направлением нормалик поверхностиsправилом правоходового винта, обычно направление нормалипринимают совпадающим с направлением вектора;
- ток проводимости;
- ток смещения.
К формулировке первого уравнения Максвелла можно прийти, исходя из сформулированного Ампером закона полного тока в интегральной форме:
. (1.1)
Применив к уравнению (1.1) известную из векторного анализа теорему Стокса, получим или
. (1.2)
Это уравнение является дифференциальной формой записи закона полного тока.
Взяв дивергенцию от обеих частей равенства (1.2), получим , ввиду того, что дивергенция ротора тождественно равна нулю. В тождественном равенстве , которое должно выполняться для любого случая, заключено противоречие. Дело здесь в следующем. Рассмотрим объемс объемным зарядомp. Изменение заряда во времени внутри объемаможно записать в виде производной .
Это же изменение заряда в единицу времени может быть определено по количеству заряда, выходящего или входящего в объем через ограничивающую этот объем поверхность s. Через элемент поверхностив единицу времени проходит заряд, равный, гдеVесть скорость движения зарядов через поверхность. Взяв интеграл отпо поверхностиs, получим общее изменение заряда в единицу времени внутри объема. На основании вышеизложенного можно записать:
. (1.3)
Наличие в уравнении знака «минус» объясняется тем, что при увеличении заряда внутри объема левая часть уравнения - положительна, а произведение - отрицательно, так как увеличение заряда внутри объемавозможно только за счет поступления туда зарядов извне.
Уравнение (1.3) представляет собой математическую запись фундаментального закона природы - закона сохранения заряда. Часто это уравнение называют уравнением непрерывности в интегральной форме.
Применяя к (1.3) теорему Остроградского, получим
Ввиду того, что это равенство должно выполняться для любого объема, поэтому
. (1.4)
Уравнение (1.4) называется уравнением непрерывности в дифференциальной форме.
Теперь понятно, что тождественное равенство противоречит закону сохранения заряда (1.4). Это противоречие Максвелл устранил добавлением в правую часть (1.2) еще одного слагаемого, которое он назвал плотностью тока смещения
. (1.5)
Теперь, очевидно, должно выполняться равенство
(1.6)
или
. (1.7)
Сравнивая (1.7) и (1.4), получаем
.
Проинтегрировав это равенство по объему и изменив в правой части порядок дифференцирования по времени и интегрирования по объему, будем иметь
.
Далее Максвелл предположил, что для рассматриваемого общего случая, т. е. и для переменных электромагнитных полей, справедлива электростатическая теорема Гаусса
.
Это позволило записать
.
Откуда и получается, что
. (1.8)
Сумму плотности тока проводимости и плотности тока смещенияМаксвелл назвал плотностью полного тока
. (1.9)
Для которого справедливы следующие дифференциальное и интегральное соотношения
, (1.10)
. (1.11)
Дифференциальная форма записи закона полного тока с новым слагаемым будет такой
. (1.12)
Это уравнение называется первым уравнением Максвелла в дифференциальной форме.
Подставив в (1.8)
,
получим
.
Второе слагаемое в правой части этого равенства представляет плотность тока связанных в диполи зарядов
. (1.13)
С физической точки зрения первое уравнение Максвелла (1.12) утверждает тот факт, что напряженность магнитного поля определяется не только движением свободных и связанных зарядов (), но в равной степени и скоростью изменения электрического поля во времени. Другими словами, изменяющееся магнитное поле может существовать в областях пространства, в которых отсутствует движение зарядов, но имеется изменяющееся электрическое поле.