1.2.2. Оценки точности уравнения регрессии и его параметров

Стандартная ошибка оценки по регрессии. Как было отмечено, несмещённая оценка дисперсии остатков уравнения регрессии называется остаточной дисперсией

= =.

Корень квадратный из остаточной дисперсии называется стандартной ошибкой оценки по регрессии. Обозначается она обычно S_y,x и вычисляется по формуле

S_y,x = .

Стандартная ошибка оценки по регрессии показывает, насколько в среднем мы ошибаемся, оценивая значение зависимой переменной по найденному уравнению регрессии при фиксированном значении независимой переменной.

Оценка значимости уравнения регрессии (дисперсионный анализ регрессии). Для оценки значимости уравнения регрессии устанавливают, соответствует ли выбранная модель анализируемым данным. Для этого используется дисперсионный анализ регрессии. Основная его посылка – это разложение общей суммы квадратов отклонений на составляющие. Известно, что такое разложение имеет вид

=+,

если в уравнении регрессии присутствует свободный член. В противном случае в правую часть надо добавить слагаемое 2. Но как было показано, второй член этого слагаемого (равен нулю, если в уравнении регрессии присутствует свободный член.

Второе слагаемое в правой части этого разложения уже встречалось и обсуждалось – это часть общей суммы квадратов отклонений, объясняемая действием случайных и неучтенных факторов. Первое слагаемое этого разложения – это часть общей суммы квадратов отклонений, объясняемая регрессионной зависимостью. Следовательно, если регрессионная зависимость между у и х отсутствует, то общая сумма квадратов отклонений объясняется действием только случайных факторов или ошибок, т.е. =. В случае функциональной зависимости между у и х действие случайных факторов и ошибок отсутствует и тогда =.

Будучи отнесёнными к соответствующему числу степеней свободы эти суммы называются средними квадратами отклонений и служат оценками дисперсии в разных предположениях. Одна из них рассчитывается в предположении отсутствия регрессионной зависимости, а другая – без такого предположения. Следовательно, если регрессионная зависимость отсутствует, то эти оценки должны быть близкими. Сравниваются они на основеF-отношения:

F = MSR/ MSE. Таким образом, F-статистика проверяет гипотезу о незначимости уравнения регрессии (H₀: = 0), т. е. о том, что зависимости между анализируемыми переменными нет. Если верна нулевая гипотеза, тоF-статистика следует распределению Фишера и, зная уровень значимости и число степеней свободы числителя и знаменателя, можно определить критические значения этого распределения.

Расчётное значение F-статистики сравнивается с критическим значением (в нашем случае число степеней свободы числителя равно 1 (число регрессоров), а число степеней свободы знаменателя равно (n – 2)) с уровнем значимости . ЕслиF< F, то гипотеза о незначимости уравнения регрессии не отклоняется, т. е. не отклоняется гипотеза о том, что = 0, и уравнение регрессии признаётся незначимым. В этом случае надо либо изменить вид зависимости, либо пересмотреть набор исходных данных.

При компьютерных расчётах в некоторых статистических пакетах программ оценка значимости уравнения регрессии осуществляется на основе дисперсионного анализа в таблицах вида:

Таблица 1.1 – Дисперсионный анализ регрессии

Источник вариации	Суммы квадратов	Степени свободы	Средние квадраты	F- отношение	p-value
Модель	SSR	1	MSR	MSR/ MSE	Уровень
Ошибки	SSE	n – 2	MSE		знач-ти
Общая	SST	n – 1

Здесь p-value – это вероятность выполнения неравенства F< F или расчётный уровень значимости. Если эта вероятность мала (меньше ), то нулевая гипотеза отклоняется.

В некоторых статистических пакетах программ значение F-статистики и вероятность для неё приводятся без показа процедуры их вычисления.

Если в уравнении регрессии нет константы, то в некоторых статистических пакетах F-статистика просто не вычисляется.

Интервальные оценки параметров уравнения регрессии. При использовании параметров уравнения регрессии в анализе и прогнозировании для них необходимо уметь строить интервальные оценки.

Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется из соотношения (btS_b), где S_b – стандартная ошибка оценки коэффициента регрессии. Известно, что

S_b=.

Доверительный интервал для свободного члена уравнения регрессии определяется из соотношения (аtS_а), где S_а – стандартная ошибка оценки свободного члена уравнения регрессии. Известно, что

S_а=.

Интервальная оценка расчетных значений определяется доверительным интервалом (), где стандартная ошибка оценки, определяемая из соотношения

= .

Интервальная оценка прогнозных значений определяется из подобного же соотношения, только в стандартную ошибку добавляется ещё стандартное отклонение, характеризующее рассеяние прогнозных значений зависимой переменной вокруг линии регрессии.

Проверка значимости параметров уравнения регрессии. Кроме проверки значимости уравнения регрессии в целом необходимо уметь проверять значимость каждого параметра уравнения регрессии в отдельности. Осуществляется это на основе t-статистик. Значения этих статистик рассчитываются из соотношений: t_a = a/S_a, t_b = b/S_b. Для этих статистик определяются критические значения или расчётные уровни значимости, на основе которых и принимаются решения о значимости или незначимости соответствующих параметров.

В случае парной линейной регрессии проверка значимости уравнения регрессии в целом и проверка значимости коэффициента уравнения регрессии по сути дела одно и то же, т. к. в том и другом случае проверяется одна и та же гипотеза о том, что коэффициент уравнения регрессии равен нулю. Кроме того, можно показать, что для парной линейной регрессии F = .

Уравнение простой регрессии в компьютерных расчётах обычно выдаётся в виде следующей таблицы.

Таблица 1.2 – Уравнение простой регрессии

Параметр	Оценка	Ст. ошибка	t-статистика	р-value
Пересечение	а	Sa	ta=a/Sa
Наклон	b	Sb	tb =b/Sb

Пересечение и наклон – это другое название свободного члена уравнения регрессии и его коэффициента, основанное на геометрическом смысле этих величин, если рассматривать уравнение регрессии как уравнение прямой линии или линии регрессии. Смысл остальных столбцов понятен из их названия.

Кроме уже рассмотренных показателей точности уравнения регрессии обычно ещё используют коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации (R-квадрат) является удобной оценкой качества подгонки данных моделью. Выясним его смысл. В общем случае коэффициент детерминации определяется из соотношения

R² = ,

т. е. это доля выборочной дисперсии переменной y, которая объясняется моделью. Следует иметь в виду, что также соответствует выборочному среднему(см. соотношение (1.2)). Следовательно, коэффициент детерминации характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленную вариацией независимой переменной. Обычно он выражается в процентах, поэтому, например, еслиR² = 75%, то это значит, что 75% вариации зависимой переменной у объясняется вариацией независимой переменной х, а остальные 25% изменения у объясняются либо ошибками наблюдений, либо действием неучтенных факторов, либо тем и другим.

Известно, что если модель содержит свободный член, то справедливо соотношение (следует из )() =() +(), откуда следует, что

= 1 – = 1 –.

Отсюда следует, что действительно определяет, какую долю выборочной вариацииможно объяснить моделью.

Если уравнение регрессии содержит свободный член, то оба выражения для эквивалентны. Кроме того, в этом случае можно показать, что 0всеравны 0 и равен 1, если в уравнении регрессии содержится только константа).

Можно показать, что в случае парной линейной регрессии коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции, т.е. R² =.

Следует иметь в виду, что измеряет только качество линейной аппроксимации, но не меру качества статистической модели. Кроме того,чувствителен к определению зависимой переменной и в случае её изменения разные модели посравнивать нельзя.

3. Спецификация уравнения регрессии

Под спецификацией уравнения регрессии понимают выбор объясняющих переменных и установление вида связи между изучаемыми явлениями. В случае парной регрессии эта задача сводится к выбору независимой переменной и вида связи. Решение этих вопросов должна давать теория, описывающая взаимосвязи изучаемых процессов.

К ошибкам спецификации в случае парной регрессии можно отнести неправильный выбор доминирующего фактора, влияющего на изменение изучаемого показателя, или неправильный выбор вида зависимости между изучаемыми показателями. И в том и в другом случае будут нарушены предпосылки МНК, особенно 3-я и 4-я, т.е. остатки регрессии будут гетероскедастичными и автокоррелироваными.

Гетероскедастичность и автокорреляция остатков уравнения регрессии могут сказаться на эффективности оценок, полученных на основе МНК и на смещённости оценки их дисперсии. Поэтому интервальные оценки и статистические выводы о значимости оценок в этом случае могут быть ненадёжными.

Разработаны специальные статистические методы проверки остатков на гомоскедастичность и автокорреляцию. Рассмотрим сначала наиболее простые из них.

1.3.1. Проверка остатков регрессии на гетероскедастичность (тест Голдфелда – Квандта)

Этот тест применяется в предположении нормально распределённых остатков и в предположении их пропорциональности величинам объясняющей переменной х. Для применения рассматриваемого теста пары наблюдений упорядочиваются в порядке роста значений независимой переменной х. Затем выбираются первые и последние наблюдения в количестве не менее n/3. По выбранным наблюдениям строятся уравнения регрессии (отдельно по каждому набору) и сравниваются их остаточные суммы квадратов. Гипотеза о гомоскедастичности в этом случае будет равносильна гипотезе о том, что остатки в этих уравнениях представляют собой выборочные наблюдения нормально распределённых случайных величин с одинаковыми дисперсиями. Сравнивая эти дисперсии по критерию Фишера (число степеней свободы числителя и знаменателя здесь совпадают, т. к. слева и справа берётся одинаковое число наблюдений) принимаем или отклоняем гипотезу о гомоскедастичности остатков.

Несмотря на ограниченность применения этого критерия (пропорциональность величин остатков значениям независимой переменной), данный тест работает с элементами выборки и не требует больших объёмов выборки как асимптотические тесты.

.