(по цифровому вещанию) Dvorkovich_V_Cifrovye_videoinformacionnye_sistemy

Глава 9. Вейвлеты и кратномасштабная обработка изображений

ных уровнях разрешения, или масштаба: если число m мало, то функция vm(t) — грубая аппроксимация u(t), в которой отсутствуют детали.

Выбор масштабирующей функции ϕ0(t) достаточно произволен, но желательно стремиться к тому, чтобы спектр функций подпространства V0 был ограничен.

Положим, пространство V0 состоит из сигналов, имеющих разрешение по времени, равное условной «1». Тогда в пространстве Vm сигналы имеют разрешение 2m, и оно отличается от V0 только перемасштабированием базисной функции в соответствии с (9.15).

√ Функцию ϕ(t) представляют в виде линейной комбинации сдвигов функции 2ϕ(2t − k) с определенными весовыми коэффициентами масштабирования hk.

В общем случае может быть задано произвольное число весовых коэффициентов K:

−∞

где ϕ(t) и ϕ (t) — комплексно сопряженные функции. Поскольку условие нормировки ϕ(t) определяется соотношением (9.14), сумма квадратов коэффициентов hk равна единице:

K−1

k=0

Масштабирующее уравнение в частотной области и полностью определяется периодической функцией H(ω):

Перевод сигнала из пространства Vm+1 с более высоким разрешением в пространство Vm реализует нормированную децимацию сигнала — двукратное прореживание при уменьшении в 2 раза числа отсчетов сигнала. Это эквивалентно передаче сигнала vm+1(k) Vm через низкочастотный фильтр с импульсной характеристикой, определяемой коэффициентами hk, и с частотой среза, равной половине частоты Котельникова–Найквиста, при прореживании частотного диапазона децимированного сигнала vm(k) в 2 раза. На рис. 9.7 приведено отображение последовательности ряда таких операций в частотной области представления пространств Vm(ω), которые имеют физический смысл разделения спектров сигналов на низкочастотную Vm−1(ω) и высокочастотную Wm−1 части.

При разложении сигнала составляющие пространства Vm+1 разделяются на низкочастотные (подпространство Vm) и высокочастотные составляющие (подпространство Wm), как показано на рис. 9.8.

В пространстве Wm должна сохраняться высокочастотная часть информации сигнала, что может быть реализовано применением специально подобранного высокочастотного фильтра, и детализирующее уравнение в частотной области

женные функции. Масштабированные и смещенные версии вейвлета определяются соотношением:

Следует повторить, что разложение сигналов в вейвлетные ряды на заданном уровне разрешения m0 выполняется по формуле (9.13). Это соотношение показывает возможность аппроксимации любого произвольного сигнала u(t) набором простых локальных функций ϕm,k(t) и ψm,k(t), ортогональных на разных уровнях значений m и полностью покрывающих пространство L2(R) за счет смещений k.

Глава 9. Вейвлеты и кратномасштабная обработка изображений

В данном случае восстановление сигнала возможно только с помощью КИХ-

N n−M

+(−1)n · hn · gn−k · [1 + (−1)k] · cos πkx +

Из этого соотношения следует: коэффициенты Ak при всех нечетных значениях k равны нулю;

min{N,M}

если A0 = 2 и все значения A2k при k = 0 приравнять к нулю, то восстанавливающие фильтры являются КИХ-фильтрами и

Нечетные производные в точке x = 0 равны нулю по определению функций H(x) и G(x). Равенство нулю четных производных функции H(x) в точке x = 0 приводит к расширению спектра низкочастотной составляющей сигнала, равенство же нулю четных производных функции G(x) при x = 0 обеспечивает

9.4. Основные сведения о субполосном кодировании

уменьшение высокочастотной части спектра, выделяемой составляющей сигнала. Зачастую для оптимизации формы спектра высокочастотной составляющей целесообразно подбирать значения некоторых производных G(x) в точке x = 0.

В табл. 9.1 приведены параметры нескольких фильтров, рассчитанных по приведенной методике. Обозначение фильтров, стоящее в первом столбце, соответствует числу дискретных отсчетов фильтра при его реакции на одиночный входной сигнал — (2N + 1)/(2M + 1). В ряде случаев система уравнений имеет несколько решений, наилучшие из которых зафиксированы в табл. 9.1.

Таблица 9.1. Параметры фильтров с нечетным числом отсчетов цифровой решетки и линейной ФЧХ

Фильтры 5/3 и 9/7 по своим характеристикам идентичны соответствующим фильтрам, приведенным в стандарте JPEG-2000 [3.108, 3.110].

В качестве примера на рис. 9.11 для сравнения приведены характеристики низкочастотного и высокочастотного фильтров для банков 5/3 и 13/11. Как следует из сравнения этих характеристик, высокочастотные составляющие сигнала на выходе банка 13/11 практически равны нулю в полосе частот до x = 0,25.

Глава 9. Вейвлеты и кратномасштабная обработка изображений

Ниже для пояснения приведена система уравнений, использованная при расчете банка фильтров 13/11. Первые пять уравнений обеспечивают выполнение условия det(x) = const. Эти уравнения с последующими четырьмя уравнениями обеспечивают выполнение условий (9.39). Следующее уравнение определяет равенство нулю второго момента низкочастотного фильтра, а последние три уравнения накладывают условия на второй, четвертый и шестой моменты высокочастотного фильтра, при этом второй и четвертый моменты приравнены

На рис. 9.12 приведены сквозные характеристики банка фильтров 13/11 в точках до суммирования составляющих (см. рис. 9.9), соответствующие первому (а)

H (z) · Kh(z) = H (x) · G(x); G (z) · Kg(z) = G (z) · H(x).

Заметим, что в первом случае характеристика высокочастотной составляющей проходит через нуль при x = 0,5, во втором же случае через нуль в этой точке проходит характеристика низкочастотной составляющей.