2.2.Уравнения электростатического поля в интегральной и дифференциальной форме

Для электростатического поля имеем:

или _.

или , _.

Ротор вектора характеризует его вихри в пространстве. Равенствоозна­чает, чтоэлектростатическое поле является безвихревым, т.е. потенциальным.

В декартовой системе координат операция записыватся так:

.

интегральная форма записи теоремы Гаусса в обобщенной форме гласит, что поток вектора элек­трического смещения сквозь замкнутую поверхностьS равен ал­гебраической сумме сво­бодных зарядов, расположенные внутри поверхности S.

Для однородной среды , тогда.

По теореме Остроградского перейдем к дифференциальной форме урав­нения теоремы Гаусса:

―дифференциальная форма теоремы Гаусса.

Дивергенция вектора характеризует его истоки в пространстве, следо­вательно, ли­нии вектораначинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.

Истоком вектора в отличие от истока вектораявляются не только свободныеρ, но и связанные заряды.

В декартовой системе координат операция div запишется так:

.

Для однородной среды , тогда.

2.3. Электрический потенциал

Равенство озна­чает, что электростатическое поле является безвихревым, т.е. потенциальным. Учитывая, что

,

приходим к следующему выводу, что для электростатического поля можно найти некоторую скалярную функцию такую, что

. (2.1)

Скалярная функция называетсяпотенциальной функцией, или просто потенциалом.

Потенциал можно выразить через напряженность электростатического поля с точностью до постоянной:

. (2.2)

Запишем формулу, определяющую напряжение между двумя произвольными точками поля а и p:

. (2.3)

Напряжение между двумя произвольными точками равно работе (энергии), затраченной полем на перемещение единичного положительного заряда из одной точки в другую.

В потенциальном поле напряжение равно разности потенциалов.

Полагая потенциал некоторой фиксированной точки p поля равным нулю (), получим:

.

Потенциал некоторой точки есть работа (энергия), затрачиваемая полем на перемещение единичного положительного заряда из данной точки в фиксированную точку, где потенциал принят равным нулю

. (2.4)

В электротехнике за базовую точку с заданным нулевым потенциалом принимают “землю”, а при отсутствии заземления  любую точку.

Потенциал является энергетической характеристикой поля.

Напряженность электрического поля определяется как градиент потенциала

где  оператор пространственного дифференцирования.

2.4.Картина поля.

Электрическое поле можно наглядно характеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий.

Силовая линия – это мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на отрицательно заряженном теле. Проводится она таким образом, что касательная к ней в любой точке ее дает направление напряженности поля в этой точке. Вдоль силовой линии передвигался бы весьма малый положительный заряд, если бы он имел возможность свободно перемещаться в поле и если бы он не обладал инерцией.

В электрическом поле могут быть проведены эквипотенциальные (равнопотенциальные) поверхности. Под эквипотенциальной поверхностью понимают совокупность точек поля, имеющих один и тот же потенциал. Если мысленно рассечь электростатическое поле какой-либо секущей плоскостью, то в полученном сечении будут видны следы пересечения плоскости с эквипотенциальными поверхностями. Их называют эквипотенциальными линиями (или эквипотенциалями).

Эквипотенциальные и силовые линии в любой точке поля пересекаются под прямым углом. На рисунке для примера изображены два заряженных тела и проведено несколько силовых и эквипотенциальных линий.