3. Индуктивность в цепи переменного тока.

Рассмотрим индуктивность в цепи переменного тока. Исследуем, что произойдёт с током в цепи, если напряжение на входе изменяется по закону косинуса:

U =U₀ cos t; (12).

Рис6. Индуктивность включена в цепь переменного тока.

Известно, что ЭДС самоиндукции зависит от индуктивности L и скорости изменения тока, и определяется известной вам формулой .

Теперь обратим внимание на то, что внешний источник напряжения и ЭДС самоиндукции включены параллельно. Следовательно, в соответствии со вторым законом Кирхгофа «Сумма падений напряжений в последовательной замкнутой цепи равна нулю.» можно составить уравнение.

Имеем уравнение: ; (13).

Это дифференциальное уравнение 1 порядка. Переменные параметры: ток I и время t.

Для решения уравнения (13) необходимо разделить переменные и проинтегрировать.

Проведём разделение переменных: ;

; ;

Проинтегрируем и имеем: ; (14).

Заданное напряжение на входе (12) изменяется по закону косинуса, а ток в формуле (14) изменяется по закону синуса.

Для анализа формул (12) и (14) выразим, воспользуясь тригонометрическими преобразованиями, изменения тока так же через косинус.

Тогда окончательно имеем: ; (15).

Сравнение формул (12) и (15) показывает, что напряжение и ток в цепи с индуктивностью изменяются по закону косинуса.

П ри этом видно, что в цепи с индуктивностью отстаёт от напряжения по фазе на угол /2. Изобразим это на векторной диаграмме.

Рис.6. Векторная диаграмма для изменений напряжения и тока в цепи с индуктивностью.

Задерживание фазы тока на индуктивности обусловлено воздействием ЭДС самоиндукции. В формуле (15) коэффициенты, стоящие перед cos играют роль амплитудного значения тока.

То есть ; (16)

Формула (16) представляет собой запись закона Ома. В этой формуле роль сопротивления играют члены, стоящие в знаменателе. Следовательно, можно записать, что X_L=L; (17).

X_L – это реактивное индуктивное сопротивление. Оно не связано

с тепловыми потерями энергии. И его величина зависит от частоты и индуктивности.

Определим размерность индуктивного сопротивления X_L по формуле (17).

Для определения размерности индуктивности и воспользуемся известной формулой для определения ЭДС самоиндукции Откуда или ;

Тогда: ;

Таким образом индуктивное сопротивление X_L также как и активное R и емкостное X_C измеряются в Омах.

4. Резонанс в цепи переменного тока.

Рассмотрим полную цепь переменного тока, содержащую последовательно включённые активное сопротивление R, индуктивность L, конденсатор C. Найдём выражение для полного сопротивления цепи.

Рис7. Схема последовательного соединения резистора R, конденсатора С и индуктивности L в цепи переменного тока.

Так как цепь последовательная, то в цепи образуется общий ток

i = I₀cos (t  ).

Приложенное напряжение U=U₀cost распределяется между участками цепи пропорционально сопротивлению отдельных элементов.

Тогда в соответствии с законом Ома падение напряжения на отдельных элементах будет определяться формулами:

U_R=IR;

U_C=IX_C;

U_L=IX_L.

Но так как между напряжениями U_C и U_L и током I существует разность фаз, то эти напряжения должны складываться как вектора.

Строим векторную диаграмму.

U_{результ}=

Пользуясь правилом сложения векторов найдём результирующий вектор U_{результ.}

Рис.8. Векторная диаграмма для последовательно соединения

R, C, L.

В результате сложения мы получили характерный треугольник напряжений. Так как в последовательной цепи ток одинаков, то можно от треугольника напряжений перейти к треугольнику сопротивлений. По теореме Пифагора результирующее падение напряжения в цепи будет определяться:

;

;

; (18).

Где: Z - полное сопротивление цепи переменного тока или импеданс.

Рассмотрим резонанс напряжений в цепи переменного тока. Анализ формулы (18) показывает, что в последовательной цепи ток будет наибольшим, а сопротивление наименьшим в случае,

если X_С = X_L; то есть ; (19).

Это условие резонанса напряжений. Из формулы (19) можно получить: ²L C =1; (20).

Решая уравнение (20) относительно  получим известную формулу Томпсона для определения резонансной частоты колебательного контура ;

При резонансе в последовательной цепи происходит взаимная компенсация напряжений U_L и U_C каждое из которых может значительно превышать приложенное к цепи напряжение U. При этом апряжения U_L и U_C равны по величине, а их векторы направлены по одной прямой в противоположные стороны.

8