Курс лекций_Спец. разд. ВМ_Вар. исчисление
.pdfПример. Найти экстремум функционала
1
J[ y] = ∫ ( y′2 − y2 − 2xy)dx , y(0) = 0, y(1) = 0 .
0
Уравнение Эйлера для данного функционала имеет вид
y′′ + y + x = 0 . |
(25) |
||
Его точное решение (экстремаль функционала) есть функция |
y(x) = |
sin x |
− x . |
|
|||
|
|
sin1 |
|
Можно показать, что на этой экстремали функционал достигает абсолютного минимума. Причем, значение J[ y] ≈ −0.024570 .
Мы же будем находить приближенное решение уравнения (25) по методу Галеркина. Пусть
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn (x) = ∑ ak ϕk (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В качестве координатных |
функций принимаем степенные функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕk (x) = xk (1 − x), k = 1,2,... . Найдем второе приближение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
y |
2 |
(x) = a ϕ (x) + a |
ϕ |
2 |
(x) = a x(1 − x) + a |
2 |
x2 (1 − x) . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вычисляем невязку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
L( y |
2 |
) = y |
2 |
² + y |
2 |
+ x = a (x − x2 − 2) + a |
2 |
(2 − 6x + x2 − x3 ) + x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и составляем условия ортогональности невязки и координатных функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ1(x), ϕ2 (x) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||
∫ L( y2 )ϕ1(x)dx = ∫ L( y2 )x(1 − x)dx = − |
a1 − |
a2 |
+ |
= 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
20 |
|
12 |
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
13 |
|
|
1 |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ L( y2 )ϕ2 (x)dx = ∫ L( y2 )x2 (1 − x)dx = − |
|
|
|
a1 |
− |
|
|
|
a2 + |
|
|
= 0 |
|||||||||||||||||||||
20 |
105 |
20 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решая полученное уравнение, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = |
71 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
369 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
И, следовательно, второе приближение получено:
y2 (x) = |
1 |
x(1 − x)(71 + 63x), |
|
369 |
|||
|
|
||
или |
|
|
y2 |
(x) = − |
1 |
(63x3 + 8x2 − 71x). |
|
|||
|
369 |
|
|
При этом J[ y2 ] ≈ −0.024574 , т. е. практически совпадает с точным решением.
31
Список литературы
1.Ванько, Вячеслав Иванович. Вариационное исчисление и оптимальное управление: учебник для втузов / В. И. Ванько, О. В. Ермошина, Г. Н.
Кувыркин; Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана .— 3- е изд., испр.— Москва: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006
.— 487 с.: ил.
2.Волков, Владимир Тарасович. Интегральные уравнения. Вариационное исчисление: методы решения задач: учебное пособие для вузов / В. Т. Волков, А. Г. Ягола; Московский государственный университет им. М.В.
Ломоносова, Физический факультет.— М.: Университет, 2007 .— 138 с.
3.Глазунов Ю. Т. Вариационные методы. Институт компьютерных исследований, 2006 г. – 472 с.
4.Гюнтер, Николай Максимович. Курс вариационного исчисления: учебник/
Н. М. Гюнтер.— 2- е изд., стер.— Санкт-Петербург: Лань, 2009.— 308 с.: ил.
5.Копченова, Наталия Васильевна. Вычислительная математика в примерах и задачах: учебное пособие для вузов / Н. В. Копченова, И. А. Марон .— 3- е
|
изд., стер.— |
Санкт-Петербург: Лань, 2009 .— 367 с.: ил. |
|
|
|
||
6. |
Мышкис А. Д. Математика для технических ВУЗов. Специальные курсы. |
— |
|||||
|
3 изд., стер.— |
Лань, 2009 .— 640 с. |
|
|
|
||
7. |
Эльсгольц, Лев Эрнестович. |
Вариационное исчисление: учебник для вузов / |
|||||
|
Л.Э. Эльсгольц.— 6- е изд.— М.: КомКнига, 2006 .— 205 с.: ил. |
|
|||||
32