Курс лекций_Спец. разд. ВМ_Вар. исчисление

а) рассмотрим граничные условия: y(0) = 1, y(2) = 1 .

Вэтом случае экстремаль имеет вид y = 1, т. е. на отрезке [0,2] может быть включена в собственное поле экстремалей y = C .

б) рассмотрим граничные условия: y(0) = 0, y(2) = 4 .

Вэтом случае экстремаль имеет вид y = 2x , и тогда на отрезке [0,2] может быть включена в центральное поле экстремалей y = Cx .

Определение 17. C– дискриминантной кривой семейства Φ(x, y,C) = 0 называется геометрическое место точек, определяемое системой уравнений:

В состав С– дискриминантной кривой входят узловые точки, огибающие, точки заострения, в случае пучка кривых – центр пучка.

Определение 18. Пусть имеем пучок кривых y = y(x, C) с центром в т. M , содержащий кривую y = y(x) . Если дуга MN этой кривой содержит отличную от

т. M т. M * , общую с С-дискриминантной кривой, то т. M * называется сопряженной точкой с т. M .

8.2. Условие Якоби.

Теорема 1. (Условие Якоби возможности включения экстремали в центральное поле экстремалей). Для того чтобы дугу MN можно было включить в центральное поле экстремалей, достаточно, чтобы точка M * , сопряженная с т. M , не лежала на дуге MN .

Определение 19. Уравнением Якоби называется уравнение вида:

Теорема 2. (Аналитическая форма условия Якоби). Если нетривиальное решение u = u(x) уравнения Якоби, удовлетворяющее условию u(a) = 0 , обращается в ноль еще в какой-нибудь точке интервала (a, b] , то сопряженная с

т. M точка M * лежит на дуге MN .

Определение 20. Говорят, что условие Якоби выполнено, если экстремаль можно

включить в центральное или собственное поле экстремалей на отрезке если u = u(x) решение уравнения Якоби удовлетворяет условию u(a) = 0 ,

u(x) ¹ 0 "x Î (a, b] .

Замечание 1. Уравнение Якоби является линейным однородным уравнением 2-го порядка. Поэтому все его нетривиальные решения, удовлетворяющие условию u(a) = 0 , отличаются друг от друга лишь отличным от нуля постоянным множителем и, следовательно, обращаются в нуль одновременно.

Замечание 2. Условие Якоби является необходимым для достижения экстремума, т. е. для кривой y = y(x) , реализующей экстремум, сопряженная с т.

доставляющая экстремум функционалу (1), может быть включена в центральное поле экстремалей, наклон которого равен p(x, y) .

но он является интегралом от полного дифференциала [7].

Следовательно, его значение не зависит от пути интегрирования. Поэтому

= ∫ (F (x, y, y′) − F (x, y, p) − ( y′ − p)Fp (x, y, p))dx.

~

L

Подынтегральная функция носит название функции Вейерштрасса и обозначается

E(x, y, y′, p) = F (x, y, y′) − F (x, y, p) − ( y′ − p)Fp (x, y, p) .

Таким образом, J = ∫ E(x, y, y′, p)dx.

~

L

Достаточным условием достижения функционалом минимума на кривой L будет условие E ³ 0 , а максимума – E £ 0 .

При этом для слабого экстремума достаточно, чтобы неравенство выполнялось для значений x, y , близких к значениям x, y на экстремали L , и для значений y′ , близких к p .

Для сильного экстремума неравенство должно выполняться для тех же x, y , но уже для произвольных y′ . Это объясняется тем, что в случае сильного экстремума близкие кривые могут иметь произвольные направления касательных, а в случае слабого экстремума значения y′ на близких кривых близки к значениям y′ = p на экстремали L .

23

следовательно, экстремаль y = 2x доставляет слабый минимум функционалу J . Для произвольных y′ функция Вейерштрасса знака не сохраняет, значит,

сильного экстремума нет.

8.4.Условие Лежандра.

Исследование знака функции Вейерштрасса во многих случаях вызывает затруднения. Заменим условие проверки знака этой функции на более простое

сохранять знак для значений x, y , близких к значениям x, y на экстремали L , и для значений q , близких к p .

Если Fy′y′(x, y, q) ¹ 0 в точках экстремали L , то в силу непрерывности эта

вторая производная сохраняет знак и в точках, близких к кривой L , и для значений y′, близких к значениям y′ на кривой L .

Таким образом, при исследовании на слабый минимум (максимум) условие E ³ 0 ( E £ 0 ) может быть заменено условием Fy′y′ > 0 ( Fy′y′ < 0 ) на экстремали

L . Неравенство Fy′y′ ³ 0 ( Fy′y′ £ 0 ) называется условием Лежандра, а Fy′y′ > 0 ( Fy′y′ < 0 ) – усиленным условием Лежандра.

24

Для сильного экстремума условие Лежандра должно выполняться для тех же x, y , но уже для произвольных q .

При этом предполагается, что разложение по формуле Тейлора справедливо при любых y′.

Достаточные условия экстремума простейшего функционала (1) с граничными условиями (2) приведены в таблице 1.

Достаточные условия экстремума простейшего функционала

b

J[ y] = ∫F (x, y(x), y′(x))dx , y(a) = A, y(b) = B .

a

9.Численные методы решения вариационных задач.

Сведение вариационных задач к краевым для дифференциальных уравнений Эйлера является по существу косвенным методом решения. Но это не единственный путь. Разработаны методы решения вариационных задач в их исходной постановке, получившие название прямых методов. Прямые методы являются приближенными аналитическими методами. В данном курсе мы кратко познакомимся лишь со схемой применения важнейших из прямых методов – методом Ритца и методом Галеркина. Более подробные сведения о

25

приближенных методах и их применениях можно найти, например, в работах

[3], [5].

9.1. Метод Ритца.

Познакомимся с основной идеей метода Ритца на примере вариационной

b

задачи для простейшего функционала J[ y] = ∫F (x, y(x), y′(x))dx (1) с

В качестве допустимых примем функции y(x) C1[a, b] , а относительно F предположим обычные условия непрерывности. Пусть вариационная задача имеет решение. Для определенности предположим, что на допустимой кривой

~ функционал достигает абсолютного минимума y (x)

~ = =

J[ y ] min J[ y] m

.

Наша задача – найти ~ . После этого легко вычислить . Если бы нам y (x) m

удалось построить такую допустимую функцию yk (x) , что значение J[ yk ]

было бы близким к m , то можно было бы ожидать, что yk (x) можно принять в качестве решения. Если бы удалось построить такую последовательность допустимых функций

y1(x), y2 (x), ..., yn (x),..., (18)

что последовательность значений функционала на ней сходилась бы к m , т. е.

lim J[ yn ] = m ,

n→∞

то можно было бы ожидать, что последовательность (18) сходится в каком-

нибудь смысле к точному решению ~ и его можно получить предельным y (x)

переходом. Последовательность (18) называют минимизирующей. В построении минимизирующей последовательности и состоит идея прямых методов.

Фактическое построение минимизирующей последовательности по методу Ритца производится следующим образом. Задается система конкретных допустимых функций

ϕ1(x), ϕ2 (x), ..., ϕn (x),...

называемых координатными или базисными, и в дальнейшем за класс функций сравнения принимаются их линейные комбинации. Другими словами, решение разыскивается в виде

k =1

Задача теперь состоит в том, чтобы подобрать коэффициенты a1, a2 , ..., an так,

чтобы функционал J[ yn ] принимал возможно меньшее значение. С этой целью выражение (19) подставляется в функционал (1), а после выполнения всех

26

операций (дифференцирование, интегрирование и т. д.) функционал преобразуется в обыкновенную функцию коэффициентов:

J[ yn ] = F (a1, a2 , ..., an )

Поскольку разыскивается минимум этой функции, то должно выполняться необходимое условие экстремума

Решив эту систему, мы получим определенные значения коэффициентов a1, a2 , ..., an и вместе с этим, согласно (19), приближенное решение.

Методом Ритца можно получать последовательность все более точных

приближений. Каждое последующее приближение

n+1

yn+1(x) = ∑ak ϕk (x)

k =1

строится по более широкому базису и включает в себя новый параметр an+1 . Поскольку при каждом новом шаге класс функций сравнения расширяется, то полученные таким путем последовательные минимумы не возрастают:

J[ yn ] ³ J[ yn+1] ³ ...

На практике главная задача заключается не в построении минимизирующей последовательности, а в получении того приближения, которое удовлетворяет требуемой точности. Теоретические оценки точности по методу Ритца довольно сложны и не всегда эффективны [6], [7]. Поэтому на практике обычно ограничиваются сравнением значений yn (x) и для различных значений x . Если их разность лежит в пределах требуемой точности, то за решение принимается yn (x) . В противном случае находят yn+2 (x) и т. д.

Для успешного применения метода Ритца важен правильный выбор системы координатных функций. Координатные функции должны быть линейно независимы, удовлетворять требуемым однородным граничным условиям и, кроме того, условию полноты. Линейная независимость означает, что ни одна из координатных функций не является линейной комбинацией конечного числа других. Полнота функций показывает, что для любого ε > 0 существует такая функция yn (x) из семейства (19), что для любой допустимой

угодно точно аппроксимирована функциями вида (19) в смысле близости первого порядка.

Всем этим условиям удовлетворяют система степенных функций

jk (x) = (x - a)(x - b)xk −1, k = 1,2,3,...

и система тригонометрических функций

jk (x) = sin kp(x - a) , k = 1,2,3,... .

b - a

27

На практике эти систему чаще других используются при выборе координатных функций.

Решение системы уравнений (20) со многими неизвестными коэффициентами является непростой задачей. Удачный выбор координатных функций позволяет достичь требуемой точности с помощью меньшего их числа. Поэтому стараются выбирать координатные функции так, чтобы они возможно точнее описывали свойства искомого решения. Если, например, ясно, что решение описывается четной функцией, то и координатные функции выбирают четными и т. д. В благоприятных случаях удается получить удовлетворительное решение по двум-трем координатным функциям.

Если граничные условия неоднородны:

то решение разыскивается в виде

n

yn (x) = ϕ0 (x) + ∑ak ϕk (x) ,

k =1

где ϕ0 (x) – конкретная допустимая функция, удовлетворяющая условиям (2), а ϕk (x), k =1,2,... , как и раньше, удовлетворяют однородным условиям (17).

Функцию ϕ0 (x) можно выбрать в виде

ϕ0 (x) = В − A (x − a) + A . b − a

(21)

Пример. Исследовать на экстремум функционал

1

J[ y] = ∫( y′2 + y2 )dx , y(0) = 0, y(1) =1.

0

k =1

Учитывая их и (21), получаем, что ϕ0 (x) = x . В качестве координатных функций принимаем ϕk (x) = xk (1 − x), k =1,2,... Количество координатных функций можно выбирать произвольным образом, в зависимости от необходимой точности. Остановимся на втором приближении:

Учитывая необходимое условие экстремума (20), получаем:

При этом J[ y2 ] ≈1.31303 , т. е. практически совпадает с точным решением.

9.2.Метод Галеркина

Сидеей метода Галеркина мы познакомимся на примере решения краевой

задачи для обыкновенного дифференциального уравнения

задачи возникают в вариационном исчислении при отыскании экстремалей. Пусть решение задачи (22),(23) существует. Метод Галеркина состоит в следующем. Как и в методе Ритца выбирается конкретная система достаточно гладких координатных функций

Для уравнения (22) функции ϕk (x) должны иметь непрерывные производные второго порядка. Как и в методе Ритца, координатные функции должны быть линейно-независимыми, удовлетворять однородным граничным условиям и условию полноты. Также решение разыскивается в виде линейной комбинации конечного числа координатных функций (19), коэффициенты которой надлежит определить. Подставим выражение (19) в левую часть уравнения (22). После выполнения всех операций в результате получится функция аргумента x и коэффициентов a1, a2 , ..., an :

L( yn ) = F (a1, a2 , ..., an ) ,

29

которую называют невязкой. Если бы yn (x) было точным решением, то невязка тождественно равнялась бы нулю, и тем самым выполнялось бы условие ортогональности невязки

b

∫L( yn )ϕk (x)dx = 0, k =1,2,...

a

ко всем координатным функциям системы (24). Выбирая решение в виде (19) и имея в своем распоряжении только n произвольных параметров a1, a2 , ..., an , мы можем удовлетворить, вообще говоря, только условиям ортогональности:

b

∫L( yn )ϕk (x)dx = 0, k =1,2,..., n ,

a

из которых эти параметры и определяются. Решив эту систему относительно a1, a2 , ..., an , мы получим для них конкретные значения и, согласно (19), приближенное решение

где ϕ0 (x) – любая достаточно гладкая функция, удовлетворяющая граничным условиям (2).

Краевые задачи для обыкновенныx дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных возникают не только в вариационном исчислении. Мы видим, что решение краевых задач по методу Галеркина никак не связано с их вариационным содержанием. Так что задача (22), (23) могла быть и не вариационной. Эта универсальность в сочетании с простотой составляет достоинство метода Галеркина.

30