электротехника. методическое пособие

Исходными данными для расчета являются: напряжение между внешними зажимами источника электрической энергии u = Um sin(ωt + Ψu ) , а также величины активногоr и индуктив-

ного xL сопротивлений.

Определяется действующее значение напряжения:

U = U2m .

Рассчитывается полное сопротивление цепи: z = r2 + xL2 .

По формуле, выражающей закон Ома для данной цепи, определяется действующее значение тока:

I = Uz .

Находится значение угла сдвига фаз между напряжением и током:

ϕ = arccos rz .

Записывается выражение для мгновенного значения тока:

i = 2I sin(ωt + Ψu − ϕ) .

Рассчитываются активная, реактивная и полная мощности цепи:

P = rI 2 ,

QL = xL I 2 , S = UI = zI 2 .

Строятся графики зависимостей мгновенных значений напряжения и тока от фазового угла, а также векторная диаграмма электрической цепи.

91

Пример 3.5

Напряжение между внешними зажимами источника изменяется во времени по закону u = 179sin(ωt + 30°). Активное r и

индуктивное xL сопротивления соединены последовательно и

подключены к внешним зажимам источника. Величины сопротивлений равны соответственно 4 и 3 Ом. Рассчитать данную электрическую цепь.

Решение

Действующее значение напряжения

U = U2m = 1,41179 = 127 В.

Полное сопротивление цепи

z = r2 + xL2 = 42 + 32 = 5 Ом.

Угол сдвига фаз между напряжением и током

ϕ = arccos rz = arccos 54 = 36°50′ .

Действующее значение тока

I = Uz = 1275 = 25,4 А .

Мгновенное значение тока

i= 2I sin(ωt + Ψu − ϕ) = 1,41 25,4sin(ωt + 30° − 36°50′) =

=35,8sin(ωt − 6°50′).

Активная мощность цепи

P = rI 2 = 4 25,42 = 2580,6 Вт.

Индуктивная реактивная мощность

QL = xL I 2 = 3 25,42 = 1935,5 вар.

92

Полная мощность цепи

S = zI 2 = 5 25,42 = 3225,8 ВА.

Студентам предлагается построить графики зависимостей i(ωt),u(ωt) на временном интервале t , равном периоду сину-

соидального напряжения и тока, а также векторную диаграмму электрической цепи. При построении векторной диаграммы рекомендуется использовать следующие масштабы: по току mI = 5 А/см, по напряжению mU = 25,4 В/см

3.10. Расчет электрической цепи, содержащей источник однофазного синусоидального напряжения и конденсатор, представленный последовательным соединением активного сопротивления и емкости

Произведем расчет электрической цепи (рис. 3.16) и проанализируем энергетические процессы, протекающие в ходе ее работы.

Источник электрической энергии (см. рис. 3.16) представлен внешними зажимами, между которыми существует однофазное напряжение с мгновенным значением u . К внешним зажимам источника посредством проводов, влия-

ное сопротивление r и емкость C .

При угловой частоте синусоидального напряжения ω значению емкости конденсатора C соответствует емкостное сопротивление xC , величина которого рассчитывается по выражению

93

xC = ω1C . По электрической цепи проходит синусоидальный

ток, мгновенное значение которого i . Прохождение тока по электрической цепи обусловливает на ее активном и емкостном сопротивлениях падения напряжения, мгновенные значения которых на схеме обозначены через ur и uC . Положительные на-

правления напряжений и тока для одного из моментов времени показаны стрелками (см. рис. 3.16).

Исходными данными при расчете электрической цепи являются амплитудное значение синусоидального тока Im , угло-

вая частота его изменения во времени ω и начальная фаза Ψi ,

значение которой целесообразно принять равной нулю. Знание этих параметров позволяет считать известными значения тока в электрической цепи в произвольный момент времени. Известными будем также считать величины активного r и емкостного xC сопротивлений.

Для контура, образованного источником, активным и емкостным сопротивлениями (см. рис. 3.16), составим уравнение по 2-му закону Кирхгофа:

Напряжения ur и uC рассчитываются по закону Ома для

участков электрической цепи с активным и емкостным сопротивлениями:

Результатом сложения двух синусоидальных функций времени является также синусоидальная функция времени, описание которой выполняется с использованием выражения

94

где zIm – амплитудное значение напряжения источника элек-

трической энергии; z – полное сопротивление электрической цепи; φ – угол сдвига фаз между напряжением и током.

Расчет полного сопротивления электрической цепи и угла сдвига фазмежду напряжением итоком выполняется по формулам

Анализ выражения (3.97) мгновенного значения напряжения u позволяет сделать вывод о том, что в электрической цепи, содержащей r и xC , напряжение источника отстает по фазе от

изменений во времени тока на угол ϕ . Следовательно, угол ϕ в

данной цепи является отрицательным. Абсолютное значение угла сдвига фаз между напряжением и током определяется величинами сопротивлений r и xC . Если активное сопротивление

по величине во много раз превышает емкостное сопротивление, т.е. r >> xC , то отношение rz → 1 , а угол ϕ → 0° . Наоборот, ес-

ли xC >> r , то отношение rz → 0 , а угол ϕ → 90° .

В общем случае для электрических цепей синусоидального напряжения, содержащих активное сопротивление и емкость, абсолютноезначениеугла сдвига фазмежду напряжением итоком

0° < ϕ < 90°.

Напряжения u, ur , uC являются синусоидальными функция-

ми времени. Это позволяет равенство (3.94), в котором напряжения представлены своими мгновенными значениями, заменить векторным равенством

Векторная диаграмма тока и напряжений для рассматриваемой электрической цепи показана на рис. 3.17.

Рис. 3.17. Векторная диаграмма напряжений и тока для схемы электрической цепи с последовательным соединением параметров r и С

Вектор тока направлен в положительном направлении оси OX декартовой плоскости координат. Это соответствует условию равенства нулю начальной фазы тока Ψi . Длина вектора тока в мас-

штабе равна его действующему значению I . Вектор напряжения на активном сопротивлении совпадает по фазе с вектором тока, а вектор напряжения на емкостном сопротивлении отстает от вектора тока по фазе на 90 градусов. Построение вектора напряжения источника электрической энергии осуществляется с использованием равенства (3.100). Длины векторов напряжений в масштабе соответствуютих действующим значениям:

Ur = rI ,UC = xC I ,U = zI .

Прямоугольный треугольник, вершины которого на векторной диаграмме обозначены буквами О, A, B, принято называть

треугольником напряжений. Из треугольника напряжений легко устанавливаются связи между напряжениями на отдельных элементах, а также между напряжениями на отдельных элементах и углом сдвига фаз. Например, если задано напряжение источника

96

и значение угла сдвига фаз, то из треугольника ОАВ находятся напряжения на активном и емкостном сопротивлениях.

От треугольника напряжений ОAB несложно осуществить переход к прямоугольному треугольнику сопротивлений О1 АВ1 1

(рис. 3.18)

Рис. 3.18.Треугольник сопротивлений для электрической цепи с последовательным соединением r и C

Для этого достаточно действующие значения напряжений Ur ,UC ,U , представленные на рис. 3.17 сторонами прямоуголь-

ного треугольника ОАВ, поделить на величину действующего значения тока и в масштабе сопротивления отложить отрезки О1В1, В1 А1,О1 А1 . Катетами этого треугольника являются активное

и емкостное сопротивления, а гипотенузой − полное сопротивление электрической цепи. В связи с тем, что сопротивления не являются синусоидальными функциями времени, на рис. 3.18 они изображены в виде отрезков.

Количественные соотношения, установленные для прямоугольного треугольника между длинами катетов и гипотенузы, а также между длинами катетов, гипотенузы и углом, заключенным между прилежащим катетом и гипотенузой, позволяют получить различную форму записи выражений для расчета полного, активного и емкостного сопротивлений:

Использование при расчетах той или иной формулы определяется исходными данными к решению задач.

Умножим сопротивления r, xC , z на квадрат действующего значения тока и в масштабе мощности построим прямоугольный треугольник мощностей О2 A2 B2 (рис. 3.19).

Рис. 3.19. Треугольник мощностей для электрической цепи с последовательным

соединением r и C

Активная мощность P показана отрезком O2 B2 (см. рис.

3.19). Эта мощность характеризует необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую энергию, имеющий место в активном сопротивлении r . Емкостная реактивная мощность QC представлена отрезком B2 A2 (см. рис. 3.19). Данная

мощность связана с емкостным сопротивлением xC и характеризу-

ет колебательный процесс обмена энергией между источником питания и электрическим полем конденсатора. Полному сопротивлению цепи z соответствует полная мощность S , представленная отрезком A2O2 (см. рис. 3.19). В физическом толковании полная

98

мощность S выступает характеристикой необратимых и обратимых процессов преобразования энергии в рассматриваемой электрическойцепи.

Расчет полной, активной и реактивной мощностей может быть выполнен по следующим формулам:

Формулы являются отражением известных соотношений, существующих между длинами сторон прямоугольного треугольника, а также длинами сторон и углом, заключенным между прилежащим катетом и гипотенузой.

Несколько вариантов выражений для определения значений мощностей S, P, QC позволяет при выполнении расчетов элек-

трических цепей с конденсатором использовать те из них, в которые входят заданные величины и параметры.

При необходимости построения кривой изменения мгновенной мощности в функции фазового угла следует воспользоваться выражением

Ниже приводится последовательность расчета электрической цепи однофазного синусоидального напряжения с конденсатором.

Исходными данными при проведении расчетов являются: напряжение на внешних зажимах источника u = Um sin(ωt + ψu ) ,

активное r и емкостное xC сопротивления. В ряде случаев вме-

99

сто сопротивления xC может быть задана величина емкости С.

Для расчета емкостного сопротивления в этом случае используется формула (3.70).

Определяется действующее значение напряжения:

U = U2m .

Рассчитывается полное сопротивление цепи:

z = r2 + xС2 .

Находится значение угла сдвига фаз между напряжением и током:

ϕ = arccos rz .

Определяется действующее значение тока:

I = Uz .

Записывается выражение мгновенного значения тока:

i = 2I sin(ωt + ψu + ϕ) .

Рассчитываются активная, емкостная реактивная и полная мощности цепи:

P = rI 2 ,

QС = xC I 2 , S = UI = zI 2 .

Строятся графики, представляющие зависимости мгновенных значений тока и напряжения источника от фазового угла ωt , а также векторная диаграмма данной электрической цепи.

100